矩阵的运算及其运算规则

矩阵的运算及其运算规则一、矩阵的加法与减法1、运算规则 设矩阵，则 简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的2、 运算性质 （假设运算都是可行的） 满足交换律和结合律交换律 ； 结合律 二、矩阵与数的乘法1、 运算规则 数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每一个元素，记为或特别地，称称为的负矩阵2、 运算性质 满足结合律和分配律结合律： ()A=(A) ； (+)A =A+A分配律： (A+B)=A+B典型例题 例6.5.1已知两个矩阵 满足矩阵方程，求未知矩阵解由已知条件知 三、矩阵与矩阵的乘法1、 运算规则 设，则A与B的乘积是这样一个矩阵：(1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即(2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和典型例题 例6.5.2设矩阵 计算 解是的矩阵设它为 想一想：设列矩阵，行矩阵，和的行数和列数分别是多少呢 是33的矩阵，是11的矩阵，即只有一个元素课堂练习 1、设，求2、在第1道练习题中，两个矩阵相乘的顺序是A在左边，B在右边，称为A左乘B或B右乘A如果交换顺序，让B在左边，A在右边，即A右乘B，运算还能进行吗？请算算试试看并由此思考：两个矩阵应当满足什么条件，才能够做乘法运算3、设列矩阵，行矩阵，求和，比较两个计算结果，能得出什么结论吗？4、设三阶方阵，三阶单位阵为，试求和，并将计算结果与A比较，看有什么样的结论解： 第1题 第2题对于 ，求是有意义的，而是无意义的结论1只有在下列情况下，两个矩阵的乘法才有意义，或说乘法运算是可行的：左矩阵的列数右矩阵的行数第3题是矩阵，是的矩阵 结论2在矩阵的乘法中，必须注意相乘的顺序即使在与均有意义时，也未必有=成立可见矩阵乘法不满足交换律第4题计算得：结论3方阵A和它同阶的单位阵作乘积，结果仍为A，即单位阵在矩阵乘法中的作用相当于数1在我们普通乘法中的作用典型例题 例6.5.3设，试计算和解 结论4两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵由此若，不能得出或的结论例6.5.4利用矩阵的乘法，三元线性方程组 可以写成矩阵的形式 若记系数、未知量和常数项构成的三个矩阵分别为 ，则线性方程组又可以简写为矩阵方程的形式：2、 运算性质（假设运算都是可行的） (1)结合律(2)分配律（左分配律）；（右分配律）(3) 3、 方阵的幂 定义：设A是方阵，是一个正整数，规定 ， 显然，记号表示个A的连乘积四、矩阵的转置1、 定义 定义：将矩阵A的行换成同序号的列所得到的新矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记作或例如，矩阵的转置矩阵为2、运算性质（假设运算都是可行的）(1) (2) (3) (4)，是常数典型例题 例6.5.5 利用矩阵 验证运算性质： 解 ；而 所以定义：如果方阵满足，即，则称A为对称矩阵对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等五、方阵的行列式1、定义 定义：由方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A的行列式，记作或2 、运算性质 (1) （行列式的性质）(2) ，特别地： (3) （是常数，A的阶数为n）思考：设A为阶方阵，那么的行列式与A的行列式之间的关系为什么不是，而是？不妨自行设计一个二阶方阵，计算