同步辅导高中数学《正弦定理、余弦定理的综合应用》导学案北师大必修5

第3课时正弦定理、余弦定理的综合应用1.掌握正弦定理、余弦定理的内容.2.能根据给出的已知条件,选择恰当的公式解三角形.3.掌握三角形边角互化思想,进一步理解正弦定理、余弦定理的作用.2013年,叙利亚内战期间,为了准确分析战场形式,美军派出侦查分队由分别位于叙利亚的两处地点C和D进行观测,测得叙利亚的两支精锐部队分别位于A和B处,美军测得的数据包含CD的长度,ADB,BDC,DCA,ACB大小,你能用学过的数学知识计算叙利亚精锐部队之间的距离吗?问题1:若要用解三角形的知识求AB的长度,则在求解中要用定理和定理.问题2:正、余弦定理的数学公式表述为:正弦定理;余弦定理.余弦定理的推论用公式表示为:cos A=;cos B=;cos C=.问题3:在解三角形时,正弦定理可解决两类问题:(1)已知,求其他边或角;(2)已知,求其他边或角.情况(2)中结果可能有一解、两解、无解,应注意区分.问题4:应用余弦定理及其推论可解决三类三角形问题:(1)已知,求其他三个角.(2)已知,求第三边和其他两个角.(3)已知,求第三边.1.在ABC中,已知sin2B-sin2C-sin2A=3sin Asin C,则角B的大小为().A.150B.30C.120D.602.若ABC的内角A,B,C满足6sin A=4sin B=3sin C,则cos B等于().A.154B.34C.31516D.11163.在ABC中,A=120,c=5,a=7,则b=.4.在锐角三角形中,b=4,c=21,且BC边上的高h=23.(1)求角C;(2)求边长a.利用正弦定理或余弦定理求解三角形的边长设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos A=35,cos B=513,b=3,则c=.利用正弦定理或余弦定理求解三角形的角度在ABC中,已知a=2,b=22,C=15,求A的大小.正、余弦定理的综合应用在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cos 2C=-14,且a2+b2bB.aa,BA.又0A180,A必为锐角,A=30.(法二)由余弦定理,得cos A=b2+c2-a22bc=(22)2+(6-2)2-22222(6-2)=32.A=30.【小结】已知三角形的两边及其夹角解三角形时,应先利用余弦定理求出第三边,再求其余角.其余角的求解有两种思路:一是利用余弦定理的推论求解;二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解.若用正弦定理求解,需对角的取值进行取舍,而用余弦定理就不存在这些问题,因为在(0,180)上,余弦值所对应的角是唯一的,所以用余弦定理求解较好.探究三:【解析】(1)因为cos 2C=1-2sin2C=-14,且0C,所以sin C=104.(2)当a=2,2sin A=sin C时,由正弦定理asinA=csinC,得c=4.由cos 2C=2cos2C-1=-14及0C,得cos C=64.由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,得b26b-12=0,解得b=6或26,所以b=6,c=4或b=26,c=4.问题根据题目中的条件,cos C的值有两个吗?结论上述求解中没有使用条件a2+b2c2,故导致cos C的值出现增解,从而在计算b的值时出错.(1)因为cos 2C=1-2sin2C=-14,且0C,所以sin C=104.(2)当a=2,2sin A=sin C时,由正弦定理asinA=csinC,得c=4.由cos 2C=2cos2C-1=-14及0C得cos C=64,又a2+b2c2,所以cos Ca,故A=30.2.Acos C0a2+b2c2,即a2+b22a2,所以ba.3.3或23由(a2+c2-b2)tan B=3ac得a2+c2-b2actan B=3,再由余弦定理cos B=a2+c2-b22ac得2cos Btan B=3,即sin B=32,角B的值为3或23.4.解:(sin A+sin B)2-sin2C=3sin Asin B,由正弦定理得(a+b)2-c2=3aba2+b2-c2=aba2+b2-c2ab=1cos C=a2+b2-c22ab=12,0C180,C=60,A+B=180-C=180-60=120.全新视角拓展23根据正弦定理可将3sin A=5sin B化为3a=5b,所以a=53b,代入b+c=2a可得c=73b,然