天津数学文科全解全析

2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟第I卷至2页，第II卷3至10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回祝各位考生考试顺利！第I卷注意事项：1答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号答在试卷上的无效3本卷共10小题，每小题5分，共50分参考公式：如果事件互斥，那么球的表面积公式 球的体积公式如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合，则（ ）ABCD【答案】A【解析】本小题主要考查集合的基本运算因为，所以，故选A 2设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（ ）A2B3C4D5【答案】D【解析】同理科2本小题考查线性规划知识，关键是准确作出可行域如图，由图象可知目标函数过点时取得最大值，故选D3函数的反函数是（ ）ABCD【答案】A【解析】本小题主要考查反函数的求法由得，当时，所以反函数的定义域为，故选A4若等差数列的前5项和，且，则（ ）A12B13C14D15【答案】B【解析】本小题主要考查等差数列的简单性质由，所以，公差，从而有，故选B5设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（ ）ABCD【答案】C【解析】同理科4本小题主要考查空间想象能力、线面垂直的判定以及充要条件的判定选项A、B、D中直线可能平行（如图），故选C 6把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ）ABCD【答案】C【解析】本小题主要考查函数图象变换的相关知识变换过程如下：，故选C7设椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（ ）ABCD【答案】B【解析】【方法一】本小题主要考查抛物线、椭圆的方程及几何性质由已知，抛物线的焦点为，椭圆焦点在轴上，排除A、C，由排除D，故选B【方法二】，即。由得。8已知函数则不等式的解集为（ ）ABCD【答案】A【解析】本小题主要考查学生对分段函数的理解及解不等式的相关知识依题意得，故选A9设，则（ ）ABCD【答案】D【解析】本小题借助比较大小的形式考查诱导公式及三角函数线的相关知识，需注意当角的终边落在直线的左上方时，；此外，注意中间量0、1在比较大小中的使用解法如下：，因为，所以，故选D10设，若对于任意的，都有满足方程，这时的取值的集合为（ ）ABCD【答案】B【解析】本小题综合考查了对数的运算性质、函数的单调性、函数的值域等方面的知识由得：，该函数在上单调递减，所以，故，故选B2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）第卷注意事项：1答卷前将密封线内的项目填写清楚2用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上3本卷共12小题，共100分二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分把答案填在题中横线上11一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工 人【答案】10【解析】本小题主要考查分层抽样中的相关计算，解决此类问题需注意分层抽样是一种等概率抽样，实际就是按比例进行抽样依题意知抽取超过45岁的职工为12的二项展开式中的系数为 （用数字作答）【答案】10【解析】本小题主要考查二项式定理的相关知识，注意展开式中通项的使用由已知，令得：，所以系数为1013若一个球的体积为，则它的表面积为 【答案】【解析】本小题主要考查球的体积和表面积的计算由得，所以14已知平面向量，若，则 【答案】【解析】本小题主要考查向量的坐标运算因为，所以15已知圆的圆心与点关于直线对称直线与圆相交于两点，且，则圆的方程为 【答案】【解析】本小题主要考查直线方程中的对称问题，圆中有关弦长的计算两方面的知识由已知可求圆心的坐标为，所以，圆的方程为16有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有 种（用数字作答）【答案】432【解析】本小题主要考查排列组合的综合应用数字之和为10的情况有4，3，2，1；4，4，1，1；3，3，2，2所以共有种不同排法三、解答题：本大题共6小题，共76分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分12分）已知函数的最小正周期是（）求的值；（）求函数的最大值，并且求使取得最大值的的集合【解析】本小题主要考查特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦、函数的性质等基础知识，考查基本运算能力【答案】（）由题设，函数的最小正周期是，可得，所以（）由（）知，当，即时，取得最大值1，所以函数的最大值是，此时的集合为18（本小题满分12分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为（）求乙投球的命中率；（）求甲投球2次，至少命中1次的概率；（）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率【解析】本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力【答案】（）同理科（）（）解法一：设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B由题意得，解得或（舍去），所以乙投球的命中率为解法二：设设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B由题意得，于是或（舍去），故所以乙投球的命中率为（）解法一：由题设和（）知故甲投球2次至少命中1次的概率为解法二：由题设和（）知故甲投球2次至少命中1次的概率为（）由题设和（）知，甲、乙两人各投球2次，共命中2次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中两次，乙两次均不中；甲两次均不中，乙中2次。概率分别为，所以甲、乙两人各投两次，共命中2次的概率为19（本小题满分12分）ABCDP如图，在四棱锥中，底面是矩形已知，（）证明平面；（）求异面直线与所成的角的大小；（）求二面角的大小【解析】本小题主要考查直线和平面垂直，异面直线所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力【答案】同理科19（）证明：在中，由题设可得，于是在矩形中，又，所以平面（）解：由题设，所以（或其补角）是异面直线与所成的角在中，由余弦定理得由（）知平面，平面，所以，因而，于是是直角三角形，故所以异面直线与所成的角的大小为.（）解：过点P做于H，过点H做于E，连结PE因为平面，平面，所以又，因而平面，故HE为PE再平面ABCD内的射影由三垂线定理可知，从而是二面角的平面角由题设可得，于是再中，所以二面角的大小为20（本小题满分12分）已知数列中，且（）设，证明是等比数列；（）求数列的通项公式；（）若是与的等差中项，求的值，并证明：对任意的，是与的等差中项【解析】本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前项和公式，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法【答案】证明：由题设（），得，即，又，所以是首项为1，公比为的等比数列（）解：由（），（）将以上各式相加，得（）所以当时，上式对显然成立（）解：由（），当时，显然不是与的等差中项，故由可得，由得，整理得，解得或（舍去）于是另一方面，由可得，所以对任意的，是与的等差中项21（本小题满分14分）设函数，其中（）当时，讨论函数的单调性；（）若函数仅在处有极值，求的取值范围；（）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围【解析】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、函数的最大值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力【答案】（）解：当时，令，解得，当变化时，的变化情况如下表：极小值极大值极小值所以在，内是增函数，在，内是减函数（）解：，显然不是方程的根为使仅在处有极值，必须成立，即有解些不等式，得这时，是唯一极值因此满足条件的的取值范围是（）解：由条件，可知，从而恒成立当时，；当时，因此函数在上的最大值是与两者中的较大者为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，在上恒成立所以，因此满足条件的的取值范围是22（本小题满分14分）已知中心在原点的双曲线的一个焦点是，一条渐近线的方程是（）求双曲线的方程；（）若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点，且线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围【解析】本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想