高二数学合情推理与演绎推理文人教实验A知识精讲

高二数学合情推理与演绎推理（文）人教实验版（A）【本讲教育信息】一. 教学内容： 合情推理与演绎推理二. 重点、难点：1. 归纳推理：由某类事物的部分对象具有某种特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理。 2. 类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理。 3. 合情推理：经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳，类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。 4. 演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理。 5. 总结： （1）归纳推理：由个别到一般 （2）类比推理：由特殊到特殊 （3）合情推理：猜想（不一定正确） （4）演绎推理：由一般到特殊【典型例题】例1 在数列中，试猜想这个数列的通项公式。分析：根据已知条件和递推关系，先求出数列的前几项，然后总结归纳其中的规律，写出其通项。解：中， 的通项公式例2 顺次计算数列：1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1，的前4项的值，由此猜测：结果。解：1=12 1+2+1=4=22 1+2+3+2+1=9=32 1+2+3+4+3+2+1=16=42从而猜想：例3 已知（n=1、2、），试归纳这个数列的通项公式。解：例4 在中，若C=90，则，则在立体几何中，给出四面体性质的猜想。分析：考虑到平面中的图形是直角三角形，所以我们在空间选取有3个面两两垂直的四面体PABC，且三个面与面ABC所成的二面角分别是。解：如图，在中，于是把结论类比到四面体PABC中，我们猜想，三棱锥PABC中，若三个侧面PAB、PBC、PCA两两互相垂直且分别与底面所成的角为。由此可猜想出四面体性质为：例5 已知：；。通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题： =（*）并给出（*）式的证明。一般形式：证明：左边 右边 原式得证（将一般形式写成等均正确）例6 DEF中有余弦定理：。拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱ABCA1B1C1的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，并予以证明。分析：根据类比猜想得出其中为侧面为ABB1A1与BCC1B1所成的二面角的平面角证明：作斜三棱柱ABCA1B1C1的直截面DEF，则DFE为面ABB1A1与面BCC1B1所成角DEF中有余弦定理：同乘以，得即例7 把下列演绎推理写成“二段论”的形式。（1）三角函数都是周期函数，是三角函数，所以是周期函数。（2）一切奇数都不能被2整除，（2100+1）是奇数，所以（2100+1）不能被2整除。解：（1）三角函数都是周期函数（大前提）是三角函数（小前提） 是周期函数（结论）（2）一切奇数都不能被2整除（大前提）（2100+1）是奇数（小前提）（2100+1）不能被2整除（结论）例8 用三段论证明：三角形内角和等于180。证明： 平角等于180（大前提）在ABC中延长BC至E，作CD/AB，则A=ACD，B=DCE A+B+C=ACB+ACD+DCE ACB+ACD+DCE为平角（小前提） A+B+C=180例9 已知实数p满足不等式，试判断方程有无实根，并给出证明。由解得，所以，方程的判别式，因为，所以，所以0，因此得方程无实根。例10 设，求证：。证明： 当且仅当时等号成立，所以例11 已知是各项均为正数的等差数列，成等差数列，又，证明：为等比数列。因为成等差数列，所以即设等差数列的公差为d，则所以从而若d=0，则为常数列，相应也是常数列，此时是以首项为正数，公比为1的等比数列若，则这时是首项为，公比为的等比数列。所以综上知为等比数列。例12 如图所示为三个拼在一起的正方形，求证：。证明： ，又 例13 求证函数是奇数，且在定义域上是增函数。证明：（1） ，定义域为xR 即 是奇函数（2）任取，且 则 ，从而 ，故f（x）为增函数【模拟试题】1. 由数列1，10，100，1000，猜测该数列的第n项可能是（ ） A. B. C. D. 2. 1，3，7，15，（ ），63，括号中的数字应为（ ） A. 33 B. 31 C. 27 D. 573. 数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，的第1000项是（ ） A. 42 B. 45 C. 48 D. 514. 类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是（ ） 各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等； 各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； 各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等。A. B. C. D. 5. 设平面内有n条直线（），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f（n）表示n条直线交点的个数，则f（4）=（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 66. 下列表述正确的是（ ） 归纳推理是由部分到整体的推理； 归纳推理是由一般到一般的推理； 演绎推理是由一般到特殊的推理； 类比推理是由特殊到一般的推理； 类比推理是由特殊到特殊的推理。A. B. C. D. 7. 演绎推理是以下哪个为前提，推出某个特殊情况下的结论的推理方法（ ） A. 一般的原理原则 B. 特定的命题 C. 一般的命题 D. 定理、公式8. 已知ABC中，A=30，B=60，求证：ab。证明： A=30，B=60， AB， ab画线部分是演绎推理的（ ） A. 大前提 B. 小前提 C. 结论 D. 三段论9. 已知直线与平面，给出下列三个命题： 若，则m/n； 若，则nm； 若，则。其中真命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 310. 设函数为奇函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 511. 在数列中，则S10= 。12. 已知无穷数列1，4，7，10，则4891是它的第 项。13. 设，并且对于任意，成立，猜想 。14. 求15. 设数列为等差数列，求证：以为通项的数列为等差数列。16. 将自然数排成如下的螺旋状：21222324252620 7 8910 27 19 6 12 11 28 18 543 12 1716151413第一个拐弯处的数是2，第二个拐弯处的数是3，第20个及第25个拐弯处的数各是多少？17. 已知，求证：18. ABC中，已知，则ABC一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定19. 如果有人在1985年以后大学毕业，他就一定读过邓小平理论。李强读过邓小平理论，所以（ ）A. 李强是1985年以后的大学毕业生B. 李强是共产党员C. 李强可能是1985年以后的大学毕业生D. 李强喜欢这本书20. 已知函数的图象关于直线y=x对称，则实数m的值为（ ）A. B. 1 C. 1 D. 2 21. 完全归纳推理是（ ）的推理（ ） A. 一般到个别 B. 个别到一般 C. 一般到一般 D. 个别到个别试题答案1. B 2. B 3. C 4. C 5. C 6. D 7. A 8. B 9. C 10. C11. 35 12. 1541 13. 14. 解析：，将以上n个式子相加，得15. 证明：设数列的首项为，公差为 （常数）（） 数列为等差数列16. 解析：由图可知，前几个拐弯处的数依次是2，3，5，7，10，13，17，21，26，这是一个数列，题目要求找出它的第20项和第25项各是多少，因此要找出这个数列的规律。把数列的后一项减去前一项，得一新数列：1，2，2