函数知识点与典型例题总结PPT精选文档

1,函数的复习主要抓住两条主线,1、函数的概念及其有关性质。,2、几种初等函数的具体性质。,2,函数的概念定义表示列表法，解析法，图象法三要素定义域，对应关系，值域值域与最值观察法、判别式法、分离常数法、单调性法、最值法、重要不等式、三角法、图象法、线性规划等函数的图象函数的基本性质单调性1.求单调区间：定义法、导数法、用已知函数的单调性.2.复合函数单调性：同增异减.对称性轴对称：f(a-x)=f(a+x);中心对称:f(a-x)+f(a+x)=2b奇偶性1.先看定义域是否关于原点对称，再看f(-x)=f(x)还是-f(x).2.奇函数图象关于原点对称，若x=0有意义，则f(0)=0.3.偶函数图象关于y轴对称，反之也成立.周期性f(x+T)=f(x)；周期为T的奇函数有f(T)=f(T/2)=f(0)=0.函数常见的几种变换平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换基本初等函数正(反)比例函数;一次(二次)函数;幂、指数、对数函数(定义，图象，性质，应用)复合函数单调性：同增异减;奇偶性：内偶则偶，内奇同外抽象函数赋值法函数的应用函数与方程函数零点、一元二次方程根的分布常见函数模型幂、指、对函数模型；分段函数；对勾函数模型,3,函数,函数知识结构,4,B,C,x1x2x3x4x5,y1y2y3y4y5,y6,A,函数的三要素：定义域，值域，对应法则,A.B是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫做从A到B的一个函数。,一、函数的概念：,5,二、映射的概念,设A,B是两个非空的集合,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y于之对应,那么就称对应f:AB为集合A到集合B的一个映射,映射是函数的一种推广,本质是:任一对唯一,6,函数的定义域：,使函数有意义的x的取值范围。,求定义域的主要依据,1、分式的分母不为零.2、偶次方根的被开方数不小于零.3、零次幂的底数不为零.4、对数函数的真数大于零.5、指、对数函数的底数大于零且不为1.,6、实际问题中函数的定义域,7,（一）函数的定义域,1、具体函数的定义域,1.【-1,2）（2，+）2.（-，-1）（1，+）3.（34,1】,8,2、抽象函数的定义域,1）已知函数y=f(x)的定义域是1，3，求f(2x-1)的定义域,2）已知函数y=f(x)的定义域是0，5)，求g(x)=f(x-1)-f(x+1)的定义域,3),1.1,2;2.1,4);3.-,9,思考：若值域为R呢？,分析：值域为R等价为真数N能取（0，+）每个数。当a=0时，N=3只是（0，+）上的一个数，不成立；当a0时，真数N取（0，+）每个数即,10,2函数的值域(1)在函数yf(x)中,与自变量x的值相对应的y的值叫_，_叫函数的值域(2)基本初等函数的值域,函数值,函数值的集合,11,求值域的一些方法：,1、图像法，2、配方法，3、分离常数法，4、换元法，5单调性法。,1),2),3),4),12,三、函数的表示法,1、解析法2、列表法3、图象法,13,例10求下列函数的解析式,待定系数法,换元法,14,赋值法,构造方程组法,(4)已知,求的解析式,配凑法,15,1函数的单调性,f(x1)f(x2),上升的,下降的,(1)单调函数的定义,16,写出常见函数的单调区间并指明是增区间还是减区间,17,用定义证明函数单调性的步骤:,(1)设元，设x1,x2是区间上任意两个实数，且x1x2;,(2)作差，f(x1)f(x2);,(3)变形，通过因式分解转化为易于判断符号的形式,(4)判号，判断f(x1)f(x2)的符号；,（5）下结论.,18,1.函数f(x)=,2x+1,(x1),x,(x1),则f(x)的递减区间为(),A.1,),B.(,1),C.(0,),D.(,0,B,2、若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间4,+)上是增函数,求实数a的取值范围,3判断函数的单调性。,19,拓展提升复合函数的单调性,20,复合函数的单调性,规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数。“同增异减”,21,复合函数的单调性,例题：求下列函数的单调性y=log4(x24x+3),解设y=log4u（外函数）,u=x24x+3（内函数）.由u0,u=x24x+3，解得原复合函数的定义域为x|x1或x3.当x(，1)时，u=x24x+3为减函数，而y=log4u为增函数，所以(，1)是复合函数的单调减区间；当x(3，)时，u=x24x+3为增函数y=log4u为增函数，所以，(3，+)是复合函数的单调增区间.,22,例4：求的单调区间.,解:设由uR,u=x22x1,解得原复合函数的定义域为xR.因为在定义域R内为减函数，所以由二次函数u=x22x1的单调性易知,u=x22x1=(x1)22在x1时单调减，由xR,(复合函数定义域)x1，(u减)解得x1.所以(，1是复合函数的单调增区间.同理1，+)是复合函数的单调减区间.,23,复合函数的单调性小结,复合函数y=fg(x)的单调性可按下列步骤判断：(1)将复合函数分解成两个简单函数：y=f(u)与u=g(x)。其中y=f(u)又称为外层函数,u=g(x)称为内层函数;(2)确定函数的定义域；(3)分别确定分解成的两个函数的单调性；(4)若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数y=fg(x)为增函数；(5)若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数y=fg(x)为减函数。复合函数的单调性可概括为一句话：“同增异减”。,24,四、函数的奇偶性,1.奇函数:对任意的,都有,2.偶函数:对任意的,都有,3.奇函数和偶函数的必要条件:,注:要判断函数的奇偶性,首先要看其定义域区间是否关于原点对称!,定义域关于原点对称.,25,奇(偶)函数的一些特征,1.若函数f(x)是奇函数,且在x=0处有定义,则f(0)=0.,2.奇函数图像关于原点对称,且在对称的区间上不改变单调性.,3.偶函数图像关于y轴对称,且在对称的区间上改变单调性,26,一个函数为奇函数它的图象关于原点对称.,一个函数为偶函数它的图象关于y轴对称.,3.性质:,奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.,(2)在定义域的关于原点对称的公共区间内,奇奇=奇;偶偶=偶;奇偶=非奇非偶.,偶偶=偶；奇奇=偶；偶奇=奇.,(1)奇函数、偶函数的图象特点,(3)奇偶性与单调性的关系,27,(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)_，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中_的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.,3周期性,存在一个最小,f(x),28,例12判断下列函数的奇偶性,30,31,函数的奇偶性与周期性,32,函数的图象,1、用学过的图像画图。,2、用某种函数的图象变形而成。,（1）关于x轴、y轴、原点对称关系。,（2）平移关系。,（3）绝对值关系。,33,反比例函数,1、定义域.2、值域,3、图象,k0,k0时，图象与x轴有两个交点M1(x1,0),M2(x2,0)，,4.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)在m,n上的最值,(2)若m,n,则,当x0n时,f(x)min=f(n),f(x)max=f(m).,(1)若m,n,则,f(x)min=f(x0)=,37,有两不等实根x1,x2,x|xx2,有两相等实根x1=x2,无实根,x|xx1,R,3.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系,x|x10在R上恒成立,f(x)=ax2+bx+c0(a0)在m,n上恒成立,f(x)min0(xm,n),ax2+bx+c2xm恒成立,求实数m的取值范围,42,【例1】已知函数在区间0,1上的最大值是2，求实数a的值.,43,例2.设不等式mx2-2x-m+10)实根分布问题,51,实根分布问题,一元二次方程,1、当x为全体实数时的根,52,一元二次方程在某个区间上有实根，求其中字母系数的问题称为实根分布问题。,实根分布问题一般考虑四个方面，即：（1）开口方向（2）判别式（3）对称轴（4）端点值的符号。,2、当x在某个范围内的实根分布,53,54,55,56,57,58,59,60,可用韦达定理表达式来书写条件,也可,61,可用韦达定理表达式来书写条件,也可,62,可用韦达定理表达式来书写：ac0,63,解：,寻求等价条件,例1.m为何实数值时，关于x的方程（1）有实根（2）有两正根（3）一正一负,64,转变为函数，借助于图像，解不等式组,法二：,转化为韦达定理的不等式组,变式题：m为何实数值时，关于x的方程有两个大于1的根.,65,法三：,由求根公式，转化成含根式的不等式组,解不等式组，得,变式题：m为何实数值时，关于x的方程有两个大于1的根.,66,67,68,例3.就实数k的取值，讨论下列关于x的方程解的情况：,69,70,结论：,一元二次方程在区间上的实根分布问题.,71,注：前提m,n不是方程（1）的根.,72,3.用二分法求方程的近似解求解步骤：（1）确定区间a，b，验证f(a)f(b)0，给定精确度;（2）求区间(a，b)的中点x1;（3）计算f(x1)：若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；若f(a)f(x1)0，则令b=x1(此时零点x0(a，x1);若f(x1)f(b)0，则令a=x1(此时零点x0(x1，b);(4)判断