平面向量及其应用林胜杰

平面向量及其应用温州八重林胜杰矢量在数学、物理和许多生产实践中有广泛的应用，通过本章的复习，将我们对数量的数学表达式的认识引入新的领域，更深入地理解数形结合的思维方式，提高我们解决实际问题的能力。矢量是现代数学中重要的基本数学概念之一，是传递具有非常丰富实际背景的代数、几何和三角函数的工具。矢量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，因此将其成为中学数学知识的“交集”，作为连接多种内容的媒介。尤其是在处理三维几何、分析几何的测量、角度、平行、垂直、共线等问题时，利用矢量知识，可以将几何问题可视化、符号化、量化，将“定性”研究发展为“定量”研究。校准测试点一、考试内容1.向量、向量的概念、向量的加法和减法、实数和向量的乘积。平面向量的座标表现法，区段的固定分数点。3.平面向量的数值积，平面两点之间的距离公式。4.转换和转换公式。二、考试要求1.理解矢量的概念，掌握矢量的几何表示，理解共线矢量的概念。2.掌握矢量的加法和减法。3.掌握实数和方向积，了解两个矢量共线的充要条件。理解平面向量的基本定理。理解平面矢量坐标的概念，掌握平面矢量的坐标运算。掌握平面向量的数量积和几何意义。了解平面矢量的乘积后，可以处理长度、角度和垂直的问题，并掌握矢量垂直条件。6.掌握平面两点之间的距离公式，掌握线段的固定分数和中点公式，熟练使用；掌握转换公式。三、考试要点分析1.平面向量知识结构2.向量的概念(1)定义：具有现有大小和方向的量称为矢量。向量的大小也是向量的长度，称为向量的模。(2)特定大小或特定关系的向量：0向量、单位向量、共线向量(平行向量)、相等向量、相反向量。(3)表达几何方法：或绘制用a记录的直接线段表示法。坐标方法：=Xi yj=(x，y)；=(x2-x1，y2-y1)，其中A(x1，y1)，B(x2，y2)3.向量运算运算名称定义(法则)运算性质坐标运算加法运算a ba b=b a(a b) c=a (b c)a 0=0 a=a设定a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，B=(x1x2，y1 y2)减法运算A-B设定a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，A-b=(x1-x2，y1-y2)实数和向量的乘积a0，a与a方向相同，|a|=|a|0，a与a相反，| a |=- | a |0a=0(a)=()a( )a=a a(a b)=a b设定a=(x，y)邮报a=(x，y)平面向量的数量产品abab=| a | | b | Coss(a0，b0，0)ab=ba(a)b=a(b)=(ab)(a b)c=ac BC设定a=(x1，y1)，b=(x2，y2)Ab=x1x2 y1y2定理和公式(1)共线定理：矢量b与非零矢量a共线的充要条件是只有一个实数，b=a(2)平面矢量基本定理：如果E1，E2是同一平面内不共线的两个矢量，则此平面内的所有矢量a只有一对实数1，2只有a=12(3)两个非零矢量平行和垂直的先决条件：设置a=(x1，y1)，b=(x2，y2)aba=bx1y 2-x2y 1=0 a Bab=0x1x2y2=0(4)数值计算公式两点之间的距离公式：如果A=(x，y)，则|a|2=x2 y2或| a |=；设置P1 () p2 (x2，y2)时|=分段固定得分点坐标公式：设定P1 (x1，y1)、P2 (x2，y2)、P(x，y)、=中点坐标公式：如果P1 (x1，y1)、P2 (x2，y2)、P(x，y)是P1P2的中点两个向量的夹角公式：a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，a，b的夹角是，Cos=图形转换公式转换公式：如果点P0(x，y)相对于矢量a=(h，k)转换为P(x ，y )(6)相关结论分段中点的矢量表示：如果m是分段AB的中点，o是平面内的任意点()；矢量加法的多边形法则：有限矢量a1，a2，加an，从点o开始向量=a1，=a2，如果，=an可以逐个创建，则向量是这些向量的总和，即A1 a2.an=.=(添加矢量的多边形法则)。如果An和o匹配(即上面的折线OA1A2An).如果an是封闭折线)和向量为0向量。注：将上述矢量之和反向使用，将一个矢量显示为多个矢量之和，是解决矢量问题的重要手段。5.套用向量(1)矢量在几何中的应用(2)矢量在物理学中的应用四、思维方式向量法：用向量证明或解决问题的方向称为向量法。矢量方法对处理物理和几何非常有用。热点观点和命题趋势这部分高考的热点是矢量的概念，加，减，平面矢量的坐标运算，平面矢量的数倍；两个非零向量平行和垂直的充要条件；图形转换，应用分段评分点公式；正余弦定理及其在斜三角形求解中的应用。试题以选择题、填空为主，测试基本概念、基本运算。在大多数情况下，某些基本概念和公式可能很难作为中间步骤考虑。【实例说明】一.与矢量相关的概念和运算经常出现在选择题及填空填充问题中，在复习时要充分理解平面向量的相关概念，掌握向量的坐标运算、数量积运算、两个向量的共线、垂直必要条件。示例1如果已知A是从点A(3，-1)开始并与矢量b=(-3，4)平行的单位矢量，则矢量A的结束坐标为。方法；如果矢量a的结束坐标为(x，y)，则表示a=(x-3，y 1)是问题，因此填充(，-)或(，-)方法2与矢量b=(-3，4)平行的单位矢量是(-3，4)、您可以使用a=(-，)，以便向量a的结束座标为(x，y)=a=(- (3，-1)。注矢量有很多概念，容易混淆，在学习中要区分和理解每个概念的实体，要区分共线矢量、平行矢量、各向同性矢量、逆矢量、单位矢量等概念。与a平行的单位矢量e=示例2如果已知的|a|=1，|b|=1，a和b的夹角为60，x=2a-b，y=3 b-a，则x和y的夹角是多少？分析：需要| x | | y |，xy值来计算x和y之间的角度。计算时要注意计算的准确性。解决方案：已知的|a|=|b|=1，a和b之间的角度为60，则ab=| a | | b | cos=。计算x和y之间的角度需要值| x | | y |，xy。875 | x | 2=x2=(2a-b)2=4a 2-4a bb 2=4-4 1=3，| y | 2=y2=(3d B- a)2=9 B2-6ba a2=9-6 1=7。Xy=(2a-b) (3db-a)=6a b-2a2-3b2 ab=7a b-2a2-3b2=7-2-3=-，此外，/xy=| x | | y | cos ，即-=cos cos=-，=-arccos。x和y之间的角度为-arccos注：此问题的利用模块的特性|a| 2=a2在计算x，y的模长时，也可以得到向量加，减的几何意义。如图所示，=b，=a，=2a，BAC=60。从矢量减法的几何意义上，得到=-=2a-b。馀弦定理使其易于使用，例如| x |=| y |=。示例3如图所示，矢量I，j，E1，E2是单位矢量，Ij，E1E2； E1，E2的情况下为I，j；如果=xi y j，xy=1；=x1 E1 y1e2=时，寻找x1，y1的表示式，并描述方程式表现法中的曲线造型。E1E2jI塞塔分析：使用平面向量的基本定理分解向量，使用中间包含向量的基本运算o方程x12-y12=2曲线为双曲线。注：这个问题要求学生深刻理解平面向量的基本定理。预设向量的选取就是座标系统的选取。利用矢量的运算，可以研究不同坐标系中同一曲线的不同方程，反映坐标转换的思想，是初等数学和高等数学平滑转换的新“课程改革”的一个方向。二.平面向量和三角函数的交点矢量和三角函数的结合，主题新颖，与知识的“互连”主题一致，加强了对低音的核查。示例4已知的a=(cosa，sin)，b=(cosa，sin)(0)，(1)验证：a b和A-B相互垂直。(2)如果ka b与a-kb大小相等(k r和k0)，则寻找-(1)证据1:a=(cos，sin)，b=(cos，sin)a b=(cos cos ，sin sin )，a-b=(cos -cos ，sin- sin)a(a b)(a-b)=(coscos，sinsin)(cos-cosa，sin- sin)=cos2-cos2 sin2- sin2=0(a b)a-b证据2:a=(cos，sin)，b=(cos ，sin)a |=1，| b |=1；(a b)(a-b)=a2-B2=| a | 2-| b | 2=0；(a b)证据3:a=(cos，sin)，b=(cos ，sin)a |=1，| b |=1，注意=a，=b时| |=|=1，alpha-，-o，a，b 3点不在同一直线上。您可以看到，使用OA，OB作为其相邻边的平行四边形OACB是菱形，作为矢量加法，减法的几何意义。其中=a b，=a-b是菱形对角线，相互垂直，(a b)(2)解决方案：已知|ka b|和|a-kb|，kcoscos2(ksinsin)2=k2 12k cos(-)，| ka | 2=(cos-kcos)2(sin-ksin)2=k2 1-2k cos(-)，-2k cos(-)=-2k cos(-)k0cos(-)=00；0-，-=注：该问题以平面向量的知识为平台，测试了三角函数的运算，并给出了矢量垂直问题的多种证明方法，常用方法有三种。一个是根据数量积定义的证明，另一个是利用数量积的坐标运算的证明，另一个是利用矢量运算的几何意义的证明。对于示例5 (2004学年高考浙江)，已知3点a、b、c满足|=3，|=4，|=5的平面的值与相同。分析：这个问题主要是矢量和解决方案三角形的组合，在解决问题时，必须注意两个矢量的夹角和三角形的内角之间的关系(例如=-C)。答案：-25三.平面向量与分析几何的交点平面向量与分析几何集合代数和几何的共同特性决定了它们之间的必然联系，因此平面向量与分析几何的交集通常成为大学入学考试复习的重点，目标是将几何问题转换为坐标、符号、数量化，将推理转换为运算，从而解决角度、平行、垂直、共线、轨迹等问题。范例6在平面直角座标系统中，o为座标原点，A (3，1)、B(-1，3)已知，如果点c满足= ，其中/r和 =1，则c点的轨迹方程式为()A.3x2y-11=0B.(x-1) 2 (y-2) 2=5C.2x-y=0D.x 2y-5=0分析：如果设定C(x，y)，则=(x，y)(x，y)= (3，1) (-1，3)=(3-， 3)alpha，betaalpha=1删除alpha，beta x 2y-5=0示例7平移函数y=2x2，以找到目标图形和抛物线y=-2x2x12 4x2的两个交点相对于原点对称的转换后函数分析公式。如果设置了平移矢量a=(h，k)，y=2x2转换为a，则生成图像的分析公式为y=2 (x-h) 2 k。如果M(m，n)和m (-m，-n)是y=-2x2 4x2和y=2 (x-h) 2k的两个交点，则解决方法：或点(1，4)和点(-1，-4)位于函数y=2 (x-h) 2k的图像上分析公式为y=2 (x 1) 2-4，即y=2x2 4x-2解决方案2将y=2x2转换为矢量a=(h，k)，将P(x，y)设置为y=2x2的任意点，按a后，相应的点变为P y-k=2(x-h)2是转换后的函数图像分析表达式。卸载y: 4x2-4 (h 1) x 2 H2 k-2=0原点对称信息/x1x2=0，即=0，h=-1Y1 y2=0，2x 12-4h x12 k2x 22-4h x22 k=02(x12x 2)4(x1x 2)=-4-2k2 (x1x2) 2 4 (x1x2)-4x1x1=-4-2kx1x2=、-4=-4-2k，-k=-4y=2(x 1)2-4，即y=2x2 4x-2。注：固定分数和向量转换是与其他章节演讲知识(如平面分析几何、函数图像)相关联的向量的两个重要内容。处理这种问题最重要的是“顺序”(得分点要区分起点和终点；在图像平移中，必须区分哪个是哪个，然后结合公式解决问题)。如转换公式所示，转换前的函数分析公式y=f(x)是向量a=(h，k)转换后的函数分析公式y=f(x-h) k四。平面向量解决了物理问题向量是有大小和方向的量，物理中