数学104课外学生练与悟人教

第10章 第4讲一、选择题1过点(0,2)与抛物线y28x只有一个公共点的直线有()A1条B2条C3条 D无数条解析易知y轴与抛物线切于原点满足条件，直线y2与抛物线对称轴平行也满足条件，另外画出图形，易知有一条直线与抛物线切于x轴上方，故这样的直线有3条答案C2直线l经过抛物线y24x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若|AB|8，那么直线l的倾斜角是()A30或60 B30或150C45或60 D45或135解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为xmy1，则由得y24my40，得|y1y2|4|AB|48m1，故选D.答案D3抛物线y24x过焦点的弦的中点的轨迹方程是()Ay2x1 By22(x1)Cy2x Dy22x1解析焦点F(1,0)，设弦的端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点P(x，y)，则y124x1，y224x2，作差得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)，将y1y22y，代入式得2y4，即y22(x1)答案B4设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A， B2,2C1,1 D4,4解析由题意Q(2,0)，设l的方程为yk(x2)，代入y28x得k2x24(k22)x4k20，16(k22)216k40，即k21，1k1.答案C5两条渐近线为x2y0，x2y0，则截xy30所得弦长为的双曲线方程为()A.y21 B.y21Cx21 Dx21解析设双曲线为y2x24y24把yx3代入得3x224x3640x1x28，x1x2由|AB|解得1方程为y21.答案A6(2009深圳一模)设平面区域D是由双曲线y21的两条渐近线和椭圆y21的右准线所围成三角形的边界及内部若点(x，y)D，则目标函数zxy的最大值为()A1B2 C3D6解析如下图所示，阴影部分是平面区域D，求目标函数zxy的最大值，即求直线yxz在y轴上截距的最大值，当直线yxz过点A(2，4)时，z取最大值6.答案D二、填空题7两条渐近线为x2y0，x2y0，则该双曲线的离心率为_解析若焦点在x轴，e若焦点在y轴e.答案或8(2007合肥)设P是抛物线yx2上的任意一点，当点P和直线xy20上的点的距离最小时，点P到该抛物线的准线的距离是_解析设与直线xy20平行且与抛物线yx2相切的直线方程为yxb.xbx2x2xb0，14b0b，由得P点坐标为(，)又抛物线的准线方程为yP到该抛物线准线间的距离为().答案9椭圆1的焦点分别为F1和F2，过中心O作直线与椭圆交于A、B，若ABF2的面积为20，则直线AB的方程为_解析设AB所在直线方程为xky由得(4k29)y21800y1y20，y1y2SABF2|OF2|y1y2|30故由3020得kAB的方程为yx.答案yx10已知F(，0)，直线lx，点B是l上一动点，若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是_解析|MB|MF|M的轨迹是以F为焦点、l为准线的抛物线M的方程为y2x.答案抛物线y2x三、解答题11(2010福建，19)已知抛物线C：y22px(p0)过点A(1，2)(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由解(1)将(1，2)代入y22px，得(2)22p1，所以p2.故所求的抛物线C的方程为y24x，其准线方程为x1.(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y2xt，由得y22y2t0.因为直线l与抛物线C有公共点，所以48t0，解得t.另一方面，由直线OA与l的距离d可得，解得t1.因为1，1，所以符合题意的直线l存在，其方程为2xy10.12(2011惠州二模)已知椭圆中心E在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A(2,0)、B(2,0)、C三点(1)求椭圆E的方程；(2)若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点，F(1,0)，H(1,0)，当DFH内切圆的面积最大时，求内切圆圆心的坐标；(3)(理)若直线lyk(x1)(k0)与椭圆E交于M、N两点，证明直线AM与直线BN的交点在直线x4上解(1)设椭圆方程为mx2my21(m0，n0)，将A(2,0)、B(2,0)、C(1，)代入椭圆E的方程，得解得m，n.椭圆E的方程1.(2)|FH|2，设DFH中FH边上的高为h，SDFH2hh设DFH的内切圆的半径为R，因为DFH的周长为定值6.所以R63RSDFH，当D在椭圆上顶点时，h最大为，故SDFH的最大值为，于是R也随之最大值为，此时内切圆圆心的坐标为(0，)(3)(理)将直线lyk(x1)代入椭圆E的方程1并整理得(34k2)x28k2x4(k23)0.设直线l与椭圆E的交点M(x1，y1)，N(x2，y2)，由根系数的关系，得x1x2，x1x2直线AM的方程为：y(x2)，它与直线x4的交点坐标为p(4，)，同理可求得直线BN与直线x4的交