人教掌握基本图形学好立体几何

掌握基本图形 学好立体几何立体几何的研究对象是立体图形，它是平面图形的延伸和拓展,是中学数学的一个飞跃，同时还是学生学习的难点。作为初学立体几何的同学，就需要特别注意图形的学习和运用，对立体几何中的一些基本图形要了如指掌，一些基本图形，如正方体与四面体等，其特有的数量关系和位置为大多数学生所熟悉。如果掌握这些基本图形，那么，我们就会发现，有相当多的题目实际上就是以这些图形为背景的，我们完全可以从基本图形中进行联想，从而学好立体几何。值得一提的是，在近几年的高考中，也有相当一部分题目，就是这些基本图形中进行命题的。本文就立体几何的一些基本图形（正四面体和正方体），进行一些简单的归纳：一、 基本图形正四面体的性质（正方体的性质略）设正四面体的棱长为a，高为h，全面积为S，体积为V，相邻两面的二面角为，内切球的半径为r，外接球的半径为R，则有：；。正四面体内接于一正方体，且它们内接于同一球，球的直径等于正方体的对角线。正四面体内任意一点到四个平面的距离之和为该四面体的高。二、 基本图形性质的应用、基本图形正方体性质的应用1、展开例1（2001年春季高考题）右图是正方体的平面展开图在这个正方体中： 平行 CN与BE是异面直线CN与BM成角 DM与BN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是( ) （A）（B） （C）（D）简析：自己做个实验就能解决这个问题，以ABCD为底，用纸片把正方体拼出来，画上对应的线，一看便知：正确。2、射影例2 (2000年全国高考题)如图，E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是_。（要求：把可能的图的序号都填上） 简析：根据题目的各种可能情形进行分类，四边形BFD1E在正方体的面上的射影分三类：I）在上、下两个面上的射影为；II）在前后两个面上的射影为；III）在左右两个面上的射影为，故应填。3、相关球例3（2001年春季高考题）已知球内接正方体的表面积为S，那么球体积等于_ 简析：由性质可知正方体的对角线为球的直径，由正方体的表面积为S，易得正方体的对角线为，所以球的半径为，则球的体积为。4、截面例5(2003年全国高考题)下列五个正方体图形中，是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出面MNP的图形的序号是 .（写出所有符合要求的图形序号）简析：本题给出的平面是正方体内的部分截面，对考生的空间想象能力要求较高，所以考生在解答过程中，漏选是极为普遍的现象。显然由三垂线定理可得图形符号要求，若再直接采用线面垂直的方法进行证明，则其余几个不容易判断。若考生在解题过程中注意化归，不难联想，在正方体中有一组线面垂直的关系较为熟悉，即，如图，将截面IJK进行平移，使A、B、C、D、E、F是正方体中相应各棱的中点，可知截面ABCDEF为正六边形，显然面IJK截面ABCDEF，且同垂直于正方体的一条对角线l,而图、中的截面分别为正六边形上对应的3点BCE，ACE所在的平面，又图、中截面MNP都与正六边形ABCDEF相交与一条直线，即截面MNP与对角线l均不垂直，故应填。、基本图形正四面体性质的应用1、空间距离例6（2001东城区模拟题）已知A，B，C，D为同一球上的四点，且连接每两点间的线段长都等于2，则球心O到平面BCD的距离为（ ）(A) (B) (C) (D) 简析：如图，正四面体内接一球，则球心位于正四面体的中心O，AH为正四面体的高，且O在AH上，由上述性质可知，而。故应选B。2、空间角例7正三棱锥S-ABC侧棱与底面边长相等，若E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于 。简析：此正三棱锥即为正四面体，将它转移到正方体中，如右图：易得EF与SA所成的角为。3、相关球例8(2003年全国高考题)一个四面体的所有棱长都为,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为( )(A) (B) (C) (D) 简析：因为四面体的所有棱长都为，所以该四面体为正四面体。首先将正四面体补成正方体，然后再利用性质：正四面体内接于一正方体，且它们内接于同一球，球的直径等于正方体的对角线。就会有意想不到的解题功效。略解：将正四面体补成正方体，由上述结论可知正四面体的外接球即为正方体的外接球。正四面体的棱长为，正方体的棱长为1。正方体的外接球的半径为。外接球。故选A。通过以上例子可以看出正方体、正四面体等基本图形及两者之间的联系，在考查学生空间想象能力、逻辑思维能力等方面有着许多