数学一轮课时检测第八章第七节抛物线理

第八章 第七节 抛物线 一、选择题 1已知抛物线x2ay的焦点恰好为双曲线y2x22的上焦点，则a等于 ( ) A1 B4 C8 D16 解析：根据抛物线方程可得其焦点坐标为(0，)，双曲线的上焦点为(0,2)，依题意则有 2, 解得a8. 答案：C 2抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是 ( ) A B C. D. 解析：抛物线方程可化为x2，其准线方程为y.设M(x0，y0)，则由抛物线的定义，可知y01y0. 答案：B 3(2011辽宁高考)已知F是拋物线y2x的焦点，A，B是该拋物线上的两点，|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为 ( ) A. B1 C. D. 解析：根据拋物线定义与梯形中位线定理，得线段AB中点到y轴的距离为：(|AF|BF|). 答案：C 4已知抛物线y22px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是 ( ) A相离 B相交 C相切 D不确定 解析：设抛物线焦点弦为AB，中点为M，准线l，A1、B1分别为A、B在直线l上的射影，则|AA1|AF|，|BB1|BF|，于是M到l的距离d(|AA1|BB1|)(|AF|BF|)|AB|半径，故相切 答案：C 5(2012宜宾检测)已知F为抛物线y28x的焦点，过F且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，则|FA|FB|的值等于 ( ) A4 B8 C8 D16 解析：依题意F(2,0)，所以直线方程为yx2由，消去y得x212x40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|FA|FB|(x12)(x22)|x1x2|8. 答案：C 6在y2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是 ( ) A(2,1) B(1,2) C(2,1) D(1,2) 解析：如图所示，直线l为抛物线y2x2的准线，F为其焦点，PNl，AN1l，由抛物线的定义知，|PF|PN|，|AP|PF|AP|PN|AN1|，当且仅当A、P、N三点共线时取等号P点的横坐标与A点的横坐标相同即为1，则可排除A、C、D. 答案：B 二、填空题 7(2012永州模拟)以抛物线x216y的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为_ 解析：抛物线的焦点为F(0,4)，准线为y4，则圆心为(0,4)，半径r8.所以，圆的方程为x2(y4)264. 答案：x2(y4)264 8已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，抛物线上一点Q(3，m)到焦点的距离是5，则抛物线的方程为_ 解析：设抛物线方程为x2ay(a0)， 则准线为y. Q(3，m)在抛物线上， 9am. 而点Q到焦点的距离等于点Q到准线的距离， |m()|5.将m代入， 得|5，解得，a2，或a18， 所求抛物线的方程为x22y，或x218y. 答案：x22y或x218y 9已知抛物线y24x与直线2xy40相交于A、B两点，抛物线的焦点为F，那么| | | | _. 解析：由，消去y，得x25x40(*)，方程(*)的两根为A、B两点的横坐标，故x1x25，因为抛物线y24x的焦点为F(1,0)，所以| | | | (x11)(x21)7 答案：7 三、解答题 10根据下列条件求抛物线的标准方程： (1)抛物线的焦点是双曲线 16x29y2144的左顶点； (2)过点P(2，4) 解：双曲线方程化为1， 左顶点为(3,0)， 由题意设抛物线方程为 y22px(p0)，则3， p6，抛物线方程为y212x. (2)由于P(2，4)在第四象限且抛物线对称轴为坐标轴，可设抛物线方程为y2mx或x2ny，代入P点坐标求得m8，n1， 所求抛物线方程为y28x或x2y. 11已知点A(1,0)，B(1，1)，抛物线C：y24x，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M，P两点，直线MB交抛物线C于另一点Q.若向量与的夹角为，求POM的面积 解：设点M(，y1)，P(，y2)， P，M，A三点共线， kAMkPM， 即， 即， y1y24. y1y25. 向量 与 的夹角为， | | |cos5. SPOM| | | | sin. 12(2011新课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，1)，B点在直线y3上，M点满足 ， ，M点的轨迹为曲线C. (1)求C的方程； (2)P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值 解：(1)设M(x，y)由已知得B(x，3)，A(0，1) 所以 (x，1y)， (0，3y)， (x，2) 再由题意可知( )0，即(x，42y)(x，2)0. 所以曲线C的方程为yx22. (2)设P(x0，y0)为曲线C：yx22上一点，