天津南开中学高三数学第一次月考理无

天津市南开中学2015届高三第一次月考数学试卷（理科） 考试时间：120分钟卷一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡，每小题5分，共60分）设集合，则( ).A., B. C. D. 2. 函数的零点所在的一个区间是（ ）.A., B. C. D. 3. 设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（ ）.A., B. C. D. 4. 下面不等式成立的是（ ）.A., B. C. D. 5. 已知实数满足，则下列关系式恒成立的是（ ）.A., B. C. D. 6. 若函数的值域是，则函数的点值域是（ ）.A., B. C. D. 7. 函数的单调增区间为（ ）.A., B. C. D. 8. 在上定义的函数是偶函数，满足，且对任意的，则（ ）.A., B. C. D. 9. 直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ）.A., B. C. D. 10. 设在内单调递增，则是的（ ）.A., 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 11. 设函数，的零点分别为，则（ ）.A., B. C. D. 12. 设是定义在上的奇函数，且当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）.A., B. C. D. 卷（讲答案写在答题纸上，在试卷上作答无效）二、填空题：（每小题5分，共30分）13. 曲线在点处的切线方程为_.14. 不等式的解集是_.15. 函数，若，则的值为_.016. 方程的实数解的个数为_.217. 函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为_.818. 设函数在上存在导数，对任意的，有，且在上，若，则实数的取值范围为_.三、 解答题（每小题15分，共60分）19. 已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分。现从该箱中任取3个球（无放回，且每球取到的机会均等），记随机变量为取出3球所得分数之和。（） 求的分布列；（） 求的数学期望。解：（）由题可知的取值为：3、4、5、6.; ; 故所求的分布列为3456（）所求的数学期望为：20. 设函数。（） 若曲线在点处的切线方程为，求的值；（） 求函数的单调区间与极值。解：（） 。曲线在点处与直线相切。（） ，当时，函数在上单调递增，此时函数没有极值点。当时，令，解得。当变化时，的变化情况如下表：+0-0+极大值极小值所以的单调递增区间是，；单调递减区间是此时，。21. 已知是函数的一个极值点。（） 求；（） 求函数的单调区间；（III） 若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围。解：（） ，因此。当时，由此可知，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，是函数的一个极值点。（）由（）知，所以。当时， 当时， 所以函数的单调增区间是，函数的单调减区间是。（III）直线与函数的图象有3个交点；等价于有3个实数根，即有3个实数根；此时，函数的图象与轴有3个不同的交点，令，则，令，解得或，列表如下：13+0-0+极大值极小值为极大值，为极小值。为使函数的图象与轴有3个不同的交点，必须的极大值大于零极小值小于零，即，可化简为，解得22. 设。（） 若，对一切恒成立，求的最大值；（） 设，且是曲线上任意两点。若对任意的，直线的斜率恒大于常熟，求的取值范围；（III） 是否存在正整数，使得对一切正整数均成立？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由。， 解：（）时，令，解得。因为时，单调递减；时，单调递增。所以。由，有，即的最大值是1.（）设是两个任意实数，且，则有，即。设，则在上单调递增，故，即对任意，对任意实