数列数学归纳法不等式人教

数列 数学归纳法 不等式数列在历年高考中都占有较重要的地位，一般情况下都是一个客观性试题加一个解答题，分值占整个试卷的10%左右。理科数学的数列解答题经常放在倒数第2题或压轴题的位置，大多以考查数列、数学归纳法内容为主，并涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目。这类问题对能力要求较高，特别是运算能力、归纳猜想能力、转化能力、逻辑推理能力更为突出，尤其近几年高考加强了数列推理能力的考查，应引起我们足够的重视。 数列是特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的重要工具，三者的综合求解题是对基础和能力的双重检验，而三者的求证题所显现出的代数推理是近年来高考命题的新热点。以数列为背景的不等式证明题，因是与自然数n相关的命题，我们很容易联想到用数学归纳法证明。虽然人教版的现行教材删掉了旧教材中用数学归纳法证明不等式的内容，但人教版新课标（B版）的选修4-5中却又单独设立了数学归纳法与贝努利不等式一章，而且近年来（尤其是2005年）全国高考及多个单独命题省市的理科数学高考试卷也在此处多有考查，因此，我们在高三总复习中单独设立一个数学归纳法证明不等式专题，是大有必要的。 用数学归纳法证明不等式的重点在第二步（同时也是难点之所在），即：假设f(k)g(k)成立，证明f(k+1)g(k+1)成立。对这个条件不等式的证明，除了灵活运用作差比较法、作商比较法、综合法、分析法等常用的不等式证明方法外；放缩法作为证明不等式的特有技巧，在用数学归纳法证明不等式时，更被经常使用。 在用数学归纳法证明不等式的具体过程中，要注意以下几点：（1）在从n=k到n=k+1的过程中，应分析清楚不等式两端（一般是左端）项数的变化，也就是要认清不等式的结构特征；（2）瞄准当n=k+1时的递推目标，有目的地进行放缩、分析；（3）活用起点的位置；（4）有的试题需要先作等价变换。下面，我们将通过例题来具体阐述上述几点注意事项。例1 求证：证明：（1）当n=2时，右边=，不等式成立（2）假设当时命题成立，即则当时， 所以则当时，不等式也成立由（1），（2）可知，原不等式对一切均成立点评：本题在由到时的推证过程中， （1）一定要注意分析清楚命题的结构特征，即由到时不等式左端项数的增减情况；（2）应用了放缩技巧：例2已知，用数学归纳法证明：证明：（1） 当n=2时，命题成立（2）假设当时命题成立，即则当时， 所以则当时，不等式也成立由（1），（2）可知，原不等式对一切均成立点评：本题在由到时的推证过程中， （1）不等式左端增加了项，而不是只增加了“”这一项，否则证题思路必然受阻；（2）应用了放缩技巧：例3（2005全国卷理第22题，本大题满分12分）（）设函数，求的最小值；（）设正数满足，证明标准答案：本小题主要考查数学归纳法及导数应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力. （）解：对函数求导数： 于是当时，在区间是减函数，当时，在区间是增函数.所以时取得最小值，（）证法一：用数学归纳法证明.（i）当n=1时，由（）知命题成立.（ii）假定当时命题成立，即若正数，则当时，若正数令则为正数，且由归纳假定知 同理，由可得 综合、两式即当时命题也成立.根据（i）、（ii）可知对一切正整数n命题成立.点评：作为2005年高考全国卷理科数学的压轴题，本题首先利用导数证明了一个在n=1时成立的命题，然后再由数学归纳法原理证明n是任意正整数时命题也成立，成功地实现了由有限向无限的飞跃。数学归纳法、数列极限、函数极限等都是由有限把握无限的极好例证。随着高中数学课程改革的逐步深入，对有限与无限思想的考查力度会不断加大，这是高考命题的一个新趋势，必须给予足够的重视。用数学归纳法证明本题的第（）问，在由到时的推证过程中，要注意以下几点：（1）不等式左端增加了项（2）当时，而所以不能直接利用归纳假设：“若正数，则”（3）此法将分为前后两部分（每一部分均为项），创造性地应用了归纳假设，即主动创造出能够利用归纳假设的条件：“令则为正数，且由归纳假定知” 这是能够顺利突破此题的关键之所在，也是此法的精华之所在例4 数列的通项公式为，将数列中的第2, 4, 8, , 项依次取出，按原来的顺序组成一个新数列，记其前n项和为，当n4时，证明证明： ， ， 而 要证，只需证， 即证：用数学归纳法来证明：（1） 当n=4时，成立（2） 假设当时，结论成立，就是，那么这就是说，当时，也成立 由（1）和（2）知，对n4， 都成立点评：（1）“要证，只需证， 即证：”是证明了原不等式的等价不等式，从而将命题简化。（2）本题用数学归纳法证明，第二步采用的是作差比较法：作差利用归纳假设变形（因式分解）定号，这比通常的“作差 变形 定号”多了利用归纳假设这一步，这是因为利用归纳假设是用数学归纳法证明命题时所必需的！ 在证明 时，也可以瞄准这一递推目标，有目的地放缩而得：（3）也可不用数学归纳法来证明，而是利用二项展开式和放缩法直接证得：当n4时，例5求证： 当时，简析：此不等式若直接采用数学归纳法证明，则比较麻烦；但若注意到原不等式等价于再用数学归纳法证明（*）式，就简捷多了。 具体证明过程略。（注：此题采用均值不等式或柯西不等式可迅速证得。）例6 （2005年高考山东卷文科数学第21题，理科数学第21题）已知数列的首项前项和为，且（I）证明数列是等比数列；（II）令，求函数在点处的导数，（理科）并比较与的大小.解：由已知， 可得时，两式相减得，即，从而当时，又，从而故总有，又，从而，即数列是以为首项，2为公比的等比数列（II）由（I）知因为，所以，从而 =-=（理科）由上 -=12（）当时，（）式=0，所以；当时，（）式=-12，所以；当时，,又所以，即（），从而综上，当时， ；当时， ；当时， 点评： 比较与的大小，采用了最重要、最基本的作差比较法，在整理出=12（）后，问题就转化为判断（）式的正负号，需要对n进行分类讨论： 当时，（）式 =0； 当时，（）式 0；当时， （）式 0证明“时，”，既可以采用上述解答中的方法（利用二项展开式和放缩法证得），也可以采用数学归纳法来证明：（1） 当n=3时，不等式成立（2） 假设时，有，则 ，从而， 即时，亦有由（1）和（2）知，对都成立例7（取材于2004年广东高考数学试卷第21题）求证：，其中，且证明：法一作差、放缩，然后利用二项展开式和放缩法证明当，且时，法二用数学归纳法证明（1）当m=2时，不等式成立（2）假设时，有，则 ，即从而， 即时，亦有由（1）和（2）知，对都成立点评：实际上，对任意，均有对这个不等式的证明，上述两种方法均无能为力下面，我们应用导数对其进行证明应用导数证明不等式的一个通行的方法就是设辅助函数：设，则令，解得极小值由上表可知，即，对任意，均有高中数学增加“导数”内容后，就为我们证明不等式开辟了一条新途径，即：构造函数，采用求导的方法，利用函数的单调性和最值证明不等式这是今后高考命题的一个新动向，必须予以高度重视附：2004年广东高考数学试卷第21题设函数，其中常数m为整数.（）当m为何值时，0； （）定理: 若函数g（x） 在a，b上连续，且g（a）与g（b）异号，则至少存在一点x0（a，b），使g（x0）=0.试用上述定理证明：当整数m1时，方程f（x）= 0，在em ，e2m 内有两个实根.例8求证：用数学归纳法证明 证明：（1） 当n=1时， ，不等式成立；当n=2时， ，不等式成立；当n=3时， ，不等式成立（2）假设当时不等式成立，即 则当时，（*）从而，即当时，不等式也成立由（1），（2）可知，对一切都成立点评： 因为在（*）处，当时才成立，故起点只证n=1还不够，因此我们需注意命题的递推关系式中起点位置的推移例9（2004年辽宁省高考数学试卷第21题）已知函数的最大值不大于，又当（1）求a的值； （2）设 证明标准答案：本小题主要考查函数和不等式的概念，考查数学归纳法，以及灵活运用数学方法分析和解决问题的能力. 满分14分. （1）解：由于的最大值不大于所以 又所以. 由得 （2）证法一：（i）当n=1时，不等式成立；因 故时不等式也成立.（ii）假设时，不等式成立，因为的对称轴为知为增函数，所以由得, 于是有 所以当n=k+1时，不等式也成立. 根据（i）（ii）可知，对任何，不等式成立. 14分点评： 本题在用数学归纳法证明不等式的过程中，充分利用了数列递推关系式的函数单调性将起点的位置推移至2的目的，就是要将置于函数的单调递增区间内，从而由得例10 已知数列中，所有项都是正数，且，求证：思路分析：（1）当n=1时，由，且，可得，命题成立（2）假设当时命题成立，即则当时， ，由于以上二式不是同向不等式，所以无法完成由到的证明，到此好象“山重水复疑无路”，证题思路受到阻碍寻找出路：法一我们不妨先由已知关系式和归纳假设得出有利于我们推证的“半成品”不等式：然后，再利用分析法寻求证题思路：要证，只需证，即证，也就是证当注意到上面的“半成品”不等式时，问题就转化成只要证出，即证出，就可以证得而 ，即成立，所以命题得证法二要利用关系式证明，只需证，即证 而由归纳假设 ，又，所以成立，所以命题得证点评：前面思路受阻的原因就在于：在证由到的过程中，不会分析研究待证结论的结构特性，不会用分析法寻找证题途径，问题得不到转化，从而陷入“山穷水尽”、“走投无路”的困境。本题也可以在数学归纳法中，利用函数的单调性进行证明：函数的最大值为，且在上为增函数（i）当n=1时，由，且，可得，命题成立而，故时命题也成立.（ii）假设时，命题成立，即，因为函数在上为增函数，所以由 及 得 即，所以当n=k+1时，命题也成立. 根据（i）（ii）可知，对任何， . 例11（2005年江西省高考理科数学第21题，本小题满分12分）已知数列（1）证明（2）求数列的通项公式an.标准答案：解：（1）方法一 用数学归纳法证明：1当n=1时， ，命题正确.2假设n=k时有 则 而又时命题正确.由1、2知，对一切nN时有方法二：用数学归纳法证明：1当n=1时，； 2假设n=k时有成立， 令，在0，2上单调递增，所以由假设有：即也即当n=k+1时 成立，所以对一切（2）下面来求数列的通项：所以 则又bn=1，所以点评：本题第（1）问给出的两种方法均是用数学归纳法证明，所不同的是：方法一采用了作差比较法；方法二利用了函数的单调性本题也可先求出第（2）问，即数列的通项公式，然后利用函数的单调性和有界性，来证明第（1）问的不等式但若这样做，则无形当中加大了第（1）问的难度，显然不如用数学归纳法证明来得简捷例12（2004年湖北高考数学理工第22题）已知（I）已知数列极限存在且大于零，求（将A用a表示）；（II）设（III）若都成立，求a的取值范围.标准答案：本题主要考查数列、数列极限的概念和数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分.解：（I）由（II）（III）（i）当n=1时结论成立（已验证）.（ii）假设当故只须证明即n=k+1时结论成立.根据（i）和（ii）可知结论对一切正整数都成立.故点评：解答本题的突破口在第一问，而解答第一问的关键是利用；对于第二问的证明主要是利用已知条件进行等价变形；对于第三问，应先通过特例求出的取值范围，再进一步利用数学归纳法加以证明例13（2005年辽宁高考数学第19题）已知函数设数列满足，数列满足 （）用数学归纳法证明； （）证明标准答案：本小题主要考查数列、等比数列、不等式等基本知识，考查运用数学归纳法解决有关问题的能力，满分12分。 （）证明：当 因为a1=1，所以 下面用数学归纳法证明不等式 （1）当n=1时，b1=，不等式成立， （2）假设当n=k时，不等式成立，即那么 所以，当n=k+1时，不等也成立。根据（1）和（2），可知不等式对任意nN*都成立。 （）证明：由（）知， 所以 故对任意点评：（1）为了用上归纳假设，我们可将作如下处理再与递推目标相比较，可知，只需证出，因此，就有了本题解答开篇的“当 因为a1=1，所以”（2）本题第()问借用第()问的结论，利用放缩法而证得此题若直接用数学归纳法证明，则行不通，原因是：假设当时不等式成立，即则当时，由于，所以思路受阻原因就在于2是一个常数，从k到（k+1）时右边常量不变，而左边变大，这样就无法递推下去此题若就是要用数学归纳法来证明，我们由上面的放缩法证明得到启示， 或联想到，且n=1时， 不妨把命题 强化为而（）容易用数学归纳法证得（证明过程略），又，所以（）成立点评：用数学归纳法证明（是与n无关的常数）一类不等式时，从k到（k+1）的归纳过渡最容易阻碍思路若利用且，把命题结论强化为或，即把换成，此时归纳假设也随之加强，这样强化了的命题更易于用数学归纳法证明例15 设，求证：对于一切都成立思路分析： 是显然的假设当时不等式成立，即，那么当时，因为，所以，因此由递推式推不出，这样，从k到（k+1）的证题思路受阻寻找出路：由于，出现在分母上，要得到成立，归纳过渡所必需的条件是寻找出小于某个值也就是说，要证，