数学二轮20选考部分学案

用心 爱心 专心 选考部分选考部分 知识体系知识体系 1.1.几何证明选讲几何证明选讲 2.2.曲线的极坐标方程曲线的极坐标方程 3.3.参数方程参数方程 4.4.坐标系与坐标变换坐标系与坐标变换 5.5.框图框图 6.6. 特征值与特征向量特征值与特征向量 矩阵的简单应用矩阵的简单应用 7 7 逆变换与逆矩阵逆变换与逆矩阵 8.8.变换的复合与矩阵的乘法变换的复合与矩阵的乘法 9.9.几种常见的平面变换几种常见的平面变换 10.10.二阶矩阵与平面向量二阶矩阵与平面向量 11.11.微积分基本定理与应用微积分基本定理与应用 12.12.曲边梯形的面积与定积分曲边梯形的面积与定积分 1.1.几何证明选讲几何证明选讲 第一节第一节 三角形三角形 一考纲要求一考纲要求 了解平行线等分线段定理和平行截割定理；掌握相似三角形的判定定理及性质定理； 理解直角三角形射影定理。 二知识梳理二知识梳理 1平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线 上截得的线段 推论 1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必 推论 2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于 ，并且等于 2平行线分线段成比例定理：两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应 线段 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段 结论 1：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与 原三角形的三边 结论 2：三角形的一个内角平分线分对边所成的两条线断于这个角的两边 。 结论 3：若一条直线截三角形的两边（或其延长线）所得对应线段成比例，则此直线与 三角形的第三边 3 相似三角形的判定定理： （1） （SAS） （2） (SSS) （3）(AA) 用心 爱心 专心 推论：如果一条直线与三角形的一边平行，且与三角形的另两条边相交，则 相似三角形的性质定理：相似三角形的对应线段的比等于 ，面积比等于 4 直角三角形的射影定理：直角三角形一条直角边的平方等于 ，斜边上的高等于 三诊断练习三诊断练习 1如图 1， 321 /lll，AM=3，BM=5，CM=4.5，EF=16，则 DM= ，EK= ，FK= 2如图 2，AB 是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚 B 距墙 80cm，梯上点 D 距墙 70cm，BD 长 55cm，则梯子的长为 cm 3如图 3，ABC 中，1=B，则 此时若 AD=3，BD=2， 则 AC= 4如图 4，CD 是 RtABC 的斜边上的高 （1）若 AD=9，CD=6，则 BD= ； （2）若 AB=25，BC=15，则 BD= 四范例导析四范例导析 例例 1 1 如图 5，等边DEF内接于ABC，且DE/BC，已知BCAH 于点 H，BC4，AH3，求DEF的边长 图 5 A M C E K FB D l1 l2 l3 图 1 A D B 图 2 A C B D 1 图 3 AB C D 图 4 BC A D FH E 用心 爱心 专心 例例 2 2 如图 6，在 ABC 中，作直线 DN 平行于中线 AM，设这条直线交边 AB 与点 D，交边 CA 的延长线于点 E，交边 BC 于点 N 求证：ADAB=AEAC 例例 3 3 如图 7，E，F 分别是正方形 ABCD 的边 AB 和 AD 上的点，且 3 1 AD AF AB EB 求证：AEF=FBD 五当堂反馈五当堂反馈 1如图 8，ABC 中，点 D 为 BC 中点，点 E 在 CA 上，且 CE= 2 1 EA，AD，BE 交于点 F，则 AF:FD= 2一个等腰梯形的周长是 80cm，如果它的中位线长与腰长相等，它的高是 12cm，则这个 梯形的面积为 cm2 3两个三角形相似，它们的周长分别是 12 和 18，周长较小的三角形的最短边长为 3，则 另一个三角形的最短边长为 4如图 9，已知1=2，请补充条件： （写一个即可） ，使得 ABCADE A BC D M E 图 6 N A BCD F E 图 8 A C B 图 9 E 1 2 A B C D M F E 图 7 用心 爱心 专心 第二节第二节 直线和圆直线和圆 一考纲要求一考纲要求 1理解圆周角定理及其推论；掌握圆的切线的判定定理及性质定理；理解弦切角定理及其 推论； 2掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理；理解圆内接四边形的性质定理与判定定理 二知识梳理二知识梳理 1圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于 圆心角定理：圆心角的度数等于 的度数 推论 1：同弧或等弧所对的圆周角 ；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧 推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是 ； 90的圆周角所对的弦是 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的 2 圆内接四边形的性质与判定定理： 圆的内接四边形的对角 ；圆内接四边形的外角等于它的内角的 如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点 3切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的 推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过 ；经过切点且垂直于切线的直 线必经过 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的 4相交弦定理：圆内两条相交弦， 的积相等。 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线， 的两条线段长的积相 等。 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是 的比例中项。 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长 ；圆心和这点的 连线平分 的夹角。 三诊断练习三诊断练习 1、如图 10，点 P 是O 的直径 BA 延长线上一点，PC 与O 相切于点 C，CDAB，垂足为 D，连结 AC、BC、OC，那么下列结论中正确结论的个数有 个 PC2=PAPB；PCOC=OPCD；OA2=ODOP；OA（CPCD）=APCD 2、AB是O的直径，弦CDAB，垂足为P，若APPB14，CD8，则直径AB的长是 AOD P C B 图 10 用心 爱心 专心 3、如图 11，AB 是O 的直径，P 是 AB 延长线上一点，PC 切O 于点 C，PC=3，PB=1，则 O 的半径为 4、如图 12，圆O上的一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则圆O的直径为 四范例导析四范例导析 例例 1 1 如图 13，AB是O的直径，C是O外一点，且ACAB，BC交O于点D已知 BC4，AD6，AC交O于点E，求四边形ABDE的周长 例例 2 2 如图 14，已知AD是ABC的外角EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交 ABC的外接圆于点F，连接FB，FC （1）求证：FBFC； （2）若AB是ABC的外接圆的直径， EAC 120，BC6，求AD的长 例例 3 3 如图 15，1和O2都经过 A、B 两点，经过点 A 的直线 CD 与O1交于点 C，与O2交 于点 D经过点 B 的直线 EF 与O1交于点 E，与O2交于点 F 求证：CEDF A B P C 图 11 O O2 O1 F E D C B A 图 15 A DO C B 图 12 A B O E C D 图 13 A B F CD E 图 14 用心 爱心 专心 五当堂反馈五当堂反馈 1、下列命题中错误的是 （1）过一个圆的直径两端点的两条切线互相平行 （2）直线 AB 与O 相切于点 A，过 O 作 AB 的垂线，垂足必是 A （3）若同一个圆的两条切线互相平行，则连结切点所得的线段是该圆的直径 （4）圆的切线垂直于半径 2、如图 17，已知 AB 是O 的弦，AC 切O 于点 A，BAC=60，则ADB 的度数为 3、如图 18，PA 与圆切于点 A，割线 PBC 交圆于点 B、C，若 PA=6，PB=4，AB 的度数为 60，则 BC= ，PCA= ，PAB= 4、如图 19，ABC是O的内接三角形，PA是O的切线，PB交AC于点E，交O于点 D，若PEPA，60ABC，PD1，BD8，则线段BC= 参考答案参考答案 第一节第一节 三角形三角形 三诊断练习三诊断练习 1DM=7.5，EK=6，FK=10 2440 3ACD，ABC，15 4.4，9 四范例导析四范例导析 例 1 解: 设等边DEF的边长为x，则它的高为x 2 3 ， 因为DE/BC，所以 3 2 3 3 4 x x ，解得x= 3 4 例 2 证明：AMEN， ADAB=NMMB，NMMC=AEAC MB=MC， ADAB=AEAC 例 3 证明：过点 F 作 FMBD 于点 M设正方形的边长为 a，则 BD=2a B A D C O 图 17 B C A P 图 18 A P CB ED 图 19 用心 爱心 专心 3 1 AD AF AB EB ，EB=AF= 3 1 a，AE=DF= 3 2 a 在 RtDMF 中，EM=DM= 2 2 DF= 3 2 a，BM=2a 3 2 a= 3 22 a 在 RtAEF 和 RtMBF 中， 2 1 3 2 3 1 a a AE AF ， 2 1 a2 3 2 a 3 2 BM FM ，A=BMF=90， AEFMBFAEF=FBD 五当堂反馈五当堂反馈 1.AF:FD=4:1 2.240 3. 2 9 4.B=D（或C=E，或 AB AD AC AE ） 第二节第二节 直线和圆直线和圆 三诊断练习三诊断练习 1.4 2.10 3.4 4.10 四范例导析四范例导析 例 1 解: 因为AB是O的直径，所以BCAD ， 所以AD是ABC的中线，所以ABAC102 BDDC2，由CBDEC，所以DEDC2 由CECA=CDCB,得 CE 5 102 ，所以10 5 8 5 102 102AE 例 2 证明 :（1）因为AD平分EAC，所以EADDAC 因为四边形AFBC内接于圆，所以FBCDAC，所以FCBFABEAD， 所以FCBFBC，所以FBFC （2）因为AB是ABC的外接圆的直径，所以90ACD 因为EAC=120，所以 1 60 2 DACEAC，30D 在 RTACB中，因为BC6，60BAC，所以2 3AC 又在 RTACD中，30D，2 3AC ，所以4 3AD 例 3 证明：连结 ABABEC 是O1的内接四边形， BAD=E ADFB 是O2的内接四边形， BADF=180 EF=180 CEDF 五当堂反馈五当堂反馈 用心 爱心 专心 1.（4） 2.120. 3.5,30,30. 4.72 随堂巩固练习（随堂巩固练习（1 1） 1 如图 1，已知：ACAB，BDAB，AO=78cm，BO=42cm，CD=159cm，则 CO= cm，DO= cm 2已知，如图 2，AAEE，AB=BC=CD=DE，AB=BC=CD=DE，若 AA=28mm，EE=36mm，则 BB= ，CC= ，DD= 3如图 3，EFBC，FDAB，AE=1.8cm,BE=1.2cm,CD=1.4cm则 BD= 4已知，如图 4，在平行四边形 ABCD 中，DB 是对角线，E 是 AB 上一点，连结 CE 且延长和 DA 的延长线交于 F，则图中相似三角形 的对数是 5如图 5，在ABC 中，AD是角BAC的平分线，AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,则BD cm 6如图 6，EDFGBC，且 DE，FG 把 ABC 的面积分为相等的三部分，若 BC=15，则 FG 的长为 7如图 7，已知矩形 ABCD 中，AEF=90，则下列结论一定正确的是 （1）ABFAEF （2）ABFCEF （3）CEFDAE （4）ADEAEF A B C D EE D C B A 图 2 A BCD F E 图 3 A F EB C G D 图 4 A DE CB FG 图 6 AO C B D 图 1 图 5 用心 爱心 专心 8如图 8，在 RtABC 中，C=90，D 是 BC 中点，DEAB，垂足为 E，B=30，AE=7则 DE 的长为 9若一个梯形的中位线长为 15，一条对角线把中位线分成两条线段这两条线段的比是 3:2，则梯形的上、下底长分别是_ 10如图 9，BD、CE是ABCV的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则:PQ BC= 11如图 10，在ABC 中，ADBC于D，DEAB于E，DFAC于F求证： ACAFABAE 12如图 11，在梯形 ABCD 中，ADBC，E，F 分别是 AB，CD 的中点 求证：GH= 2 1 （BCAD） 图 11 B C DA EF GH AB CDE F 图 7 D A CB E 图 8 图 9 图 10 用心 爱心 专心 13已知：如图 12，ABC中，ABAC，90BAC ，D、E、F分别在AB、AC、BC 上，ACAE 3 1 ， 1 3 BDAB，且 1 3 CFBC求证：（1）EFBC；（2） ADEEBC 随堂巩固练习（随堂巩固练习（2 2） 1如图 1，AB=BC=CD，E=40，则ACD= 2如图 2，已知O 的切线 PC 与直径 BA 的延长线相交于点 P，C 是切点，过 A 的切线交 PC 于 D，如果 CDPD=12，DA=2，那么O 的半径 OC= 3如图 3，ABC 内接于O，AD 切O 于 A，BAD=60，则ACB= 4如图 4，已知 AD=AB，ADB=350，则BOC 等于 5如图 5，ABCD 是O 的内接四边形，AC 平分BAD 并与 BD 交于 E 点，CF 切O 于 C 交 AD 延长线于 F，图中四个三角形：ACF；ABC；ABD；BEC，其中与 CDF 一定相似的是 6O 中，弦 AB 平分弦 CD 于点 E，若 CD=16，AEBE=31，则 AB= 7AB 是O 的直径，OA=2.5，C 是圆上一点，CDAB，垂足为 D，且 CD=2，则 AC= 8如图 6，PAB 是O 的割线，AB=4，AP=5，O 的半径为 6，则 PO= 9半径为 5 的O 内有一点 A，OA=2，过点 A 的弦 CD 被 A 分成两部分，则 ACCD= 10如图 7，已知O的半径OB=5cm，弦AB=6cm，D是的中点，则弦BD的长度是 B A C O D 图 4 O A B C D F 图 5 A B P O 图 6 A B C D E 图 1 AP D C O B 图 2 D B A C 图 3 图 12 用心 爱心 专心 11设圆 1 O与圆 2 O的半径分别为 3 和 2， 12 4OO ，,A B为两圆的交点，试求两圆的公 共弦AB的长度 12如图 8，已知AP是O的切线，P为切点，AC是 O的割线，与O交于 BC，两点，圆心O在PAC的内部，点M是BC的中点 （1）证明APOM，四点共圆； （2）求OAMAPM的大小 13如图 9，已知：C 是以 AB 为直径的半圆 O 上一点， CHAB 于点 H，直线 AC 与过 B 点的切线相交于点 D，E 为 CH 中点，连接 AE 并延长交 BD 于点 F，直 线 CF 交直线 AB 于点 G， （1）求证：点 F 是 BD 中点； （2）求证：CG 是O 的切线； （3）若 FB=FE=2，求O 的半径 参考答案参考答案 图 7 图 8 图 9 用心 爱心 专心 随堂巩固练习（随堂巩固练习（1 1） 1103.35，55.65； 2:30mm，32mm，34mm； 32.1cm 45 5 35 9 cm 656 7CEFDAE 83 5 7 . 912，18 101：4 11证明： ADBC，ADB 为直角三角形，又DEAB，由射影定理知， ABAEAD 2 同理可得ACAFAD 2 ，ACAFABAE 12证明：由条件得 EF 是梯形 ABCD 的中位线，则有 EFADBC，由平行线等分线段定理 得 AH=HC，BG=GD，FH= 2 1 AD，FG= 2 1 BC，GH=FGFH= 2 1 （BCAD） 13证明：设3ABACa，则AEBDa，2CFa。 （1）. 3 2 3 2 , 3 2 23 2 a a CA CF a a CB CE 又C为公共角，故BACEFC，由 90BAC 得90EFC ，EFBC （2）由（1）得 222 2 , 2222 2 AEaADa EFa EFBFaa 故， AEAD EFBF DAE=BFE=90ADEFBE，ADE=EBC 随堂巩固练习（随堂巩固练习（2 2） 115 223 3120. 4 0 140 5 63 3 32 . 75或 25. 89. 921 10. 10cm 11解：连AB交 12 OO于C，如图,则 12 OOAB，且C为AB的中点，设ACx，则 22 12 9,4,OCxO Cx 22 12 944OOxx，解得 3 15 8 x 故弦 AB的长为 3 15 2 4 x 12、 （1）连结OPOM，如图因为AP与O相切于点P，所以OPAP因为 M是O的弦BC的中点，所以OMBC于是180OPAOMA由圆心 O在PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以APOM，四点共圆 用心 爱心 专心 （2）连接OA，如图由（1）得APOM，四点共圆，所以OAMOPM 由 （1）得OPAP由圆心O在PAC的内部，可知90OPMAPM所以 90OAMAPM 13、解:(1)证明：CHAB，DBAB，AEHAFB，ACEADF, FD CE AF AE BF EH ，HEEC，BFFD (2)方法一：连接 CB、OC，AB 是直径，ACB90F 是 BD 中点， BCF=CBF=90-CBA=CAB=ACO OCF=90，CG 是O 的切线。 方法二：可证明OCFOBF(略) (3)解：由 FC=FB=FE 得：FCE=FEC，可证得：FAFG，且 ABBG 由切割线定理得：（2FG）2BGAG=2BG2 在 RtBGF 中，由勾股定理得：BG2FG2BF2 由、得：FG2-4FG-12=0，解之得：FG16，FG22（舍去） ABBG24，O 半径为 2。 曲线的极坐标方程曲线的极坐标方程 【知识网络】 1. 曲线的极坐标方程的意义. 2. 直线、圆和圆锥曲线的极坐标方程. 【典型例题】 例 1.（1）化极坐标方程 2 cos0为直角坐标方程为 （C） A 2 0y 2 x或1y B1x C 2 0y 2 x或1x D1y 提示： 22 (cos1)0,0,cos1xyx 或 （2）在平面直角坐标系中，以点(1,1)为圆心，2为半径的圆在以直角坐标系的原 点为极点， 以Ox轴为极轴的极坐标系中对应的极坐标方程为 （A） 用心 爱心 专心 A2 2cos() 4 B2 2sin() 4 C2 2cos(1) D2 2sin(1) 提示：圆的直角坐标方程为 22 (1)(1)2xy， 化为 极坐标方程为 22 (cos1)( sin1)2，2 2cos()0 4 ， 曲线2 2cos()0 4 也过极点， 2 2cos()0 4 与2 2cos()0 4 等价， 对应的极坐标方程为2 2cos() 4 . （3）极坐标方程cos2sin2表示的曲线为 （C） A一条射线和一个圆 B两条直线 C一条直线和一个圆 D一个圆 提示： 2 cos4sincos ,cos0,4sin ,4 sin或即 则, 2 k 或 22 4xyy （4）极坐标方程分别为cos与sin的两个圆的圆心距为_. 2 2 提示:圆心分别为 1 ( ,0) 2 和 1 (0, ) 2 （5）极坐标方程 3 24cos 表示的曲线是 . 双曲线 提示： 3 24cos 等价于 3 2 1 2cos ，2e . 例 2.设过原点O的直线与圆 22 (1)1xy的一个交点为P，点M为线段OP的中点， 当点P在圆上移动一周时，求点M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线. 解：圆 22 (1)1xy的极坐标方程为2cos() 22 ， 设点P的极坐标为 11 (,) ，点M的极坐标为( , ) ， 点M为线段OP的中点， 11 2 , ，将 11 2 , 代入圆的极坐标方程， 用心 爱心 专心 得cos. 点M轨迹的极坐标方程为cos() 22 ，它表示原心在点 1 ( ,0) 2 ，半径为 1 2 的圆. 例 3. 过抛物线 2 8yx的焦点F作倾斜角为 4 的直线，交抛物线于,A B两点，求线段 AB 的长度. 解：对此抛物线有1,4ep，所以抛物线的极坐标方程为 4 1 cos ， ,A B两点的极坐标分别为 4 和 5 4 ， 4 |4(22) 1 cos 4 FA ， 4 |4(22) 5 1 cos 4 FB ， | | 16ABFAFB. 线段AB的长度为16. 例 4. 长为2a的线段，其端点在Ox轴和Oy轴正方向上滑动，从原点作这条线段的垂线， 垂足 为M，求点M的轨迹的极坐标方程（Ox轴为极轴） ，再化为直角坐标方程. 解：设线段的端点分别为,A B且A在Ox轴正方向上， B在Oy轴的正方向上， 设点M的极坐标为( , ) ，则OBMAOM ，且| 2 sinOAa， |cos2 sincossin2OAaa， 点M的轨迹的极坐标方程为sin2 (0) 2 a . 由sin2a可得 32 2sincosa， 3 22 2 ()2xyaxy 其直角坐标方程为 3 22 2 ()2(0,0)xyaxy xy. 【课内练习】 1.将极坐标方程 2 cos216化为直角坐标方程是（C） A 2 16x B 2 16y C 22 16xy D 22 16yx 提示： 222222 cos216(cossin)1616xy. 2.极坐标方程cos20表示的曲线为 （D） A极点 B极轴 C一条直线 D两条相交直 线 提示：cos20,cos20, 4 k ，为两条相交直线 3.圆5cos5 3sin的圆心坐标是 （A） 用心 爱心 专心 A 4 ( 5,) 3 B( 5,) 3 C(5,) 3 D 5 ( 5,) 3 提示：圆的普通方程为 22 55 3 ()()25 22 xy，圆心为 55 3 ( ,) 22 ，半径为5. 55 3 cos,sin 22 . 4. 两直线和cos()a的位置关系是（ ） A平行 B相交但不垂直 C垂直 D重合 提示：的直角坐标方程为tanyxcos()a化为直角坐标方程为 cossin0 xya， 其斜率为cot，直线tanyx的斜率为tan， 两直线互相垂直（ 2 时也成立）. 5. 设曲线的普通方程为 222 xyR,则它的极坐标方程为 . R 提示：用cos ,sinxy代入即得. 6.直线cossin0 xy的极坐标方程为_. 2 k 提示：直线的极坐标方程为cos()0. 7.设直线过极坐标系中的点(2,) 2 M ,且平行于极轴,则它的极坐标方程为 . sin2 提示：在相应的直角坐标系中，直线的方程为2y . 8.从极点作圆2 cosa的弦,求各弦中点的轨迹方程. 解:设所求曲线上的动点M的极坐标为( , ) ,圆2 cosa上的动点的极坐标为 11 (,) 由题设可知, 1 1 2 ,将其代入圆的方程得:cos () 22 a . 所求的轨迹方程为cos () 22 ra . 用心 爱心 专心 9.已知曲线的极坐标方程为 1cos ep e ，求此曲线的直角坐标方程，并讨论e在不 同范围内取值时，方程表示的曲线的类型（其中e和p为正的实常数）. 解：方程写成coseep，将 22 xy和cosx代入， 得 22 xyexep，即 22 xyexep， 两边平方，得 2222222 2xye xe pxe p 整理得， 222222 (1)20exype xe p. 由上述方程可知，当1e 时，方程表示双曲线；当1e 时，方程表示抛物线；当 01e时，方程表示椭圆. 10. 过椭圆 222222 b xa ya b的左焦点作直线，交椭圆于,A B两点，证明： 11 |FAFB 为定值. 证明：椭圆 222222 b xa ya b方程可化为 22 22 1 xy ab ， 2222 , caacb epc accc ， 以椭圆的左焦点极点，x轴正方向为极轴的方向建立极坐标系， 则椭圆的极坐标方程为 2 1cos b a c a . 设点A的极坐标为( , ) ，则点B的极坐标为( ,) ， 222 1cos1cos() 112 | cc a aa bbFAFBb aa 为定值. 作业本作业本 1.将直角坐标方程 2 12yx化为极坐标方程 1 cos a 时，极点和a的值分别是 （D） A坐标原点,12O B坐标原点,6O 用心 爱心 专心 C焦点,12F D焦点,6F 提示：由直角坐标方程 2 12yx知，6p ，根据圆锥曲线的极坐标方程建立的方法 知， 极点是圆锥曲线的焦点. 2. 设曲线的极坐标方程为2 sin (0)aa,则它表示的曲线是 （D） A圆心在点( ,0)a直径为a的圆 B圆心在点(0, )a直径为a的圆 C圆心在点( ,0)a直径为2a的圆 D圆心在点(0, )a直径为2a的圆 提示：曲线的直角坐标方程为 22 20 xyay，即 222 ()xyaa. 3.在极坐标系中与圆4sin相切的一条直线的方程为 （A） Acos2 Bsin2 C4sin() 3 D 4sin() 3 提示：4sin的普通方程为 22 (2)4xy，cos2的普通方程为2x 圆 22 (2)4xy与直线2x 显然相切 4. 设曲线的极坐标方程为4cos,则它的直角方程为 . 22 40 xyx 提示：4cos与 2 4 cos等价. 5.设直线过极坐标系中的点(2,0)M,且垂直于极轴,则它的极坐标方程为 . cos2 6. 过抛物线 2 4yx的焦点F作倾斜角为的直线，交抛物线于,A B两点，求 11 |FAFB 的值. 解：抛物线 2 4yx中，2p . 在以抛物线的焦点F为极点，Ox轴为极轴的极坐标系中，抛物线的极坐标方程为 用心 爱心 专心 2 1 cos ， 设A点的极坐标为( , ) ，则点B的极坐标为( ,) ， 则 111 cos1 cos 1 |22FAFB ， 11 |FAFB 的值为1. 7. 一颗慧星的轨道是抛物线，太阳位于这条抛物线的焦点上.已知这慧星距太阳 8 1.6 10千米时， 极半径和轨道的轴成 3 角.求这颗慧星轨道的极坐标方程，并且求它的近日点离太阳的距离. 解：以太阳的位置为极点，轨道的轴为极轴，建立极坐标系， 设轨道的极坐标方程为 1 cos p ，因为 3 时， 8 1.6 10， 8 1.6 102 1 cos 3 p p ， 7 8 10p ， 轨道的极坐标方程为 7 8 10 1 cos ，当时， 7 4 10. 这颗慧星轨道的极坐标方程为 7 8 10 1 cos ，它的近日点离太阳的距离为 7 4 10千 米. 8.从极点O引一条直线和圆 222 2cos0aar相交于一点Q，点P分线段 OQ 成比:m n，求点Q在圆上移动时，点P的轨迹方程，并指出它表示什么曲线. 解：设点,P Q的极坐标分别为( , ) 和 11 (,) ，由题设知 1 1 mn m ， 将其代入圆的方程，得 222 ()2 ()cos0 mnmn aar mm ， 整理得， 22222 ()2()cos()0mnam mnm ar， 点P的轨迹方程为 22222 ()2()cos()0mnam mnm ar，它表示一 个圆. 参数方程参数方程 用心 爱心 专心 【知识网络】 1. 参数方程的概念. 2. 曲线的参数方程与普通方程的互化. 3. 利用曲线的参数方程解决有关问题. 【典型例题】 例 1.（1）3将参数方程 2 2 2sin ( sin x y 为参数)化为普通方程为 （C） A2yx B2yx C2(23)yxx D2(01)yxy 提示：将 2 siny代入 2 2sinx即可，但是 2 0sin1. （2）参数方程为 1 ( 2 xt tt y 为参数)表示的曲线是 （D） A一条直线 B两条直线 C一条射线 D两条射线 提示：2y 表示一条平行于x轴的直线，而2,2xx 或，所以表示两条射线 （3）直线 1 1 2 ( 3 3 3 2 xt t yt 为参数)和圆 22 16xy交于,A B两点，则AB的中 点坐 标为 （D） A(3, 3) B(3,3) C( 3, 3) D(3,3) 提示： 22 13 (1)( 3 3)16 22 tt ，得 2 880tt， 12 12 8,4 2 tt tt 中点为 1 14 3 2 33 3 34 2 x x y y （4）直线 34 ( 45 xt t yt 为参数)的斜率为_. 5 4 提示： 455 344 yt k xt 用心 爱心 专心 （5）抛物线 2 4 1 4 xt yt （t为参数）在x轴上截得的弦长为 . 提示：令0y ，得 1 2 t . 当 1 2 t 时，2x ；当 1 2 t 时，2x ，抛物线与x轴交于点(2,0),( 2,0). 例 2.分别在下列两种情况下，把参数方程 1 ()cos 2 1 ()sin 2 tt tt xee yee 化为普通方程： （1）为参数，t为常数； （2）t为参数，为常数； 解：（1）当0t 时，0,cosyx，即| 1,0 xy且； 当0t 时，cos,sin 11 ()() 22 tttt xy eeee 而 22 sincos1，即 22 22 1 11 ()() 44 tttt xy eeee （2）当,kkZ时，0y ， 1 () 2 tt xee ，即| 1,0 xy且； 当, 2 kkZ 时，0 x ， 1 () 2 tt yee ，即0 x ； 当, 2 k kZ 时，得 2 cos 2 sin tt tt x ee y ee ，即 22 2 cossin 22 2 cossin t t xy e xy e 得 2222 22()() cossincossin tt xyxy ee 即 22 22 1 cossin xy 。 例 3.求经过点 000 (,)Mxy倾斜角为的直线l的参数方程. 解：设点( , )M x y为直线l上的任意一点，过点M作y轴的平行线，过点 0 M作x轴的平 行线， 两直线相交于点Q.规定直线l向上的方向为正方向. 用心 爱心 专心 当 0 M M与l同方向或 0 ,M M重合时,因 00 |M MM M,由三角函数定义, 有 000 cos ,sinM QM MQMM M; 当 0 M M与l反方向时, 00 ,M M M Q QM同时改变符号,上式依然成立. 设 0 M Mt,取t为参数, 000 ,M Qxx QMyy, 00 cos ,sinxxtyyt, 即 00 cos ,sinxxtyyt, 直线l的参数方程为 0 0 cos sin xxt yyt . 例 4.已知点( , )P x y是圆 22 2xyy上的动点， （1）求2xy的取值范围； （2）若0 xya恒成立，求实数a的取值范围。 解：（1）设圆的参数方程为 cos 1 sin x y ， 22cossin15sin() 1xy 515sin() 151 51251xy ,即2xy的取值范围为51, 51. （2）cossin10 xyaa (cossin ) 12sin() 121 4 a , 实数a的取值范围为21,). 【课内练习】 1.与参数方程为( 2 1 xt t yt 为参数)等价的普通方程为 （D） A 2 1 4 y 2 x B 2 1(01) 4 y x 2 x C 2 1(02) 4 y y 2 x D 2 1(01,02) 4 y xy 2 x 用心 爱心 专心 提示： 22 222 ,11,1, 44 yy xttxx 而0,011,tt 得02y 2.若曲线C的参数方程为 2 1 cos2 sin x y （为参数） ，则曲线C上的点的轨迹是 （D） A直线220 xy B以(2,0)为端点的射线 C圆 22 (1)1xy D以(2,0)和(0,1)为端点的线段 提示：将曲线的参数方程化为普通方程得220(02,01)xyxy 3.曲线 25 ( 1 2 xt t yt 为参数)与坐标轴的交点是 （B） A 21 (0, ) ( ,0) 52 、 B 11 (0, ) ( ,0) 52 、 C(0, 4) (8,0) 、 D 5 (0, ) (8,0) 9 、 提示：令0 x ，得 2 5 t ，此时 1 1 2 5 yt ， 曲线与y轴的交点为 1 (0, ) 5 ； 令0y ，得 1 2 t ，此时 1 25 2 xt ， 曲线与x轴的交点为 1 ( ,0) 2 . 4.直线 2 ( 1 xt t yt 为参数)被圆 22 (3)(1)25xy所截得的弦长为 （C） A98 B 1 40 4 C82 D 934 3 提示： 2 22 2 2 1 2 12 2 xt xt yt yt ，把直线 2 1 xt yt 代入 22 (3)(1)25xy得 222 ( 5)(2)25,720tttt 2 12121 2 ()441ttttt t，弦长为 12 282tt 5.直线 3 ( 14 xat t yt 为参数)恒过定点_. (3, 1) 用心 爱心 专心 提示：将参数方程化为乭方程得4(3)(1)0 xa y，当3x 且1y 时，此方 程对于任何a都成立，所以直线恒过定点(3, 1). 6. 直线 1 2 2 ( 1 1 2 xt t yt 为参数)被圆 22 4xy截得的弦长为_.14 提示：直