数学平面向量及其综合运用人教

高考数学平面向量及其综合运用复习要点：、平面向量知识结构表向量的概念向量的加、减法两个向量平行的充要条件件件向量向量的运算实数与向量的积 两个向量垂直的充要条件件件向量的数量积 定比分点公式向量的运用在物理学中的应用在地平移公式在几何中的应用、内容概述1、向量的概念向量有三种表示法：有向线段，a或，坐标a（x , y）。注意：共线向量与相等向量的联系与区别。2、向量的运算加法、减法、数乘向量和向量的数量积。如：注意：几何运算与坐标运算3、平面向量的定理及相关性质（1）两个非零向量平行的充要条件： ab ab (R)设a(x1,y1),b (x2,y2)则ab x1y2x2y10（2）两个非零向量垂直的充要条件： ab ab 0设a(x1,y1),b(x2,y2)则ab x1x2y1y20（3）平面向量基本定理：如果有e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2使 a1e12e2.（4）三点共线定理：平面上三点A、B、C共线的充要条件是：存在实数、，使，其中1,O为平面内的任一点。4、 常用公式及结论a、向量模的公式：设（x,y）,则b、两点间的距离公式： P1(x1,y1),P2(x2,y2)c、线段的定比分点坐标公式： P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y), d、中点坐标公式： 或 其中M（x0 ,y0）是线段AB中点。e、两向量的夹角公式：cos 其中0180,a(x1,y1),b(x2,y2)f、图形平移公式：若点P(x,y)按向量a(h,k)平移至(,),则g、有关向量模的常用结论： , 范例及其点评（一）平面向量学科内综合运用深刻理解平面向量的相关概念与性质，熟练掌握向量的各种运算，熟悉常用公式及结论，理解并掌握两向量共线、垂直的充要条件。例1已知a（5，4），b（3，2），则与2a3b平行的单位向量为_。点拨 与一个非零向量a共线的单位向量有两个：与a同向的单位向量e1，与a反向的单位向量e2.求与已知向量平行的向量常用坐标运算。解析 法一：2a3b2(5，4)3（3，2）（1，2） .法二：令e=(x, y) 2a3b（1，2），且e与2a3b平行， x2y0. 又x2y21 由解得.变式 已知b是a（3，4）垂直，且15，求b. 答案：（12，9）或（12，9） 例2已知1，1，a与b的夹角为60，x2ab,y3ba，则x与y的夹角是 .点拨 要计算x与y的夹角，需求出，xy的值,可利用2x2求解。解析 由已知1，a与b的夹角为60, 得 abcos2x2=（2ab）24a24abb24413，2y2=（3ba）29b26aba29617,xy（2ab）(3ba) 7ab2a23b2，又xycos，即cos cos，arccos.变式1 （2004年高考浙江卷）已知平面上三点A、B、C满足3, 4, 5,则的值等于_。25变式2 已知，2，a和b的夹角为45，求使向量ab与ab的夹角是锐角时的取值范围。答案：或（1）（二）平面向量与函数、不等式、三角函数、数列的综合运用此类题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：利用向量平行或垂直的充要条件，利用向量数量积的公式和性质.例3已知平面向量a(，1)，b(, ).(1) 若存在实数k和t，便得xa(t23)b, ykatb，且xy，试求函数的关系式kf(t)；(2) 根据(1)的结论，确定kf(t)的单调区间。解析（1）法一：由题意知x(,), y(tk，tk)，又xy故x y（tk）(tk)0。整理得：t33t4k0，即kt3t.法二：a(，1)，b(, ), . 2，1且abxy，x y0，即k2t(t23)20，t33t4k0,即kt3t(2) 由(1)知：kf(t) t3t kf(t) t3,令k0得1t1；令k0得t1或t1.故kf(t)的单调递减区间是(1, 1 )，单调递增区间是(，1)和(1，).归纳解决向量垂直的两种常见方法：1.由向量的坐标运算得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；2.利用向量的垂直的充要条件求解（但运算过程大大简化，值得注意）。第2问中求函数的极值运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用。变式1 已知平面向量(，1)，(，)，若存在不为零的实数k和角，使向量(sin3), k(sin),且，试求实数k 的取值范围。点拨 将例题中的t略加改动，旧题新掘，出现了意想不到的效果，很好地考查了向量与三角函数综合运用能力。解析 仿例3（1）解法（二）可得k( sin)2,而1sin1, 当sin1时，k取最大值1； sin1时，k取最小值. 又k0 k的取值范围为 .变式2 已知向量(x,x4)，向量(x2, x), x4,2.(1)试用x表示；(2)求的最大值，并求此时夹角的大小。答案：(1)x3x26x , (2)最大值为10，此时x=2,arccos 例4（2004年高考福建卷）设函数f (x)a b，其中向量a(2cosx , 1), b(cosx,sin2x), xR.（1）若f(x)1且x，求x；（2）若函数y2sin2x的图象按向量c(m , n) ()平移后得到函数yf(x)的图象，求实数m、n的值。分析 本题主要考查平面向量的概念和计算、平移公式以及三角函数的恒等变换等基本技能，解析 (1)依题设，f(x)（2cosx，1）(cosx,sin2x)2cos2xsin2x12sin(2x)由12sin(2x)=1，得sin(2x).x , 2x,2x=, 即x.（2）函数y2sin2x的图象按向量c（m , n）平移后得到函数y2sin2(xm)+n的图象，即函数yf(x)的图象.由(1)得f (x) ， m，n1. 归纳 把函数的图像按向量平移，可以看成是C上任一点按向量平移，由这些点平移后的对应点所组成的图象是C，明确了以上点的平移与整体图象平移间的这种关系，也就找到了此问题的解题途径。一般地，函数yf (x)的图象按向量a(h , k)平移后的函数解析式为ykf（xh）例5（2002年全国高考新课程卷）已知两点M(1，0)，N(1 , 0)，且点P使，成公差小于零的等差数列.（）点P 的轨迹是什么曲线？（）若点P坐标为（x0、y0），记为与的夹角，求tan.分析 本题依托向量把解析几何、三角、数列等知识很自然地融于一体,既考查了向量的长度、角度、数量积，又考查了轨迹方程、等差数列及同角三角函数间关系等重点知识，可谓一举多得。略解（）设点P（x , y），分别计算出，由题意，可得点P的轨迹方程是 故点P 的轨迹是以原点为圆心、为半径的右半圆。 () 由（）知，可得cos，又x0,即,于是sin，变式 已知两个M（1，0），N（1，0），点P使，成公差小于零的等差数列，且向量与a（1，0）垂直，求点P的坐标。答案： P（1，）或（1，）（三）平面向量与解析几何的综合运用在向量与解析几何知识的交汇处设计试题，已逐渐成为高考命题的一个新的亮点。向量与解析几何相结合将是今后高考的重点和热点，应引起我们高度的重视。平面几何与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，解决此类问题基本思路是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算；或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题。主要包括以下三种题型：运用向量共线的充要条件处理解几中有关平行、共线等问题运用向量共线的充要条件来处理解几中有关平行、共线等问题思路清晰,易于操作,比用斜率或定比分点公式研究这类问题要简捷的多。 例6（2004年全国卷）设双曲线C :y21(a0)与l : xy1相交于两个不同的点A、B.（）求双曲线C的离心率e的取值范围；（）设直线l 与y 轴的交点为P，且，求a的值。略解 （I）略 （）设 A（x1，y1），B（x2，y2），P（0 , 1）联立y21与xy1,消去y整理得 从而 由，即 有代入式消去得再消去得 , 结合条件a0及满足0得.变式1 （华师附中2004年高三模拟题改编）已知椭圆方程，过B（1，0）的直线l交随圆于C、D两点，交直线x4于E点，B、E分的比分1、2求证：120证明 设l的方程为yk(x1)，代入椭圆方程整理得（4k21）x28k2x4(k21)0.设C（x1,y2）,D(x2,y2)则x1x2.由得 所以.同理，记E得其中 .变式2 （2004年高考天津卷）椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c, 0）(c0)的准线l与x轴相交于点A, 过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。()求椭圆的方程及离心率；()若，求直线PQ的方程；()设，过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M，证明：简解 () 椭圆方程为,离心率 ()略. () 证明 设P（x1,y1）,Q (x2,y2),又A（3，0），由已知得方程组：； 注意1，消去x1、y1和y2 得 因F（2 , 0）, M（x1,y1），故而所以 .2、运用向量的数量积处理解几中有关长度、角度、垂直等问题运用向量的数量积，可以把有关的长度、角度、垂直等几何关系迅速转化为数量关系，从而“计算”出所要求的结果。例7（2004年高考重庆卷）设p0是一常数，过点Q(2p,0)的直线与抛物线y22px交于相异两点A、B，以线段AB为直径作圆H（H为圆心），试证明抛物线顶点在圆H的圆周上；并求圆H的面积最小时直线AB的方程。分析 要证点O在圆H上，只要证OAOB，可转化为向量运算0，用向量运算的方法证明（见图1）解答 由题意，直线AB不能是水平线，故可设直线方程为：kyx2p又设A（xA,yA）,B(xB,yB), 则其坐标满足消去x，得y22pky4p20kyx2py22px 由此得xAxB4pk (yAyB) (42k2)p ， xAxB4P2因此xAxByAyB0，即OAOB故O必在圆H的圆周上。又由题意圆心H（xH , yH）是AB的中点，故由前已证，OH应是圆H的半径，且从而当k0时，圆H的半径最小，亦使圆H的面积最小。此时，直线AB的方程为：x2p.变式1（2004全国卷）给定抛物线C:y24x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点。（）设l的斜率为1，求与夹角的大小；（）设，若4 , 9，求l在y轴上截距的变化范围。解答 （）C的焦点为F（1，0）,直线l的斜率为1，所以l的方程为yx1,将yx1代入方程y2=4x，并整理得x26x10设A（x1,y1）,B(x2,y2),则有x1x26, x1x21，从而x1x2y1y22x1x2(x1+x2)+13,cos所以与夹角的大小为arcos.()略.变式2如图，点F（a,0）（a0），点P 在y轴上运动，点M在x轴上运动，点N为动点，且0，0。（1）求点N的轨迹C的方程；（2）过点F(a , 0)的直线l（不与x轴垂直）与曲线C交于A、B两点，设点K（a,0），与的夹角为,求证：0.分析 (1)分别设出P、M与N点的坐标，将已知向量坐标化，然后利用向量数量积及向量相等知识找到等量关系。(2)利用向量的夹角公式可知,要证0,只要证。解析 (1)y24ax(2) 证明：设AB的方程为yk（xa），代入y24ax得k2x22a（k22）xk2a20设A（x1 , y1）、B（x2 , y2），则x1x2x1 x2a2 （x1a , y1）, （x2a , y2）（x1a）（x2a）y1 y2 x1x2a ( x1x2)a2() ()a2aa24a20，与的夹角为，与不共线，0，cos0 , 即0.3、运用平面向量综合知识，探求动点轨迹方程，还可再进一步探求曲线的性质。例8（2002年全国新课程卷）平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3, 1)，B(1, 3)， 若点C满足，其中，R且+=1，则点C的轨迹方程为（ ）.A3x2y11=0B(x1)2(y2)2=5C2xy=0 Dx2y5=0分析 本题主要考查向量的运算（几何形式或坐标形式）及直线的方程，把向量联系起来，使问题立意更新，情景更好，内容更丰富。解法1 设C(x, y)，则 (x, y)=(3, )(, 3)=(3, 3)，又 +=1 x=3， y=3 x=41，y=23消去参数，得点C的轨迹方程为x2y5=0解法2 利用向量的几何运算，考虑定比分点公式的向量形式，结合条件知：A，B，C三点共线，故点C的轨迹方程即为直线AB的方程x2y5=0，故本题应选D例9已知点G是ABC的重心，A(0, 1)，B(0, 1)，在x轴上有一点M，满足|=|， (R)求点C的轨迹方程； 若斜率为k的直线l与点C的轨迹交于不同两点P，Q，且满足|=|，试求k的取值范围分析 本题依托向量给出等量关系，既考查向量的模、共线等基础知识，又考查动点的轨迹，直线与椭圆的位置关系。通过向量和解析几何间的联系，陈题新组，考查基础知识和基本方法。按照求轨迹方程的方法步骤，把向量问题坐标化，几何问题代数化。解析 设C(x, y)，则G(,)(R)，GM/AB,又M是x轴上一点，则M(, 0)又|=|，整理得，即为曲线C的方程当k=0时，l和椭圆C有不同两交点P，Q，根据椭圆对称性有|=|当k0时，可设l的方程为y=kxm，联立方程组 y=kxm消去y，整理行(13k2)x26kmx3(m21)=0（*）直线l和椭圆C交于不同两点，=(6km)24(13k2)( m21)0，即13k2m20 (1) 设P(x1, y1)，Q(x2, y2)，则x1, x2是方程（*）的两相异实根，x1x2=则PQ的中点N(x0, y0)的坐标是x0=，y0= k x0m=，即N(, )，又|=|，kkAN=k=1，m=.将m=代入(1)式,得 13k2()20（k0），即k21，k(1, 0)(0, 1)综合得，k的取值范围是(1, 1)例10（2000年北京春季高考题）设点A和B为抛物线y2=4x上原点以外的两个动点，已知OAOB，OMAB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。分析 本题解法很多，而构造向量解之，思路清晰，运算简捷，提高了解题速度，拓展了学生的思维空间，为解决解析几何问题又提供一种新思路。解析 设M(x, y)，A(4, 4t1)，B(4, 4t2)，其中x0，t1t20且t1t2=(4, 4t1)，=(4, 4t2)，=(x, y)，=(4(), 4(t2t1)，444t14t2=0，由t1t20，可知t1t2=1 ，x4()y4(t2t1)=0，由t1t2，可知 t1t2= 又A、B、M三点共线，/，而=(x4, y4t1)，=( x4, y4t2)，由向量共线的充要条件，可知 (x4)( y4t2)=( y4t1)( y4t)，化简，得x(t1t2)y4t1t2=0 将、代入式，可得点M的轨迹方程为(x2)2y2=4 (x0)，它表示与y轴切于原点的一个圆（不包括原点）。例11：已知双曲线C：，B是右顶点，F为右焦点，点A在x轴的正半轴上，且满足成等比数列，过点F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线L，垂足为P。求证：；若直线L与双曲线C的左右两支分别交于点D，E， 求双曲线C的离心率 e的取值范围。【点拨】通过方程组求得点P的坐标，再通过等比中项关系求得点A的坐标，表示出向量的坐标，然后验证等式。解：（1）证明：如图，设右焦点F的坐标为（c，0）（c） 由双曲线c的渐近线方程为得直线l的方程 由方程组 得点P（） 成等比数列 即 A点的坐标为（，0） （0，） ，（） ，（） . . .（2）直线L与双曲线C的左右两支分别交于点D，E， 直线L的斜率应大于渐近线的斜率 即 【题后反思】向量和解析几何整合中，关键是确定点的坐标，再确定向量的坐标。从而达到向量关系与坐标关系的互译，架起了解析几何与向量之间的桥梁。例12：（改编）设G、H分别为非等边三角形ABC的重心与外心，A(0，2)，B（0，2）且(R)。（）求点C(x，y)的轨迹E的方程； （）过点(2，0)作直线L与曲线E交于点M、N两点，设，是否存在这样的直线L，使四边形OMPN是矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由。【点拨】通过向量的共线关系得到坐标的等量关系。根据矩形应该具备的充要条件，得到向量垂直关系，结合韦达定理，求得K的值。解：（）由已知得 , 又CH=HA 即（2）设l为y=k(x-2)，代入曲线E得（3k2+1）x2-12k2x+12(k2-1)=0设N (x1，y1)，M (x2，y2)则x1 +x2=，x1 x2= 四边形OMPN是平行四边形若四边形OMPN是矩形，则x1 x2+y1 y2=0 得直线l为：y= 【题后反思】这是一道平面几何、解析几何、向量三者之间巧妙结合的问题。例13：2004全国卷改编 设椭圆的两个焦点是F1(-c，0)与F2（c，0）(c0)，且椭圆上存在点P，使。（）求实数m的取值范围； （）设L是相应于焦点F2的准线，直线PF2与L相交于点，若，求直线PF2的方程。【点拨】把向量关系翻译成坐标关系，从而得到P的另一个轨迹方程，根据方程组有解的条件求得m的范围。解：设p(x，y)，x2+y2=c2又点P在椭圆上有解又c2=a2-b2=m+1-1=m0设P(x,y), 直线PF2方程为：y=k(x-c)直线l的方程为：点Q的坐标为() F2(,0),Q () P()点P在椭圆上直线PF2的方程为：y=(x-).【题后反思】将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算。从上述几例可以看出，只要对于解析几何中图形的位置关系和数量关系进行认真分析，充分挖掘问题的向量背景，注意运用曲线参数方程的点化作用，就完全有可能获得一个漂亮的向量解法。作为新课程新增内容之一的向量具有数形兼备的特点，成了作为联系众多知识的桥梁。向量与三角、解析几何、立体几何的交汇是当今高考命题的必然趋势。 巩固训练：1（2004年湖北文）已知点M1（6，2）和M2（1，7），直线y=mx7与线段M1M2的交点分有向线段M1M2的比为3：2，则的值为 （ ）A B C D42（2004年福建理）已知a,b是非零向量且满足（a2b）a，（b2a）b，则a与b的夹角是（ ）A B C D3已知向量=(2，0),向量=（2，2），向量=（），则向量与向量的夹角的范围为 （ ）A0， B， C， D，4（2001年全国新课程卷）设坐标原点为O，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A，B两点，则= （ ）A B C3 D35（2003年全国新课程卷）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足=+()，则点P的轨迹一定通过ABC的（ ） A外心 B内心 C重心 D垂心6（2004年全国理）已知平面上直线l的方向向量e=（,），点O（0，0）和A(1, 2)在上的射影分别是O/和A/，则，其中= （ ）A B C2 D27（2004年湖南理）已知向量a=()，向量b=()，则|2ab|的最大值是 8（2003年东北三校高三试题）把函数y=2x24x5的图像按向量a平移，得到y=2x2的图像，且ab，c=(1,1)，bc=4，则b= 9已知向量，且x0，求（1）ab及|a+b|；（2）若的最小值是，求实数的值。10如图， ，（1）若，求x与y间的关系；（2）若有，求x,y的值及四边形ABCD的面积.11.已知定点F（1，0），动点P在y轴上运动，过点P作PM交x轴于点M，并延长MP至点N，且。（1）求动点N的轨迹方程；（2）直线l与动点N的轨迹交于A、B两点，若且4，求直线l的斜率的取值范围。12抛物线的准线与y轴交于A点，过A作直线与抛物线交于M、N两点，点B在抛物线的对称轴上，且