数列中的不等式恒成立辅导不分本_第1页
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数列中的不等式恒成立 专题辅导金良不等式的恒成立问题是学生较难理解和掌握的一个难点，以数列为载体的不等式恒成立问题的档次更高、综合性更强，是高三第二轮复习中不可多得的一个专题。例1（2003年新教材高考题改编题）设为常数，数列的通项公式，若对任意不等式恒成立，求的取值范围。解：故等价于（1）当时，(1)式即为此式对k1，2，恒成立故（2）当时，(1)式即为即此式对恒成立，有综上，(1)式对任意成立，有故的取值范围为评析：本题有三个亮点：处理数列中相邻两项的大小问题（即数列的单调性问题）采用作差比较，从而可把问题作整体处理；处理不等式恒成立时，用了求解此类问题的三大方案之一分离参数法（另两种是：函数法与数形结合法）；最后转化为指数函数的单调性。例2. 已知等比数列的各项为不等于1的正数，数列满足（）。设。试判断，是否存在正整数M，使当时恒成立，若存在，求出相应的M；若不存在，说明理由。解：不难得，又由得（1）当，且时，；（2）当，且时，故当时，存在，使当时，恒成立；当时，不存在M，使得当时，恒成立。评析：本题是一道“不难”的难题，说它简单是因为解题思路明晰，过程简洁；说它是难题是由于它的背景并不单纯，来头很大：探索性的数列中的不等式恒成立问题。例3. 已知，数列是首项为a，公比为a的等比数列，令（I）求数列的前n项和；（II）当a1时，求；（III）若数列中有每一项总小于它后面的项，求a的取值范围。解：（I）由题设所以故 （II）因为，且所以（III）若，则因为，所以只需（1）当a1时，只要，解得；（2）当0a1时，lga1或。评析：（1）一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积的求和，一般用错位相减法，但那仅仅是一般情况，对于象本题这种系数和方次之间的关系所具有导数的“影子”，使我们联想到求导的逆过程，把系数放入指数里用导数。这种思维的深刻性已不可同日而语。（2）本题是一道综合性极强的好题，它的第三小题是数列不等式恒成立求参数的取值范围，转化为解不等式或求函数的最值，这是高中数学中有关确定参数范围题目的涅磐。例4. 数列的前n项和为，其中a、b是常数，且，。（I）求的通项公式，并证明；（II）令，试判断数列中任意相邻两项的大小。解：（I）当时，；当时，所以因为，所以又因为故也可由，知是n的增函数，所以当时，最小，最小值为，所以。（II）若时，任两项相等。若，则因为，所以若，则此时，即；若，则，此时，即。综上，时，即相邻两项中，后一项较大；时，相邻两项相等；时，即相邻两项中，后一项较小。评析：数列中的不等式恒成立的变形题是数列的
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