数学总讲座之一人教

2006年高考数学总复习讲座之一选择题解答策略一、考点分析近几年来高考数学试题中选择题稳定在12题，分值60，占总分的40%。高考选择题注重多个知识点的小型综合，渗逶各种数学思想和方法，体现基础知识求深度的考基础考能力的导向，使作为中低档题的选择题成为具备较佳区分度的基本题型。因此能否在选择题上获取高分，对高考数学成绩影响重大,它具有它独特的结构特点和考查功能。(一)数学选择题的特点选择题的基本特点是：（1）概念性强,知识覆盖面广，题型灵活多变，经常出现一些数学背景新颖的创新题这些创新题目注重基础性，增强综合性，体现时代气息；（2）量化突出,选择题不要求书写解题过程，不设中间分，因此一步失误，就会造成错选，导致全题无分。（3）充满思辨性,绝大多数选择题题目属于低中档题因为主要的数学思想和教学方法能通过它得到充分的体现和应用，并且因为它还有相对难度（如思维层次，解题方法的优劣选择，解题速度的快慢等），所以使之成为具备较佳区分度的基本题型之。（4）形数兼备；（5）解法多样化；（6）评卷公平,在注重考查基础知识、技能、方法的同时，加大了对能力考查的力度，考潜能，考应用，体现着高考数学命题改革的导向作用。 （二）数学选择题的考查功能 （1）能在较大的知识范围内，实现对基础知识、基本技能和基本思想方法的考查。每道选择题所考查的知识点一般为2-5个，以3-4个居多，故选择题组共考查可达到近50个之多，而考生解答只需15分钟左右。相当于解一个中等难度的解答题，但一道解答题无论如何也难以实现对三四十个考点考查。 （2）能够比较确切地测试考生对概念、原理、性质、法则、定理和公式的理解和掌握程度。 （3）在一定程度上，能有效考查逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力，以及灵活和综合地运用数学知识解决问题的能力。二、选择题的结构形式 由题干和选择支两部分组成。三、解选择题的原则根据选择题的题干和选择支两方面提供的信息，作出正确的选择，一般要求迅速和准确为原则。选择题得分率的高低及解题速度的快慢直接影响着每位考生的情绪和全卷的成绩因此，准确、快速是解选择题的策略准确是解高考选择题的先决条件，这要求考生要仔细审题，认真分析，合理选择解题方法，正确推演或判断，谨防疏漏，确保准确；快速是结合高考数学单项选择题的结构，题目本身提供的条件、特征或信息，以及不要求书写解题过程的特点，灵活选用简单、合理的解法或特殊化法，避免繁琐的运算、作图或推理，避免“小题大做”，给解答题（特别是中高档题）留下充裕的时间，争取得高分具体说来，就是要突出解题方向的探索、解题思路的分析、解题方法的选择以及解题思维过程的展示和解题回顾反思等环节；熟练掌握各种基本题型的一般解法，在此基础上逐步掌握解选择题的解题思路、常用方法、规律及相关技巧；注重提高口算、心算和笔算的能力，做到“基本概念理解透彻，基本联系脉络清晰，基本方法熟练掌握，基本技能准确无误”，达到“既然会解，就要解对”的地步，而且需要思维清晰、敏捷、通畅，解法合理、简捷为此，研究和探索选择题的解题思路、常用方法与技巧就显得非常必要和重要。下表是对近三年高考数学试卷选择题适用解法的分值统计结果：说明：因为有些试题可用多种解法，所以统计的分值有重复现象。一般地，解答选择题的策略是以直接思路肯定为主，间接思路否定为辅，准确、快捷、精巧是解选择题的基本要求；要在巧字上做文章，配合使用多种解题方法，尽量避免“小题大做”。第一，熟练掌握各种基本题型的一般解法。第二，结合高考单项选择题的结构（由“四选一”的指令、题干和选择项所构成）和不要求书写解题过程的特点，灵活运用特例法、筛选法、图解法等选择题的常用解法与技巧。第三，挖掘题目“个性”，寻求简便解法，充分利用选择支的暗示作用，迅速地作出正确的选择。四、解选择题的方法选择题解法有直接法（直接求解法、直接判断法）、特殊化法（特殊值法、特殊函数法、特殊数列法、特殊模型法）、筛选法（去谬法、排除法）、代入验证法、推理分析法（逻辑分析法、特征分析法）、数形结合法。(一)直接法有些选择题是由计算题、应用题、证明题、判断题改编而成的这类题型可直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，从而确定选择支的方法直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则等知识，通过推理运算，得出结论，再对照选择项，从中选正确答案的方法叫直接法。这种由因导果的解题策略，是解答选择题的基本思维方法，也称之为直接法。【例1】（05年浙江高考题）点(1，1)到直线xy10的距离是( )(A) (B) (C) (D)解：点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离d=,选(D)【例2】（05年浙江高考题）在复平面内，复数(1i)2对应的点位于( )(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D)第四象限解：+(1i)2=-2+2i=+2i,故在复平面内，复数(1i)2对应的点为(,2i),故选(B)【例3】（05年重庆高考题）已知A（3，1），B（6，1），C（4，3），D为线段BC的中点，则向量与的夹角为（ ）A BCD解：D(5,2),cos(180-DAC)=,DAC=,即向量与的夹角为,选(C)【例4】（05年重庆高考题）对于不重合的两个平面与，给定下列条件：存在平面，使得、都垂直于；存在平面，使得、都平行于；内有不共线的三点到的距离相等；存在异面直线l、m，使得l/，l/，m/，m/，其中，可以判定与平行的条件有（ ）A1个B2个C3个D4个解：命题是真命题,选(B)。【例5】（05年湖南高考题）4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得100分；选乙题答对得90分，答错得90分.若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是（ ）A48B36C24D18解析：设四个人为A，B，C，D。（1）设A选甲且回答对，则选B、C、D回答错有C种；余下两人答乙，一个答对，一个答错共有：C.A种.（2）设A选甲且回答错，同（1）有6种。同理B，C，D再同样讨论，则共有12+12+12+12=48种。除去其中有12种重复的情况。综合得4位同学不同的得分情况为36种。故选B直接法是解答选择题最常用的基本方法，低档选择题可用此法迅速求解。直接法适用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案。提高直接法解选择题的能力，准确地把握中档题目的“个性”，用简便方法巧解选择题，是建在扎实掌握“三基”的基础上，否则一味求快则会快中出错。（二）特殊化法有些选择题，用常规方法直接求解比较困难，若根据答案中所提供的信息，选择某些特殊情况进行分析，或选择某些特殊值进行计算，或将字母参数换成具体数值代入，把一般形式变为特殊形式，再进行判断往往十分简单。用特殊值(特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确判断的方法叫特例法。常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等。1.特殊值 2.特殊点 3.特殊角例17（05年全国III高考题） ( )A B C 1 D 解一：=30时，左式=,只有B中tan60=。解二：,选(B) 4.特殊函数 5.特殊数列 6.特殊图形当正确的选择对象，在题设普遍条件下都成立的情况下，用特殊值（取得愈简单愈好）进行探求，从而清晰、快捷地得到正确的答案，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律，是解答本类选择题的最佳策略。近几年高考选择题中可用或结合特例法解答的约占30左右。（三）筛选法数学选择题的解题本质就是去伪存真，舍弃不符合题目要求的错误答案，找到符合题意的正确结论。可通过筛除一些较易判定的的、不合题意的结论，以缩小选择的范围，再从其余的结论中求得正确的答案。如筛去不合题意的以后，结论只有一个，则为应选项。就是从题设条件出发，运用定理、性质、公式推演，根据“四选一”的指令，逐步剔除干扰项，从而得出正确判断的方法叫筛选法或剔除法。【例10】(05年辽宁高考题) 若，则a的取值范围是（）（）（）（）【解一】代特殊值排除法：，a=1，排除A 。a=时，,排除D。a=2，排除B，从而选C。【解二】直接法：当，即时，无解；当，即时，故选C【例11】（95年高考题）已知ylog(2ax)在0,1上是x的减函数，则a的取值范围是_。 A. 0,1 B. (1,2 C. (0,2) D. 2,+) 【解】 2ax是在0,1上是减函数，所以a1，排除答案A、C；若a2，由2ax0得x1，这与0,1不符合，排除答案C。所以选B。【例12】（88年高考题）过抛物线y4x的焦点，作直线与此抛物线相交于两点P和Q，那么线段PQ中点的轨迹方程是_。 A. y2x1 B. y2x2 C. y2x1 D. y2x2【解】筛选法：由已知可知轨迹曲线的顶点为(1,0)，开口向右，由此排除答案A、C、D，所以选B；【另解】直接法：设过焦点的直线yk(x1)，则，消y得：kx2(k2)xk0,中点坐标有，消k得y2x2，选B。筛选法适应于定性型或不易直接求解的选择题。当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选择支中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小的选择支的范围那找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的选择。它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法，近几年高考选择题中约占40。（四）代入验证法通过对试题的观察、分析、确定，将各选择支逐个代入题干中，进行验证、或适当选取特殊值进行检验、或采取其他验证手段，以判断选择支正误的方法叫代入法，又称为验证法，即将各选择支分别作为条件，去验证命题，能使命题成立的选择支就是应选的答案。【例13】（97年高考题）函数y=sin(2x)sin2x的最小正周期是_。 A B. C. 2 D. 4【解】代入法：f(x)sin2(x)sin2(x)f(x)，而f(x)sin2(x)sin2(x)f(x)。所以应选B；【另解】直接法：ycos2xsin2xsin2xsin(2x)，T，选B。【例14】（05年天津高考题）若复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为A、2 B、4 C、6 D、6解法一：代入验证法，=-2时，复数为，不是纯虚数；=4时，复数为2-i，不是纯虚数; =-6时，复数为3i，是纯虚数; =6时，复数为，不是纯虚数，只选C解法二：设，则，得：，解法三：非零向量，满足是纯虚数的意思就是说，这两个非零向量互相垂直。根据题意得：，从而，本题答案选C代入法适应于题设复杂，结论简单的选择题。若能据题意确定代入顺序，则能较大提高解题速度。（五）推理分析法通过逻辑推断思维过程，分析四个选择支之间的逻辑关系，从而否定干扰支，肯定正确支的方法，称之为逻辑分析法。它是充分运用选择题中单项选择的特征，即有且只有一个正确支这一信息，通过分析、推理、计算、判断，逐一排除错误支，最终达到选出正确支目的的一种解题方法。当排除的错误支不能达到3个时，还需再用其他方法对剩余的候选支作出正确的判断。以下三个结论需记清：1、若“A真B真”，则A必假，否则它将与“有且只有一个正确答案”的前提矛盾。【例16】设A、B、C、D四点坐标依次是（-1，0），（0，2），（4，3），（3，1），则四边形ABCD是( )A正方形 B.矩形 C.菱形 D.平行四边形分析（1）分析四个选择支之间的逻辑关系（2）判断四边形的形状，可从对边是否平行，临边是否垂直以及边长的大小方面着手.解:若A真，则D也真；若B真，则D也真；若C真，则D也真；故A、B、C皆假故选D.2、若A、B是等价命题，即“AB”，则A、B均为假，可同时排除。【例17】已知f (x) = 8 + 2x 2 x2, 如果g (x) = f (2 x2) ，那么g (x)（ ）（A）在区间 ( 1 , 0 )上是减函数； （B）在区间 (0, 1)上是减函数；（C）在区间 ( 2 , 0)上是增函数； （D）在区间 (0, 2)上是增函数【例18】.在平面直角坐标系中，纵横坐标均为有理数的点称为有理点，若a为无理数，则在过点(a ,0)的所有直线中( )A.有无穷多条直线，其中每条直线上至少存在两个有理点；B.恰有n（n2）条直线，每条直线上至少存在两个有理点；C.有且仅有一条直线至少通过两个有理点；D.每条直线至多通过一个有理点cO 3 8 t 3、若A、B为互补命题（A、B成矛盾对立关系），则必有一真，即非A即B。【例19】某工厂八年来某种产品总产量c与时间t（年）的函数关系如右图，下列四种说法：前三年中，产量增长的速度越来越快；前三年中，产量增长的速度越来越慢；第三年后，这种产品停止生产；第三年后，年产量保持不变，其中说法正确的是（ ）（A）与；（B）与；（C）与；（D）与（六）数形结合法在解答选择题的过程中，可先根椐题意，作出草图，然后参照图形的作法、形状、位置、性质，借助几何图形的直观性作出正确判断的方法叫图解法或数形结合法。【例20】（2003年全国高考题）设函数 ，若，则的取值范围是 （A）（，1） （B）（，） （C）（，）（0，） （D）（，）（1，）【解】在同一直角坐标系中，作出函数的图象和直线，它们相交于（1，1）和（1，1）两点，由，得或.严格地说，图解法并非属于选择题解题思路范畴，而是一种数形结合的解题策略.但它在解有关选择题时非常简便有效.不过运用图解法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉，否则错误的图象反而会导致错误的选择.【例21】（87年高考题）在圆xy4上与直线4x3y12=0距离最小的点的坐标是_。 y O x A. （，） B. (,) C. (,) D. (,)【解】图解法：在同一直角坐标系中作出圆xy4和直线4x3y12=0后，由图可知距离最小的点在第一象限内，所以选A。【直接法】先求得过原点的垂线，再与已知直线相交而得。【例22】（2002年全国高考题）在内，使成立的的取值范围是（A） （B）（C） （D）【解】在同一直角坐标系中分别作出ysinx与ycosx的图象，便可观察选C.【另解】由得sin（x）0，即2 kx2k，取k0即知选C. 数形结合，借助几何图形的直观性，迅速作正确的判断是高考考查的重点之一；97年高考选择题直接与图形有关或可以用数形结合思想求解的题目约占50左右。（七）极限法 将研究的对象或过程引向极端状态进行分析，使因果关系变得明显，从而使问题得以解决。（八）估值法 有些以计算题的面目出现且有较复杂的计算，运算量较大时通常无须精确求出结果，只求出答案的近似值或大致范围从而作出判断的方法。全月应纳税所得额税率不超过500元的部分5超过500元至2000元的部分10超过2000元至5000元的部分15 数学选择题的解法，除了上述介绍的八种方法外，还有很多，如逆推法、变更问题法等等，但常用的方法为上述八种方法，也是较为简单、快捷的方法。任何解法的基础是熟练掌握“三基”和具有丰富的数学解题经验，绝对不能投机取巧，乱闯瞎蒙。在解选择题时，除了单用一种解法外，有时还需要综合运用几种方法来解决。并在解选择题时，应充分运用直觉思维来处理题干和选择支中的信息，充分捕捉特征，广泛联想，调动自己原有的经验，根据一定的意向，越过许多中间环节，一步到达问题的答案。从考试的角度来看，解选择题只要选对就行，不管是什么方法，甚至可以猜测。但平时做题时要尽量弄清每一个选择支正确理由与错误的原因，这样，才会在高考时充分利用题目自身的提供的信息，化常规为特殊，避免小题作，真正做到熟练、准确、快速、顺利完成三个层次的目标任务。巩 固 练 习（1）设全集为R，则（ ）A. B. C. D. （2）已知m是平面外的一条直线，直线，那么m/n是的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条D. 既不充分也不必要条件（3）已知向量a（2，3），b（1，2），且，则等于（ ）A. B. C. 3D. 3（4）已知函数在上单调递增且在这个区间上的最大值为，则实数的一个值可以是（ ）A. B. C. D. （5）从10种不同的作物种子中选出6种，放入分别标有1号至6号的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入1号瓶内，那么不同的放法共有（ ）A. 种B. 种C. 种D. 种（6）如下图，正方形ABCD的顶点A（0，），B（，0），顶点C、D位于第一象限，直线将正方形ABCD分成两部分，记位于直线l左侧阴影部分的面积为f(t)，则函数的图象大致是（ ）（7）过双曲线的一个焦点F引它的一条渐近线的垂线FM，垂足为M，并且交y轴于E，若M为EF的中点，则该双曲线的离心率为（ ）A. 2B. C. 3D. （8）设函数f(x)在定义域D上满足，且当时，若数列中，则数列的通项公式为（ ）A. B. C. D. （9） 已知向量a（5，3），b（2，x），且a/b，则x的值是 A. B. C. D. （10） 已知集合，则p是q的 A. 充分条件，但不是必要条件 B. 必要条件，但不是充要条件 C. 充分必要条件 D. 既不是充分条件，也不是必要条件（11）椭圆上的一点P到左焦点的距离为1，则它到相对应的准线的距离为 A. B. C. 1D. （12）如果复数（）的实部和虚部互为相反数，则b等于 A. 0B. 1C. -1D. 2（13） 已知直线m、n及平面、，则下列命题正确的是 A. B. C. D. （14）欲对某商场作一简要审计，通过检查发票及销售记录的2来快速估计每月的销售总额。现采用如下方法：从某本25张的发票存根中随机抽一张，如15号，然后按序往后将40号，65号，90号，发票上的销售额组成一个调查样本。这种抽取样本的方法是 A. 简单随机抽样B. 系统抽样 C. 分层抽样D. 其它方式的抽样（15） 已知是第二象限角，则的值为 A. 7B. C. D. （16）等于 （ ）A2-2i B2+2i C-2 D2（17）已知()的展开式中，不含x的项是,那么正数p的值是 （ ）A 1 B2 C3 D4（18）在中，已知sinC=2sin(B+C)cosB,那么一定是 （ ）等腰直角三角形等腰三角形直角三角形等边三角形（19）已知直线上一点P的横坐标为a，有两个点A（-1，1），B（3，3），那么使向量 与夹角为钝角的一个充分但不必要的条件是 （ ） -1a2 0a1 0a2（20）若指数函数的部分对应值如下表：x200.5921则不等式(|x|)0且b24ac0 B.0 C.b24ac0 D.1）的两个焦点为F1、F2，P为椭圆上一点,且F1PF2=60，则|PF1|PF2|的值为( )A.1 B.C.D.（51）已知抛物线y=ax2的焦点为F，准线l与对称轴交于点R，过抛物线上一点P（1，2）作PQl，垂足为Q，则梯形PQRF的面积为( )A.B.C.D.（52）在某市举行的“市长杯”足球比赛中，由全市的6支中学足球队参加.比赛组委会规定：比赛采取单循环赛制进行，每个队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.在今年即将举行的“市长杯”足球比赛中，参加比赛的市第一中学足球队的可能的积分值有( )A.13种B.14种C.15种D.16种（53）若f(x)=ax3+3x2+2,且f(1)=4,则a等于A.B.C.D.（54）P为椭圆=1上一点，F1、F2为焦点，如果PF1F2=75,PF2F1=15,则椭圆的离心率为( )A.B.C.D. （55）数列an满足a1=1, a2=，且 (n2)，则an等于（ ）。A B()n-1 C()n D(56)由1，2，3，4组成的没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排成一个数列an，其中a18等于（ ）。 A1243 B3421 C4123 D3412(57)若=9，则实数a等于（ ）。A B C- D-(58)设函数f (x)=(xR, x，)则f -1(2)=（ ）。A B C D(59)函数y=sinxcosxcos2x的最小正周期等于（ ）。A B2 C D(60)函数y=f (x)的反函数f -1(x)= (xR且x-3)，则y=f (x)的图象（ ）。A关于点(2, 3)对称 B关于点(-2, -3)对称 C关于直线y=3对称 D关于直线x=-2对称(61)两条曲线|y|=与x = -的交点坐标是（ ）。A(-1, -1) B(0, 0)和(-1, -1) C(-1, 1)和(0, 0) D(1, -1)和(0, 0)(62)已知a, bR, m=, n=-b+b2，则下列结论正确的是（ ）。Amn Dmn(63)正方体ABCD-A1B1C1D1中，EF是异面直线AC、A1D的公垂线，则EF和BD1的关系是（ ）。A垂直 B平行 C 异面 D相交但不垂直(65)直线4x+6y-9=0夹在两坐标轴之间的线段的垂直平分线是l，则l的方程是（ ）。A24x-16y+15=0 B24x-16y-15=0 C24x+16y+15=0 D24x+16y-15=0(66)函数f (x)=loga(ax2-x)在x2, 4上是增函数，则a的取值范围是（ ）。Aa1 Ba0且a1 C0ab Bab(a-b)0 Cab0 Dab(69)函数y=cos4x-sin4x图象的一条对称轴方程是（ ）。Ax=- Bx=- Cx= Dx=(70)已知l、m、n为两两垂直且异面的三条直线，过l作平面与m垂直，则