数学模拟精选

2011年高考数学模拟试题精选1已知函数（）满足，且时，则函数的零点个数是（ ）A3 B4 C5 D6014xyAB解答：B 由（）知，最小正周期为2，作出在区间1，5内的图象和在内的图象，知它们有4个公共点。2函数的部分图象如图所示，则等于( )A6 B5 C4 D3解答：A 令，得，即点A（2，0），令，得B（3，1），又O为原点，故。3若函数的图象在处的切线与圆相离，则点与圆C的位置关系是（ ）A点在圆外 B点在圆内 C点在圆上 D不能确定解答：B ，切线斜率，切点为，则切线方程为：，即，依题意有，得。4已知抛物线与双曲线有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且轴，若为双曲线一、三象限的一条渐近线，则的倾斜角所在的区间可能是（ ）A B C D解答：D 设双曲线半焦距为c，的倾斜角为，则，依题意有，在抛物线中求得，以双曲线中求得，所以，由得，故。又，于是。5已知可以表示成一个奇函数与一个偶函数之和，若关于的不等式0对于恒成立，则实数的最小值是（ ）A2 B0 C D4解答：C 由题意得，则，即，。又0对于恒成立，即对于恒成立，当时，对于恒成立，的最大值为（利用打勾函数的单调性），6设点P是双曲线与圆在第一象限的交点，其中F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且，则双曲线的离心率为（ ）A B C D解答：B 设双曲线的半焦距为，点与点是该圆直径的两个端点，又，即，7若R上的奇函数的图象关于直线对称，且当1时，则方程在区间内的所有实根之和为（ ）A4022 B4024 C4026 D4028解答：C 由题意可知：，是以4为周期的周期函数，又，方程可化为，数形结合可知：在（0，1）、（1，2）内各有一个实根，且这两个实根之和为2，由周期性可知在（2012，2013）、（2013，2014）内各有一个实根，且这两个实根之和为4026。8将A、B、C、D、E五种不同的文件放入一排编号依次为1、2、3、4、5、6的六个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件，要求文件A、B必须放入相邻的抽屉内，文件C、D也必须放入相信的抽屉内，则不同的文件放法有_种。解答：96 若1号或6号抽屉不放文件有种放法；若2号或5号抽屉不放文件有种放法；若3号或4号抽屉不放文件有种放法；，共96种放法。9一次观众的抽奖活动的规则是：将9个大小相同，分别标有1，2，9这9个数的小球，放进纸箱中。观众连续摸三个球，如果小球上的三个数字成等差算中奖，则观众中奖的概率为_。解答： 只考虑公差大于0即可，公差为1的等差数列有7个，公差为2的等差数列有5个，公差为3的等差数列有3个，公差为4的等差数列有1个，总计16个，中奖的概率10在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午9时，测得一轮船在岛北偏东300、俯角为300的B处，直线航行到9时10分又测得该船在岛北偏西600、俯角为450的C处，求船的航行速度；在C处，该船改为向正南方向航行，且不改变速度，10分钟后到达什么位置（以A点为参照点）？东南西A北BCP解：在中，千米，在中，千米在中，千米船的航行速度是千米/小时设10分钟后该船到达点D，该船向正南航行，10分钟所走的航程是千米，在中，由余弦定理得：千米，是直角三角形，而，10分钟后该船距离在点A南偏西，距离A点千米处。11已知椭圆C的离心率，长轴的左、右端点分别为、，求椭圆C的方程；设直线与椭圆C将于P、Q两点，直线与交于点S，试问：当变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。解：设椭圆C的方程为，椭圆C的方程为。4分取，得，直线的方程是，直线的方程是，交点为，若，由对称性可知交点为。若点S在同一条直线上，则直线只能为7分以下证明对于任意的，直线与的交点均在直线上。事实上，由得，设，则，设与交于点，则，得。设与交于点，则，得。，即与重合这说明，当变化时，点恒在定直线上。OABC212xy1在一个长为，宽为2的矩形OABC内，曲线（0）与轴及直线、围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点（该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的），则所投的点落在阴影部分的概率是（ ）A B C D解答：A 很明显，按对称性质，整个阴影部分的面积为矩形面积的一半。2已知点的坐标满足，设，则（O为坐标原点）的最大值为_。解答：23已知定义域为的函数满足：对任意，恒有成立；当时，给出如下结论：对任意，有；函数的值域为；存在，使得；“函数在区间上单调递减”的充要条件是“存在，使得”。其中所有正确结论的序号是_。解答： ，故成立；，当时，当时，故成立；当时，故不存在负整数，使，当0时，不存在整数，使，故不成立；由题知当时，单调递减，又，当、时，都单调递减，故成立。4某大学研究生入学复试有50人参加，其中英语与政治成绩采用5分制，设政治成绩为，英语成绩为，结果如下表：英语1分2分3分4分5分政治1分131012分107513分210934分1b60a5分00113求政治成绩为4分且英语成绩为3分的概率；若“考生的政治成绩为4分”与“英语成绩为2分”是相互独立事件，求、的值；若英语成绩的数学期望为，求、的值。解答：入学复试共有50人参加，（）由题中的表格可以看出，“政治成绩为4分且英语成绩为3分”的考生人数为6人，政治成绩为4分且英语成绩为3分的概率为。“考生的政治成绩为4分”与“英语成绩为2分”是相互独立事件，与（）式联立，解得、。由表易知英语成绩有1分、2分、3分、4分、5分五个等级，且每个等级分别有5人、人、15人、15人、人，英语成绩的分布列为12345又英语成绩的数学期望为，1+2+3+4+5=与（）式联立，解得、。5如图，椭圆C的方程为的焦距为2，且过点，已知F为椭圆的右焦点，A、B为椭圆上的两动点，直线与轴交于点G。求椭圆C的方程；若AB为垂直于轴的动弦，直线AF与BG交于点M，试证明：点M恒在椭圆C上；若动点A、B、G三点共线时，记为，则当AOB的面积最大时，试求直线的方程。ABGOFMxyl解答：由题意可知，从而，所以椭圆的方程为。证明：由题意得、，设，则，则AF与BG的方程分别为：，即：，设，则有，由得，由得，代入，整理后得故点M恒在椭圆上。设过点G的直线方程为，代入椭圆方程，得（*）设、，则有，由于原点O到直线的距离为，令，则由（*）式知0，故。，当且仅当，即是等号成立，此时。时，AOB面积最大，此时直线的方程为。6已知函数在R上可导，并满足不等式恒成立，若常数、满足，则下列不等式一定成立的是（ ）A B C D解答：CABCDABCPO7如图，在RtABC中，ACBC，点C在斜边AB上的射影为D，则有AC2=ADAB；类比直角三角形的这一性质，如图，在四面体PABC中，或PA、PB、PC两两垂直，点P在平面ABC上的射影为O，设PAB的面积为SPAB，则有SPAB2=_。解答：8设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；若，猜想的周长最大时点P的位置，并证明你的猜想；若P（2，1），作平行于OP的直线交椭圆于A、B两个不同点，试问：直线PA、PB与轴是否始终围成一个等腰三角形？若是，请给出证明；若不是，请说明理由。解：由题意可知：、，所以、，设，则，因为，故当，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值4，当，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值2。由题意知是椭圆下顶点，猜想：当点P位于直线与椭圆的交点处时，周长最大，最大值为。因为直线平行于OP，又，故可设直线的方程为，由得，设、，则有，设直线PA、PB的斜率分别为、，则有、，而所以=，故直线PA、PB与轴始终围成一个等腰三角形。9选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，极点为O，已知一条封闭的曲线C由三段圆弧组成：，。求曲线C围成的区域的面积；若直线与曲线C恰有两个公共点，求实数的取值范围。解：如下图，设两段小圆弧所在圆的圆心分别为A、C，它们的衔接点为B，则四边形OABC是边长为1的正方形，曲线C围成的区域面积如图，以极点为原点，以极轴为轴正半轴建立直角坐标系，其中点M为圆A与轴正半轴的交点，点N为圆C与轴正半轴的交点，则小圆弧、所在的圆的方程分别为，大圆弧所在的圆方程为：直线在直角坐标系下的方程为当与圆弧相切时，的方程为：当过M、B、N三点时，的方程为：当与圆弧、都相切时，记与曲线C的切点分别为E、F，且与轴的交点为D，在等腰直角三角形AED中，。此时的方程为。因此，要使与曲线恰有两个公共点，必须或或104名男生3名女生排成一排，若3名女生中有2名站在一起，但3名女生不能全排在一起，则不同的排法种数有（ ）A2880 B3080 C3200 D3600解答：A 11已知，且18，则实数的值为_.解答：312甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中、，若1，就称甲乙“心有灵犀”，现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为_。解答： 此试验基本事件的总数为36，事件“甲乙心有灵犀”的结果为：（1，1）（1，2）（2，1）（2，2）（2，3）（3，2）（3，3）（3，4）（4，3）（4，4）（4，5）（5，4）（5，5，）（5，6）（6，5）（6，6）共有16种结果，故此事件的概率为13已知圆C：，直线，若圆C上至少存在两点到直线的距离为1，则的取值范围是_.解答：（17，13） 圆的标准方程为，圆心为（2，1），半径r=2，所以当圆心到直线的距离为3时，也能满足圆上存在一点到直线的距离为1，所以圆心到直线的距离应小于3，即，即，解得。18某校要用三辆汽车从新校区把教职工接到老校区，已知从新校区到老校区有两条公路，汽车走公路堵车的概率为，不堵车的概率为；汽车走公路堵车的概率为，不堵车的概率为。若甲、乙两辆汽车走公路，丙汽车由于其他原因走公路，且三辆车是否堵车相互之间没有影响。若三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为，求走公路堵车的概率；在的条件，求三辆汽车中被堵车辆的个数的分布列和数学期望。解答：由已知条件得，解得的可能取值为0，1，2，3， 的分布列为0123所以19已知，是曲线在点处的切线。求切线的方程；若切线与曲线有且只有一个公共点，求的值。解答：，切点P的坐标为（0，1），的斜率为1，切线的方程为。切线与曲线有且只有一个公共点等价于方程，即有且只有一个实数解，令，则方程有且只有一个实数解。方程有一解时，0（），在（1，）上单调递增。是方程的唯一解。时，有两根、。（1，0）000极大值极小值，又在上单调递增，方程在上还有一解，故的解不唯一。时，有两根、。（1，）000极大值极小值，而当且趋向1时，方程在上还有一解，故的解不唯一。综上，当与曲线有且只有一个公共点时，的值为。20选修4-2：矩阵与变换设A是把坐标平面上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的3倍的伸缩变换所对应的变换矩阵，B是将点（2，0）变为点（，1）的旋转变换所对应的变换矩阵，若M=AB，求矩阵M及M1。解答：设矩阵，则，又矩阵，设，则，解得，21选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为。求圆C的直角坐标方程；设圆C与直线交于点A、B，若点P的坐标为，求|PA|PB|。解答：由，向，即将的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，即。由于=，故可设、是上述方程的两实根。所以，又直线过点P，故由上式及的几何意义得|PA|PB|=。22选修4-5：不等式选讲已知，且，求证：。证明：，又，23已知椭圆的一个焦点的坐标是且离心率。求椭圆C的方程；设圆，是否存在实数，使圆E与椭圆C交于A、B两点，且？若存在，请求出实数的值，若不存在，请说明理由；若的条件下，设P、Q是圆E上的两动点，满足（E为圆E的圆心），点M是椭圆C上的动点，试求的最大值。解答：，椭圆C的方程为，OAOB，由对称性可知AOE=BOE=450，直线OA的方程为，由得A（1，1），A（1，1）在圆上，E是PQ的中点，即P、Q是圆E直径上的两个端点。，设，则，当时，取得最大值，的最大值为24已知函数。求在上的极值；若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；若关于的方程在上恰有