自考04184线性代数(经管类)-自考核心考点笔记-自考重点资料

线性代数（经管类）主编与许、武汉大学出版社新版第一章决定因素1.1行列式的定义1.2行(列)行列式的展开1.3行列式的性质和计算1.3克莱默定律第二章矩阵2.1线性方程和矩阵的定义2.2矩阵运算2.3子阵的逆矩阵2.4块矩阵2.5矩阵和初等矩阵的初等变换2.6矩阵的秩2.7矩阵和线性方程第三章向量空间3.1 n维向量的概念及其线性运算3.2线性相关与线性无关3.3向量组的秩3.4向量空间第四章线性方程4.1齐次线性方程4.2非齐次线性方程第五章特征值和特征向量5.1特征值和特征向量5.2方阵的相似变换5.3向量内积和正交矩阵5.4实对称矩阵的相似标准形式第六章实二次型6.1实二次型及其标准型6.2正二次型和正定矩阵.(中间部分省略)整整15页，请打QQ:请求第一部分行列式本章概述行列式在线性代数考试中占很大比例。从考试大纲来看。尽管只有大约13%。但是在其他章节里。所有的试题都有行列式计算的内容。因此，这部分试题在试卷中所占的比例远远大于13%。1.1行列式的定义1.1.1二阶行列式和三阶行列式的定义一阶方程二元系统的一阶和二阶行列式例1。求解二元一阶方程组的解决方案。溶液：通过消去法获得那时。必须类似地这个定义叫做二阶行列式。这个值叫做二阶行列式。把它写下来。因此.从这可以看出。如果。那么二元一次方程组的解可以表示为：示例2二阶行列式的结果是一个数。我们称之为二阶行列式的值。第二，三元一次方程和三阶行列式考虑一个三元线性方程组我希望做出适当的选择。这样以后就会被抹掉。得到一元方程如果，可以解决这应该得到满足健身。将(6)和(7)的两边分开这是一个未知的一阶方程的二元系统。定义1.1.1在三阶行列式中，术语原始方程的解是：类似地这将二元一次方程组的解的公式推广到三元一次方程组。示例3计算示例4 (1)(2)例5当x取什么值？为了将这个结果推广到n元方程组。首先，二阶和三阶行列式应该推广到n阶行列式。1.1.2阶行列式的定义定义1.1.2当n时，一阶行列式是一个数。这时候，说道是一个n阶行列式。定义(它的位置可以作为公式的剩余部分被记住的代数余因子。定义为n阶行列式的值。也就是说。很容易看出，第J列元素的余因子和代数余因子独立于第J列元素。类似地，第一行元素的余因子和代数余因子独立于第一行元素。n阶的行列式是一个数。例6在行列式的第三列中找到每个元素的代数余因子。例7(上三角行列式)1.2行列式按行(列)展开定理1.2.1(行(列)的行列式展开定理)例1下三角行列式=主对角线元素的乘积。例2行列式的计算例3求N阶行列式摘要1.行列式中元素的余因子和代数余因子的定义。2.二阶行列式的定义。3.顺序行列式的定义。那是。4.行列式按行(列)展开的定理及应用该定理降低行列式阶的方法。1.3行列式的性质和计算1.3.1行列式的性质给定行列式通过交换行和列得到的新行列式称为d的转置行列式，并写成or。性质1的转置行列式等于原始行列式。也就是说，性质2通过将行列式D的行(列)的每个元素乘以K得到的新行列式等于kD。推论1如果一个行列式的行(列)的元素有一个公共因子在认证中，第I行和第j行的元素完全相同所以，D=0。性质4如果行列式的两行(列)的相应元素是成比例的，则行列式的值为零。性质5如果行列式中的一行(列)元素可以分解成两个元素的和，行列式可以分解成两个行列式的和，即只是看看请注意，性质是指某一行(列)，而不是每一行。看得见的属性6通过将行列式的一行(列)中的每个元素与另一行(列)相加来乘以该元素，行列式的值不变。证书。1.3.2行列式计算人们认识事物的基本方式是把未知变成已知。对于行列式，首先看看什么是已知的，(1)二阶和三阶行列式的计算；(2)三角形行列式的计算。因此，计算行列式的基本方法是利用行列式的性质将行列式转化为三角形或降阶。示例1计算行列式计算中如何求零是一个重要的技巧，主要应用性质6。示例2计算示例3计算示例4计算示例5计算扩展计算示例6计算方法1方法2扩展：计算示例7计算示例8计算扩展：计算例9计算N阶行列式溶液由第一个柱膨胀得到例10范德蒙行列式.示例11计算例12证明摘要1.准确描述行列式的性质；2.利用行列式的性质计算行列式的方法(1)低阶数字行列式和简单文字行列式；(2)当每行中的元素之和是相同的值时(3)一行(列)中只有一个或两个非零元素1.4克莱默定律本节将把一阶方程二元系统的解的公式推广到n个未知数和n个方程的线性系统。为此，首先介绍以下定理。n阶行列式的定理1.4.1由定理1.2.1证明，注意改变第二列的元素并不改变第二列元素的代数余因子同样，定理的其余部分也可以证明。定理1.4.2如果有n个未知数，则n个方程的线性方程系数的行列式那么方程有唯一的解：其间稍微证明一下例1。解决将克莱默定律应用于以下齐次方程定理1.4.3如果n个未知数和n个方程是齐次方程如果系数行列式D0，方程组只有零解，没有非零解。齐次方程的推论如果有非零解，则必须有一个系数行列式D=0。事实上，我们稍后将证明，对于具有n个未知数和n个方程的齐次方程，系数行列式D=0不仅是齐次方程有非零解的一个必要条件，而且是一个充分条件，即如果系数行列式D=0，则齐次方程必定有非零解。例2判断线性方程.(中间部分省略)整整15页，请打QQ:请求只有零解吗例3当k为值时，齐次方程没有非零解吗？例4问什么时候取什么值，齐次方程有非零的解决方案吗？1.定理1.4.1对于，有2.具有n个未知数和n个方程的线性方程的克莱默定律。以及n个未知数，n个方程的齐次线性方程有非零解的充分必要条件。第一章概述基本概念1.行列式中元素的余因子和代数余因子。2.行列式的定义基本配方1.行列式展开一行(一列)的定理；2.行列式的性质；3.行列式中任意一行(列)与另一行(列)的代数余因子的乘积之和=0；4.克莱默定律5.具有n个未知数和n个方程的齐次方程有非零解的充要条件是它的系数行列式=0。关键练习1.行列式中元素的余因子和代数余因子的计算：2.行列式的计算及关键例题(1)二阶和三阶行列式的计算；方法：利用行列式的性质进行降阶。(2)当每一行中的元素之和不变时(关键示例：第1.3节中的示例5及其扩展)；(3)特殊高阶行列式。因此例7矩阵不能是正定的。6.2.3二次型的分类定义6.2.3设Ax为N元二次型，其中A是实对称矩阵。Se(2)如果有任何实列向量X，则二次型称为正半定，二次型的矩阵A称为正半定。(3)如果有非零实列向量X，则二次型称为负定，二次型的矩阵A称为负定矩阵。(4)如果有任何实列向量X，二次型称为半负定，二次型的矩阵A称为半负定。(5)既不是半正定也不是半负定的实二次型称为不定二次型，相应的实对称矩阵称为不定矩阵。例5 (1)是正半定的。二次型是半正定的，因为总是有。(2)它是负定二次型。因为它是正定的，所以它对于任何非零x都有一个负定二次型。(3)它是半负定二次型。(4)它是不定二次型。因为是的是的至于如何判断一般二次型是正定、半正定、负定、半负定还是不定，得出以下结论：如果n元二次型的正惯性指数=n，则它是正定二次型；如果N元二次型的负惯性指数等于0，则为半正定二次型；如果n元二次型的负惯性指数=n，则为负定二次型；如果N元二次型的正惯性指数等于0，则为半负定二次型；如果N元二次型的正惯性指数1，负惯性指数1，则它是不定二次型。例6提供了第二种类型A.正定b .负定c .不定d .正半定从解中很容易看出，这个二次型的正惯性指数为2，负惯性指数为1，所以它是一个