数学第二章第十节函数的综合运用

同步检测训练一、选择题1若AxZ|222x1，则A(RB)的元素个数为()A0B1C2 D3答案：C解析：A0,1，B.A(RB)0,1故选C.2(2008辽宁)设f(x)是连续的偶函数，且当x0时f(x)是单调函数，则满足f(x)f的所有x之和为()A3 B3C8 D8答案：C解析：由题意得x或x，即x25x30或x23x30，则x1x25，x3x43，所求满足f(x)f的所有x之和为8.故选C.3已知函数yf(x)的图象与函数yax(a0且a1)的图象关于yx对称，记g(x)f(x)f(x)f(2)1若yg(x)在区间，2上是增函数，则实数a的取值范围是()A2，) B(0,1)(1,2)C，1) D(0，答案：D解析：用特值法f(x)logax，则g(x)logaxlogaxloga21令a2，则g(x)(log2x)2，当x1时， log2x单调递增但1log2x0.g(x)(log2x)2在上单调递减，不满足，同理可验当a不符合题意，故选D.4已知偶函数yf(x)满足条件f(x1)f(x1)，且当x1,0时，f(x)3x，则f(log5)的值等于()A1 BC D1答案：D解析：f(x2)f(x1)1f(x1)1f(x)2是f(x)的一个周期f(log5)f(log52)f(log)f(log)f(log3)1log30f(log3)3log31，故选D.6(2009石家庄市一测)已知F(x)f(x)1是R上的奇函数，anf(0)f()f()f()f(1)(nN*)，则数列an的通项公式为()Aann1 BannCann1 Dann2答案：C解析：因为F(x)F(x)0，所以f(x)f(x)2，即若ab1，则f(a)f(b)2.于是由anf(0)f()f()f()f(1)，得2anf(0)f(1)f()f()f()f()f(1)f(0)2n2，所以ann1.故选C.7(2009石家庄二测)已知定义在R上的偶函数f(x)的图象关于直线x1对称，且当0x1时，f(x)x2，若直线yxa与曲线yf(x)恰有两个交点，则a等于()A0 B2k(kZ)C2k或2k(kZ) D2k(kZ)答案：C解析：依题意知，f(x)为周期函数，数形结合，周期函数f(x)的图象如下图，由图象可知符合条件的直线有两类，选C.8(2009东北三校联考)设函数f(x)，则(ab)的值为()Aa BbCa、b中较小的数 Da、b中较大的数答案：C解析：对ab进行讨论，当ab0时，f(ab)1，b；当ab0.则给出下列命题：f(2008)2；函数yf(x)图象的一条对称轴为x6；函数yf(x)在9，6上为减函数；方程f(x)0在9,9上有4个根；其中所有正确命题的序号为_答案：解析：f(x6)f(x)f(3)，f(3)0，则f(x6)f(x),6为函数的一个周期，又函数yf(x)是R上的偶函数，且f(4)2，则f(4)2，当x1，x20,3，且x1x2时，都有0，函数在区间0,3上为增函数对于，f(2008)f(46334)f(4)2，正确；对于，由奇偶性和周期性得函数yf(x)图象的一条对称轴为x6，则正确；对于，由周期性知函数yf(x)在6，3上为增函数，又函数yf(x)图象的一条对称轴为x6，则函数yf(x)在9，6上为减函数，正确；对于，由于f(3)0，根据奇偶性和周期性得f(3)0，f(9)0，f(9)0，则方程f(x)0在9,9上有4个根，正确；综上所述，正确，故填.三、解答题12(2009重庆市一测)某厂家拟在2009年举行促销活动经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用t(t0)万元满足x4(k为常数)如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件已知2009年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)(1)将该厂家2009年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；(2)该厂家2009年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？解：(1)由题意可知14得k3，故x4.y1.5x(612x)t36xt36(4)t27t(t0)(2)y27t27.5(t)27.5221.5.当且仅当t，即t2.5时，y取得最大值故2009年的促销费用投入2.5万元时，厂家利润最大13(2008北京海淀)今有一长2米，宽1米的矩形铁皮，如右图，在四个角上分别截去一个边长为x米的正方形后，沿虚线折起，做成一个无盖的长方体水箱(接口连接问题不考虑)(1)求水箱容积的表达式f(x)，并指出函数f(x)的定义域；(2)若要使水箱容积不大于4x3立方米的同时，又使得底面积最大，求x的值解：(1)由已知该长方体水箱高为x米，底面矩形长为(22x)米，宽(12x)米该水箱容积为f(x)(22x)(12x)xf(x)4x36x22x，其中正数x满足0x.所求函数f(x)的定义域为.(2)由f(x)4x3，得x0或x.函数f(x)的定义域为.x.此时底面积为S(x)(22x)(12x)4x26x2，x.由S(x)42，可知S(x)在上是减函数，x.答：满足条件的x为米14(2008山东师大附中)已知f(x)是定义在(0，)上的单调递增函数，对于任意的m、nm、n(0，)满足f(m)f(n)f(mn)，且a、b(0ab)满足|f(a)|f(b)|2.(1)求f(1)；(2)若f(2)1，解不等式f(x)2；(3)求证：3b2.解：(1)令mn1，由f(m)f(n)f(mn)，得f(1)f(1)f(1)f(1)0.(2)f(2)1，f(x)211f(2)f(2)f(4)又f(x)在(0，)上单调递增，0x4，f(x)2的解集为(0,4) .(3)f(1)0，f(x)在(0，)上单调递增，x(0,1)时，f(x)0.又|f(a)|f(b)|，f(a)f(b)或f(a)f(b)0ab，f(a)f(b)，f(a)f(b)f(ab)0，ab1，0a11，1，f(b)2f，4ba22abb2，4bb22a2，考虑到0a1，04bb221，3b2.15(2008宁夏、海南)设函数f(x)ax(a，bZ)，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y3.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：函数yf(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；(3)证明：曲线yf(x)上任一点的切线与直线x1和直线yx所围三角形的面积为定值，并求出此定值(1)解：f(x)a，于是解得或因a，bZ，故f(x)x.(2)证明：已知函数y1x，y2都是奇函数所以函数g(x)x也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形而f(x)x11.可知，函数g(x)的图象按向量a(1,1)平移，即得到函数f(x)的图象，故函数f(x)的图象是以点(1,1)为