数学二轮立体几何文

立体几何（文）【考纲解读】1.掌握平面的基本性质(三个公理、三个推论)，理解确定平面的条件；会用字母、集合语言表示点、直线、平面间的关系.2.理解线线、线面平行的定义;熟练掌握线线、线面及面面平行的判定和性质;会运用线线、线面及面面平行的判定和性质进行推理和证明.3能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会画它们的直观图.4理解空间中线线、线面垂直定义及分类；理解空间中线线、线面、面面垂直的有关定理及性质；会运用线面平行与垂直的判定与性质定理进行证明和推理.5认识柱、锥、台、球及简单几何体的结构特征,并运用这些特征描述简单物体的结构;了解柱、锥、台、球的表面积与体积的计算公式(不要求记忆).【考点预测】1.对于空间几何体中点、线、面的位置关系及平行与垂直的性质和判定，高考中常在选择题中加以考查.解答题主要考查空间几体的点、线、面的位置关系的证明及探索存在性问题，着重考查学生的空间想象能力、推理论证能力，运用图形语言进行交流的能力及几何直观能力，难度中等.明年高考将仍以平行与垂直关系的证明探究为重点,注意命题题型的多样化、新颖化，如开放性、探索存在性题型.2.三视图与直观图、空间几何体的表面积与体积，考查了学生通过直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及性质的基本能力，是每年高考必考内容，明年高考仍以三视图，空间几何体的表面积与体积为重点，在客观题中加以考查，其中表面积与体积也可能在解答题题后一问中出现。【要点梳理】1.三视图：正俯视图长对正、正侧视图高平齐、俯侧视图宽相等.2.直观图:已知图形中平行于x轴和z轴的线段,在直观图中保持长度不变,平行于y轴的线段平行性不变,但在直观图中其长度为原来的一半.3.体积与表面积公式:(1)柱体的体积公式:;锥体的体积公式: ;台体的体积公式: ;球的体积公式: . (2)球的表面积公式: .4.有关球与正方体、长方体、圆柱、圆锥、圆台的结合体问题，要抓住球的直径与这些几何体的有关元素的关系.5.平行与垂直关系的证明,熟练判定与性质定理.【考点在线】考点一 三视图例1.（2011年高考海南卷文科第8题）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图，则相应的侧视图可以为（ ）【答案】D 【解析】由主视图和府视图可知，原几何体是由后面是半个圆锥，前面是三棱锥的组合体，所以，左视图是D.【名师点睛】本题考查三视图的基础知识.【备考提示】三视图是高考的热点之一,年年必考,所以必须熟练立体几何中的有关定理是解答好本题的关键.练习1: （2011年高考江西卷文科9)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（ ）【答案】D 【解析】左视图即是从正左方看，找特殊位置的可视点，连起来就可以得到答案.考点二 表面积与体积例2.(2011年高考安徽卷文科8)一个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )【解析】由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱.底面等腰梯形的上底为2，下底为4，高为4，两底面积和为，四个侧面的面积为，所以几何体的表面积为.故选C.【名师点睛】本题考查三视图的识别以及空间多面体表面积的求法.【备考提示】：表面积与体积的求解也是高考的热点之一，年年必考，大多以三视图为载体，在选择与填空题中考查，难度不大，也可能在解答题的一个问号上.练习2：332正视图侧视图俯视图图1（2011年高考湖南卷文科4)设图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A【答案】D【解析】有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积.考点三 球的组合体例3. （2011年高考辽宁卷文科10)己知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点AB=2, 则棱锥的体积为( )(A) (B) (C) (D) 【答案】C 【解析】取SC的中点D,则D为球心，则AD=BD=DS=2。因为ASC=BSC=45，所以SDB=SDA=900，即ADSC,BDSC,ABD是等边三角形，故棱锥S-ABC的体积等于棱锥S-ABD和棱锥C-ABD的体积和，即.【名师点睛】本小题考查三棱锥的外接球体积的求解,关键是找出球的半径.【备考提示】：球的组合体,在高考中,经常考查球与长方体、正方体、三棱锥、四棱锥、圆锥、圆柱等的组合，熟练这些几何体与其外接球的半径的关系是解决此类问题的关键.练习3：（2011年高考海南卷文科16)已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 .【答案】【解析】设圆锥的底面半径为,球半径为,则,解得,所以对应球心距为,故小圆锥的高为,大圆锥的高为,所以之比为.考点四 空间中平行与垂直关系的证明集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解例4. （2011年高考山东卷文科19)如图，在四棱台中，平面，底面是平行四边形，60. （）证明：；（）证明：.【解析】（）证明：因为，所以设AD=a,则AB=2a,又因为60,所以在中,由余弦定理得：,所以BD=,所以,故BDAD,又因为平面，所以BD,又因为, 所以平面,故.(2)连结AC,设ACBD=0, 连结,由底面是平行四边形得:O是AC的中点,由四棱台知:平面ABCD平面,因为这两个平面同时都和平面相交,交线分别为AC、，故，又因为AB=2a, BC=a, ，所以可由余弦定理计算得AC=，又因为A1B1=2a, B1C1=, ，所以可由余弦定理计算得A1C1=，所以A1C1OC且A1C1=OC，故四边形OCC1A1是平行四边形，所以CC1A1O，又CC1平面A1BD，A1O平面A1BD，所以.【名师点睛】本题以四棱台为载体,考查空间中平行与垂直关系的论证,考查空间想象能力、逻辑思维能力,分析问题与解决问题的能力.【备考提示】：熟练课本中有关平行与垂直的定理是解答好本类题的关键.练习4. (2011年高考江苏卷16)如图，在四棱锥中，平面PAD平面ABCD，AB=AD，BAD=60，E、F分别是AP、AD的中点.求证：（1）直线EF平面PCD；（2）平面BEF平面PAD.【解析】证明: （1）因为E、F分别是AP、AD的中点,所以EFPD,又因为EF平面PCD,PD平面PCD,所以直线EF平面PCD；（2）设AB=AD=,则AF=,又因为BAD=60，所以在中,由余弦定理得：BF=，所以，所以BFAF，因为平面PAD平面ABCD，交线为AD，平面ABCD，所以BF平面PAD，因为平面BEF，所以平面BEF平面PAD.【易错专区】问题：三视图与表面积、体积例.（2011年高考陕西卷文科5)某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】由三视图可知该几何体为立方体与圆锥，立方体棱长为2，圆锥底面半径为1、高为2，所以体积为故选A.【名师点睛】：本小题以三视图为载体考查空间几何体的体积的求解【备考提示】：由三视图准确判断几何体的形状以及找出几何体各个边长是解答此类问题的关键所在.【考题回放】1.（2011年高考辽宁卷文科8)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为，它的三视图中的俯视图如右图所示左视图是一个矩形则这个矩形的面积是( ) (A)4 (B) (c)2 (D) 【答案】B【解析】设正三棱柱的侧棱长和底面边长为a，则由，解得a=2，正三棱柱的左视图与底面一边垂直的截面大小相同，故该矩形的面积是.2. （2011年高考四川卷文科6)，是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )（A）/ （B）,/（C）/ ，共面 （D），共点，共面【答案】B【解析】若则有三种位置关系，可能平行、相交或异面，故A不对.虽然，或共点，但是可能共面，也可能不共面，故C、D也不正确.3（2010年高考福建卷文科3）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积等于 ( )A. B.2 C. D.6【答案】D【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为，侧面积为，选D.4（2010年高考山东卷文科4）在空间，下列命题正确的是( )A.平行直线的平行投影重合B.平行于同一直线的两个平面平行C.垂直于同一平面的两个平面平行D.垂直于同一平面的两条直线平行【答案】D【解析】由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以很容易得出答案。5(2010年高考北京卷文科5)一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该集合体的俯视图为( )6(2010年高考安徽卷文科9)一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是( )（A）372 （B）360 （C）292 （D）280【答案】B【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。.7（2010年高考辽宁卷文科11）已知是球表面上的点，则球的表面积等于（A）4 （B）3 （C）2 （D）解析：选A.由已知，球的直径为，表面积为8. (2010年高考浙江卷文科8)若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是( )（A）cm3 （B）cm3（C）cm3 （D）cm3【答案】B【解析】本题主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题9. (2010年高考宁夏卷文科7)设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ) （A）3a2 （B）6a2 （C）12a2 （D） 24a2【答案】B 【解析】根据题意球的半径满足，所以10（2010年高考湖北卷文科4）用、表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：( )若，则；若，则；若，则；若，则.A. B. C. D.11（ 2010年高考全国卷文科6）直三棱柱中，若，则异面直线与所成的角等于( )(A)30 (B)45(C)60 (D)90【答案】C【解析】延长CA到D，使得，则为平行四边形，就是异面直线与所成的角，又三角形为等边三角形，.12（ 2010年高考全国卷文科12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为( )(A) (B) (C) (D) 【答案】B【解析】过CD作平面PCD，使AB平面PCD,交AB与P,设点P到CD的距离为,则有,当直径通过AB与CD的中点时,故.13. （2011年高考福建卷文科15)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2。，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF平面AB1C，则线段EF的长度等于_.【答案】【解析】由于在正方体中,AB=2,所以AC=.又E为AD中点, EF平面AB1C，EF平面ADC,平面ADC平面AB1C=AC,所以EFAC,所以F为DC中点,所以EF=.14（2010年高考天津卷文科12）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 .【答案】3【解析】由三视图知，该几何体是一个底面为直角梯形的直棱柱，棱柱的高为1，梯形的上下底面边长分别为1、2，梯形的高为2，所以这个几何体的体积为。15（2010年高考上海卷文科6）已知四棱椎的底面是边长为6 的正方形，侧棱底面，且，则该四棱椎的体积是 。【答案】96【解析】考查棱锥体积公式16（2010年高考辽宁卷文科16）如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为 .【答案】【解析】图中四棱锥即是，所以最长的一条棱的长为17 。(2010年高考宁夏卷文科15)一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的_(填入所有可能的几何体前的编号).三棱锥 四棱锥 三棱柱 四棱柱 圆锥 圆柱【答案】18（2010年高考湖北卷文科14）圆柱形容器内盛有高度为3cm的水，若放入三个相同的珠（球的半么与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是_cm.【答案】4【解析】设球半径为r，则由可得,解得r=4.19（2010年高考山东卷文科20）（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形是正方形，平面，、分别为、的中点，且.（I）求证：平面平面；（II）求三棱锥与四棱锥的体积 之比.【解析】（I）证明：由已知MA 平面ABCD，PDMA， 所以 PD平面ABCD又 BC 平面ABCD，因为 四边形ABCD为正方形，所以 PD BC 又 PDDC=D， 因此 BC平面PDC在PBC中，因为G平分为PC的中点，所以 GFBC因此 GF平面PDC又 GF 平面EFG，所以 平面EFG平面PDC.（ ）解：因为PD平面ABCD,四边形ABCD为正方形，不妨设MA=1， 则 PD=AD=2，ABCD 所以 Vp-ABCD=1/3S正方形ABCD，PD=8/3 由于 DA面MAB的距离 所以 DA即为点P到平面MAB的距离，三棱锥 Vp-MAB=1/31/2122=2/3，所以 Vp-MAB：p-ABCD=1:4。【高考冲策演练】一、选择题：1（2009年高考广东卷A文科第6题）给定下列四个命题： 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； 垂直于同一直线的两条直线相互平行；w.w.w.c.o.m 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是 （ ）A和 B和 C和 D和 【答案】D【解析】错, 正确, 错, 正确.故选D2（2009年高考湖南卷文科第6题）平面六面体中，既与共面也与共面的棱的条数为（ ）A3 B4 C5 D6 【答案】C【解析】如图，用列举法知合要求的棱为：、，故选C.3. (山东省青岛市2011年3月高考第一次模拟)已知直线 、，平面、，且，则是的( ).充要条件 .充分不必要条件 .必要不充分条件 .既不充分也不必要条件【答案】B4(山东省济宁市2011年3月高三第一次模拟)已知a、b为直线，、为平面在下列四个命题中， 若a，b，则ab ； 若 a，b ，则ab； 若a，a，则； 若b，b ，则正确命题的个数是 （ ） A 1 B 3 C 2 D 0【答案】C【解析】由“垂直于同一平面的两直线平行”知真；由“平行于同一平面的两直线平行或异面或相交”知假；由“垂直于同一直线的两平面平行”知真；易知假，选C5. （山东省泰安市2012届高三上学期期末文科）设l、m、n为不同的直线，为不同的平面，有如下四个命题：( )若若若若A.0B.1C.2D.3【答案】B6. （山东省济南一中2012届高三上学期期末文科）已知正三棱锥的主视图、俯视图如下图所示，其中VA=4，AC=,则该三棱锥的左视图的面积 ( )A9 B6 C D【答案】B7(山东省烟台市2012届高三上学期期末文科)已知空间两条不同的直线和两个不同的平面，则下列命题中正确的是A若 B若C若 D若【答案】D8(2011年高考广东卷文科9)如图1-3，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别为等边三角形、等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（ ）A 43 B 4 C 23 D 2【答案】C【解析】由题得该几何体是如图所示的四棱锥P-ABCD，所以选择C.9.（2011年高考浙江卷文科4)若直线不平行于平面，且，则（ ）(A) 内的所有直线与异面 (B) 内不存在与平行的直线(C) 内存在唯一的直线与平行 (D) 内的直线与都相交【答案】 B【解析】直线不平行于平面，所以与相交，故选B。10（2011年高考重庆卷文科10)高为的四棱锥的底面是边长为1的正方形，点、均在半径为1的同一球面上，则底面的中心与顶点之间的距离为（ ）A B C D【答案】A11（2011年高考湖北卷文科7)设球的体积为V1,它的内接正方体的体积为V2，下列说法中最合适的是( )A. V1比V2大约多一半B. V1比V2大约多两倍半C. V1比V2大约多一倍D. V1比V2大约多一倍半【答案】D【解析】设球半径为R，其内接正方体棱长为a，则，即由，比较可得应选D.12.（2011年高考山东卷文科11)下图是长和宽分别相等的两个矩形给定下列三个命题：存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如下图其中真命题的个数是( ) (A)3 (B)2 (C)1 (D)0【答案】A【解析】对于,可以是放倒的三棱柱；容易判断可以.二填空题：13（2009年高考江苏卷第12题）设和为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；（2）若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行；（3）设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直；（4）直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直。上面命题中，真命题的序号 （写出所有真命题的序号）.【答案】(1)(2)14. (山东省济南市2011年2月高三教学质量调研文科)已知右上图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为 . 【答案】815. （2011年高考福建卷文科15)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2。，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF平面AB1C，则线段EF的长度等于_.【答案】【解析】由于在正方体中,AB=2,所以AC=.又E为AD中点, EF平面AB1C，EF平面ADC,平面ADC平面AB1C=AC,所以EFAC,所以F为DC中点,所以EF=.16.（2011年高考全国卷文科15)已知正方体中，E为的中点，则异面直线AE与BC所成的角的余弦值为 .【答案】【解析】取的中点，为所求角，设棱长为2，则，三解答题：17（2011年高考福建卷文科20)（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，点E在线段AD上，且CEAB。（1） 求证：CE平面PAD；（11）若PA=AB=1，AD=3，CD=，CDA=45，求四棱锥P-ABCD的体积【解析】(1)证明:因为PA平面ABCD,CE平面ABCD,所以PACE,因为ABAD,CEAB,所以CEAD,又PAAD=A,所以CE平面PAD.(2)解:由(1)可知CEAD,在直角三角形ECD中,DE=CD,CE=CD.又因为AB=CE=1,ABCE,所以四边形ABCE为矩形,所以=,又PA平面ABCD,PA=1,所以四棱锥P-ABCD的体积等于.18. （2009年高考山东卷文科第18题）如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB/CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E分别是棱AD、AA的中点.E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D ()设F是AB的中点, 证明：直线EE/平面FCC；()证明:平面平面【解析】（）（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A1B1的中点F1，连结，由于,所以平面,因此平面即为平面,连结A1D，CF1，由于CDA1F1CD,所以四边形A1F1CD为平行四边形，因此CF1/A1D，又因为E、E分别是棱AD、AA的中点，所以EE1/A1D，所以CF1/EE1，又因为平面FCC，平面FCC，所以直线EE/平面FCC. ()