6.3数学归纳法.ppt

选修2-2（湘教版）6.3数学归纳法（第一课时）主讲人：蔡春晖安徽省宿松县九姑中学,数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法。其格式主要有两个步骤、一个结论:（1）验证当n取第一个值n0（如n0=1或2等）时结论正确；验证初始条件（2）假设n=k时结论正确，在假设之下，证明n=k+1时结论也正确；假设推理（3）由（1）、（2）得出结论.点题,找准起点奠基要稳,用上假设递推才真,写明结论才算完整,一、数学归纳法定义：,例：是否存在常数a、b,使得等式:对一切正整数n都成立,并证明你的结论.,解:令n=1,2,并整理得,以下用数学归纳法证明:,(1)当n=1时,由上面解法知结论正确.,(1)数学归纳法证明等式问题：,二、数学归纳法应用举例：,(2)假设当n=k时结论正确,即:,则当n=k+1时,故当n=k+1时,结论也正确.,根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论正确.,(2)数学归纳法证明整除问题：,例：用数学归纳法证明:当n为正偶数时,xn-yn能被x+y整除.,证:(1)当n=2时,x2-y2=(x+y)(x-y),即能被x+y整除,故命题成立.,(2)假设当n=2k时,命题成立,即x2k-y2k能被x+y整除.,则当n=2k+2时,有,都能被x+y整除.,故x2k+2-y2k+2能被x+y整除,即当n=2k+2时命题成立.,由(1)、(2)知原命题对一切正偶数均成立.,分组训练（讨论）：1、用数学归纳法证明：如果an是一个等差数列，则an=a1+(n-1)d对于一切nN*都成立。2、用数学归纳法证明1+3+5+(2n1)=n2,1用数学归纳法证明：如果an是一个等差数列，则an=a1+(n-1)d对于一切nN*都成立。,证明:(1)当n=1时,左边=a1,右边=a1+（1-1)d=a1,当n=1时，等式成立,(2)假设当n=k时等式成立，即ak=a1+(k-1)d,则当n=k+1时,ak+1=ak+d=a1+(k-1)d+d=a1+(k+1)-1d,当n=k+1时，等式也成立。,由(1)和(2)知,等式对于任何nN*都成立。,凑假设,结论,从n=k到n=k+1有什么变化,证明:(1)当n=1时左1，右121n=1时，等式成立(2)假设n=k时，等式成立，即1+3+5+(2k1)=k2那么，当n=k+1时左1+3+5+(2k1)2(k+1)-1=k2+2k+1=(k+1)2=右即n=k+1时等式成立由(1)、(2)可知等式对任何nN*都成立,递推基础,递推依据,2.用数学归纳法证明1+3+5+(2n1)=n2,练,习,用数学归纳法证明:,(1),（2）1+2+22+2n-1=2n-1,（3）首项是a1，公比是q的等比数列的通项公式是an=a1qn-1,感悟与收获,(1)本节的中心内容是数学归纳法的应用;(2)归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分为完全归纳法和不完全归纳法二种;(3)由于不完全归纳法中推测所得结论可能不正确,因而必须作出证明，证明可用数学归纳法进行;(4)数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思路是递推思想，它的操作步骤必须是二步，其中第二步