数学课后作业46正弦定理和余弦定理

4-6 正弦定理和余弦定理1.(2011重庆理，6)若ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足(ab)2c24，且C60，则ab的值为()A.B84C1 D.答案A解析在ABC中，C60，a2b2c22abcosCab，(ab)2c2a2b2c22ab3ab4，ab，选A.2(文)在ABC中，已知A60，b4，为使此三角形只有一解，a满足的条件是()A0a4 Ba6Ca4或a6 D0a4或a6答案C解析bsinA4sin606，要使ABC只有一解，应满足a6或a4.如图顶点B可以是B1、B2或B3.(理)(2011湖北八校联考)若满足条件C60，AB，BCa的ABC有两个，那么a的取值范围是()A(1，) B(，)C(，2) D(1,2)答案C解析由条件知，asin60a，a2.3(2011深圳二调)在ABC中，已知a，b，c分别为A，B，C所对的边，且a4，b4，A30，则B等于()A30 B30或150C60 D60或120答案D解析由正弦定理得，所以，sinB.又0B180，因此有B60或B120，选D.4(文)(2011浙江文，5)在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若acosAbsinB，则sinAcosAcos2B()A B.C. 1 D. 1答案D解析由acosAbsinB可得，sinAcosAsin2B1cos2B所以sinAcosAcos2B1.(理)(2011辽宁理，4)ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinBbcos2Aa，则()A2 B2C. D.答案D解析asinAsinBbcos2Aa，sin2AsinBsinBcos2AsinA，sinBsinA，ba，.5(文)(2011福建质检)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a1，c4，B45，则sinC等于()A. B.C. D.答案B解析依题意得b5，又，所以sinC，选B.(理)ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，如果a、b、c成等差数列，B30，ABC的面积为0.5，那么b为()A1 B3C. D2答案C解析acsinB，ac2，又2bac，a2c24b24，由余弦定理b2a2c22accosB得，b.6(文)(2011福建六校联考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c4，B45，面积S2，则b等于()A5 B.C. D25答案A解析由于SacsinB2，c4，B45，可解得a1，根据余弦定理得，b2a2c22accosB13221425，所以b5，故选A.(理)在ABC中，面积Sa2(bc)2，则cosA()A. B.C. D.答案B解析Sa2(bc)2a2b2c22bc2bc2bccosAbcsinA，sinA4(1cosA)，16(1cosA)2cos2A1，cosA.7(2011福建文，14)若ABC的面积为，BC2，C60，则边AB的长度等于_答案2解析由SBCACsinC知2ACsin60AC，AC2，AB22222222cos604，AB2.8(文)(2011河南质量调研)在ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且满足cos，3，则ABC的面积为_答案2解析依题意得cosA2cos21，sinA，ABACcosA3，ABAC5，ABC的面积SABACsinA2.(理)(2010上海模拟)在直角坐标系xOy中，已知ABC的顶点A(1,0)，C(1,0)，顶点B在椭圆1上，则的值为_答案2解析由题意知ABC中，AC2，BABC4，由正弦定理得2.9(文)(2011济南外国语学校质检)在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a，b2，sinBcosB，则A的大小为_答案解析sinBcosBsin(B)，sin(B)1，0B，B，sinA，ab，AB，A.(理)在锐角ABC中，边长a1，b2，则边长c的取值范围是_答案c0，c25.2c.边b最长时(c0，c23.c2.综上，c.10(文)(2011沈阳模拟)ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，向量m(2sinB,2cos2B)，n(2sin2()，1)，且mn.(1)求角B的大小；(2)若a，b1，求c的值解析(1)mn，mn0，4sinBsin2()cos2B20，2sinB1cos(B)cos2B20，2sinB2sin2B12sin2B20，sinB.0Bb，此时B，由余弦定理得b2a2c22accosB，c23c20，c2或c1.(理)ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m(2sinB，)，n(cos2B,2cos21)且mn.(1)求锐角B的大小；(2)如果b2，求ABC的面积SABC的最大值分析(1)问利用平行向量的坐标表示将向量知识转化为三角函数，利用三角恒等变换知识解决；(2)问利用余弦定理与基本不等式结合三角形面积公式解决解析(1)mn，2sinBcos2Bsin2Bcos2B，即tan2B又B为锐角，2B(0，)2B，B.(2)B，b2，由余弦定理cosB得，a2c2ac40又a2c22ac，ac4(当且仅当ac2时等号成立)SABCacsinBac(当且仅当ac2时等号成立)点评本题将三角函数、向量与解三角形有机的结合在一起，题目新颖精巧，难度也不大，即符合在知识“交汇点”处命题，又能加强对双基的考查，特别是向量的坐标表示及运算，大大简化了向量的关系的运算，该类问题的解题思路通常是将向量的关系用坐标运算后转化为三角函数问题，然后用三角函数基本公式结合正、余弦定理求解.11.(文)(2010广东深圳一模)在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，若a2bcosC，则此三角形一定是()A等腰直角三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等腰或直角三角形答案C解析因为a2bcosC，所以由余弦定理得：a2b，整理得b2c2，bc，则此三角形一定是等腰三角形点评也可以先由正弦定理，将a2bcosC化为sinA2sinBcosC，利用sinAsin(BC)代入展开求解(理)(2011郑州六校质量检测)ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若cosA，则ABC为()A钝角三角形 B直角三角形C锐角三角形 D等边三角形答案A解析依题意得cosA，sinCsinBcosA，所以sin(AB)sinBcosA，即sinBcosAcosBsinAsinBcosA0，所以cosBsinA0，于是有cosB0，B为钝角，ABC是钝角三角形，选A.12(文)(2011深圳二调)已知ABC中，A30，AB，BC分别是，的等差中项与等比中项，则ABC的面积等于()A. B.C.或 D.或答案D解析依题意得AB，BC1，易判断ABC有两解，由正弦定理得，即sinC.又0C180，因此有C60或C120.当C60时，B90，ABC的面积为ABBC；当C120时，B30，ABC的面积为ABBCsinB1sin30.综上所述，选D.(理)(2011泉州质检)ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，则角B等于()A30 B60C90 D120答案B解析依题意得acosCccosA2bcosB，根据正弦定理得，sinAcosCsinCcosA2sinBcosB，则sin(AC)2sinBcosB，即sinB2sinBcosB，又0B180，所以cosB，所以B60，选B.13(文)(2011四川文，8)在ABC中，sin2Asin2Bsin2CsinBsinC，则A的取值范围是()A(0， B，)C(0， D，)答案C解析根据正弦定理，由sin2Asin2Bsin2CsinBsinC得a2b2c2bc，根据余弦定理cosA，又0A，0A，故选C.(理)(2011豫南四校调研考试)若AB2，ACBC，则SABC的最大值为()A2 B.C. D3答案A解析设BCx，则ACx，根据面积公式得SABCABBCsinBx，根据余弦定理得cosB，将代入得，SABCx，由三角形的三边关系得，解得22x22，故当x2时，SABC取得最大值2，故选A.14判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是_a1，b， B45；a，b，A30；a6，b20，A30；a5，B60，C45.答案解析一解，asinB1，有一解两解，bsinA6，无解一解，已知两角和一边，三角形唯一确定15(文)(2011江西文，17)在ABC中，角A、B、C的对边是a、b、c，已知3acosAccosBbcosC(1)求cosA的值；(2)若a1，cosBcosC，求边c的值解析(1)由余弦定理b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC有ccosBbcosCa，代入已知条件得3acosAa，即cosA(2)由cosA得sinA则cosBcos(AC)cosCsinC，代入cosBcosC得cosCsinC，从而得sin(C)1，其中sin，cos(0)则C，于是sinC，由正弦定理得c.(理)(2011山东文，17)在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知.(1)求的值；(2)若cosB，ABC的周长为5，求b的长解析(1)由正弦定理2R知，即cosAsinB2cosCsinB2cosBsinCcosBsinA，即sin(AB)2sin(BC)，又由ABC知，sinC2sinA，所以2.(2)由(1)知2，c2a，则由余弦定理得b2a2(2a)22a2acosB4a2b2a，a2a2a5，a1，b2.1在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2，b2，且三角形有两解，则角A的取值范围是()A. B.C. D.答案A解析由条件知bsinAa，即2sinA2，sinA，ab，AB，A为锐角，0A0，b0，ab0，所以ab.3(2010天津理)在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2b2bc，sinC2sinB，则A()A30 B60C120 D150答案A解析由余弦定理得：cosA，由题知b2a2bc，c22bc，则cosA，又A(0，180)，A30，故选A.4(2010四川双流县质检)在ABC中，tanA，cosB，若最长边为1，则最短边的长为()A. B.C. D.答案D解析由tanA0，cosB0知A、B均为锐角，tanA1，0A，0B，C为最大角，由cosB知，tanB，BA，b为最短边，由条件知，sinA，cosA，sinB，sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB，由正弦定理，知，b.5.(2011天津理，6)如图，在ABC中，D是边AC上的点，且ABAD,2ABBD，BC2BD，则sinC的值为()A. B.C. D.答案D解析如图，根据条件，设BD2，则ABAD，BC4.在ABC中，由正弦定理：在ABD中，由余弦定理：cosA，sinAsinC，故选D.6(2011广州一测