数学课后作业93空间点、直线、平面之间的位置关系新人教A

2013高考数学人教A版课后作业：9-3 空间点、直线、平面之间的位置关系1.(文)(2011福州二检)给出下列四个命题：没有公共点的两条直线平行；互相垂直的两条直线是相交直线；既不平行也不相交的直线是异面直线；不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线其中正确命题的个数是()A1B2C3D4答案B解析没有公共点的两条直线平行或异面，故命题错；互相垂直的两条直线相交或异面，故命题错；既不平行也不相交的直线是异面直线，不同在任一平面内的两条直线是异面直线，命题、正确，故选B.(理)(2011浙江文，4)若直线l不平行于平面，且l，则()A内的所有直线与l异面B内不存在与l平行的直线C内存在唯一的直线与l平行D内的直线与l都相交答案B解析由题意知不妨设直线lM，对A，过M点的内的直线与l不异面，A错误；对B，假设存在与l平行的直线m，则由ml得l，这与lM矛盾，故B正确；C显然错误；对D，内存在与l异面的直线，故D错误综上知选B.2(2010深圳市调研)已知E、F、G、H是空间内四个点，条件甲：E、F、G、H四点不共面，条件乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析点E、F、G、H四点不共面可以推出直线EF和GH不相交；但由直线EF和GH不相交不一定能推出E、F、G、H四点不共面，例如：EF和GH平行，这也是直线EF和GH不相交的一种情况，但E、F、G、H四点共面故甲是乙成立的充分不必要条件3(文)(2011威海质检)已知直线l、m，平面，且m，则lm是l的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案D解析由lm可知l或l，所以“lm”不是“l”的充分条件，l且m，则直线lm或直线l与m异面，所以“lm”也不是“l”的必要条件，故选D.(理)(2010淄博一中)已知直线l平面，直线m平面，则是lm的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析若，则由l知l，又m，可得lm；若与相交(如下图)，设n，当mn时，由l可得lm，而此时与不平行于是是lm的充分不必要条件故选A.4(2011济宁一模)已知空间中有三条线段AB、BC和CD，且ABCBCD，那么直线AB与CD的位置关系是()AABCDBAB与CD异面CAB与CD相交DABCD或AB与CD异面或AB与CD相交答案D解析若三条线段共面，如果AB、BC、CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线，故选D.5平行六面体ABCDA1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为()A3 B4C5 D6答案C解析如上图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，既与AB共面，也与CC1共面的棱为BC、C1D1、DC、AA1、BB1，共5条6在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，若EF与GH交于点M，则()AM一定在AC上BM一定在BD上CM可能在AC上也可能在BD上DM不在AC上，也不在BD上答案A解析点P在平面ABC内，又在平面ADC内，故必在交线AC上7(2011金华模拟)在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则使直线GH、MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)答案解析图中，直线GHMN；图中，G、H、N三点在三棱柱的侧面上，MG与这个侧面相交于G，M平面GHN，因此直线GH与MN异面；图中，连接MG，GMHN，因此GH与MN共面；图中，G、M、N共面，但H平面GMN，因此GH与MN异面所以图、中GH与MN异面8.如下图，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，BADFAB90，BC綊AD，BE綊FA，G、H分别为FA、FD的中点(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？(3)设ABBE，证明：平面ADE平面CDE.解析 解法一：由题设知，FA、AB、AD两两互相垂直如图，以A为坐标原点，射线AB为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系Axyz.(1)设ABa，BCb，BEc，则由题设得A(0，0,0)，B(a,0,0)，C(a，b,0)，D(0,2b,0)，E(a,0，c)，G(0,0，c)，H(0，b，c)，F(0,0,2c)所以，(0，b,0)，(0，b,0)，于是.又点G不在直线BC上，所以四边形BCHG是平行四边形(2)C、D、F、E四点共面理由如下：由题设知，F(0,0,2c)，所以(a,0，c)，(a,0，c)，又CEF，HFD，故C、D、F、E四点共面(3)由ABBE，得ca，所以(a,0，a)，(a,0，a)又(0,2b,0)，因此0，0即CHAE，CHAD，又ADAEA，所以CH平面ADE.故由CH平面CDFE，得平面ADE平面CDE.点评如果所给问题中存在两两垂直的直线交于一点，容易将各点的坐标表示出来时，可用向量法求解如果其所讨论关系不涉及求角，求距离或所求角、距离比较容易找(作)出时，可不用向量法求解.本题解答如下：解法二：(1)由题设知，FGGA，FHHD，所以GH綊AD.又BC綊AD，故GH綊BC，所以四边形BCHG是平行四边形(2)C、D、F、E四点共面理由如下：由BE綊AF，G是FA的中点知，BE綊GF，所以EFBG，由(1)知BGCH，所以EFCH，故EC、FH共面又点D直线FH上，所以C、D、F、E四点共面(3)连结EG，由ABBE，BE綊AG，及BAG90知ABEG是正方形，故BGEA.由题设知，FA、AD、AB两两垂直，故AD平面FABE，因此EA是ED在平面FABE内的射影，BGED.又ECEAE，所以BG平面ADE.由(1)知，CHBG，所以CH平面ADE.由(2)知F平面CDE，故CH平面CDE，得平面ADE平面CDE.1.(2011北京市西城区模拟)正方体ABCDA1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有()A3条 B4条C6条 D8条答案C解析在正方体ABCDA1B1C1D1中，与对角线AC1有公共点A的和有公共点C1的各有3条，其余6条所在正方体的面与AC1均相交，且交点不在这些棱上，由异面直线判定定理知，这6条与AC1都异面，故选C.2(文)(2011四川文，6)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()Al1l2，l2l3l1l3Bl1l2，l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面答案B解析举反例，由教室内共点的三条墙角线可知A、D是错误的；由三棱柱的三条侧棱可知C是错误的故选B.(理)(2011浙江省嘉兴市高三教学测试)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是()AMN与CC1垂直BMN与AC垂直CMN与BD平行DMN与A1B1平行答案D解析由于C1D1与A1B1平行，MN与C1D1是异面直线，所以MN与A1B1是异面直线，故选项D错误点评取CC1中点P，则MPBC，NPC1D1，CC1BC，CC1C1D1，CC1MP，CC1NP，CC1平面MNP，CC1MN，A正确；取CD中点Q，BC中点R，则NQ綊D1D，MR綊CC1，CC1綊D1D，NQ綊MR，MNQR，QRBD，ACBD，ACMN，B正确；MNQR，QRBD，MNBD，C正确3已知a、b、c是相异直线，、是相异平面，下列命题中正确的是()Aa与b异面，b与c异面a与c异面Ba与b相交，b与c相交a与c相交C，Da，b，与相交a与b相交答案C解析如下图(1)，正方体ABCDA1B1C1D1中，a、b、c是三条棱所在直线满足a与b异面，b与c异面，但acA，故A错；同样在图(2)的正方体中，满足a与b相交，b与c相交，但a与c不相交，故B错；如图(3)，c，ac，则a与b不相交，故D错4(2010全国卷文，6)直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A30 B45C60 D90答案C解析将原来的直三棱柱补成一个正方体ABDCA1B1D1C1，AC1BD1，A1BD1即为异面直线BA1与AC1所成的角A1BD1为正三角形，A1BD160.点评异面直线所成的角是重点考查的一个内容，难点在于寻找异面直线的平行线，本题巧妙地构造一个正方体，借助于正方体的特点，很容易找出异面直线所成的角5.(2011南京模拟)如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，BC2，AC，AA13，M为线段BB1上的一动点，则当AMMC1最小时，AMC1的面积为_答案解析将三棱柱的侧面A1ABB1和B1BCC1以BB1为折痕展平到一个平面上，在平面内AC1与BB1相交，则交点即为M点，易求BM1，AM，MC12，又在棱柱中，AC1，cosAMC1，AMC1120，SAMC1AMMC1sinAMC12.6如下图，已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为D1C1、B1C1的中点，ACBDP，A1C1EFQ，若A1C交平面BDEF于点R，试确定点R的位置解析如下图，在正方体AC1中，QA1C1，Q平面A1C1CA.又QEF，Q平面BDEF，即Q是平面A1C1CA与平面BDEF的公共点同理，P也是平面A1C1CA与平面BDEF的公共点平面A1C1CA平面BDEFPQ，又A1C平面BDEFR，RA1C，R平面A1C1CA，又R平面BDEF，RPQ，R是A1C与PQ的交点7(文)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1.求：(1)AB与B1C所成的角；(2)AB与B1D的距离解析(1)ABCD，B1CD为AB和B1C所成的角，DC平面BB1C1C，DCB1C，于是B1CD90，AB与B1C所成的角为90.(2)ABCD，AB平面B1DC，DC平面B1DC，AB平面B1DC，从而AB与B1D的距离即为AB与平面B1DC的距离，连接BC1交BC于O点，易知BOB1C，BOCD，BO平面B1DC，BO的长为B到平面B1DC的距离，BO，AB与B1D的距离为.(理)(2010湖南文)如下图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，M是棱CC1的中点(1)求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；(2)证明：平面ABM平面A1B1M.解析方法1：(1)如图，因为C1D1B1A1，所以MA1B1为异面直线A1M与C1D1所成的角因为A1B1平面BCC1B1，所以A1B1M90，而A1B11，B1M，故tanMA1B1.即异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值为.(2)由A1B1平面BCC1B1，BM平面平面BCC1B1，得A1B1BM 由(1)知，B1M，又BM，B1B2，所以B1M2BM2B1B2，从而BMB1M 又A1B1B1MB1，BM平面A1B1M，而BM平面ABM，因此平面ABM平面A1B1M.方法2：以A为原点，的方向分别作为x、y、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，A1(0,0,2)，B1(1,0,2)，C1(1,1,2)，D1(0,1,2)，M(1,1,1)(1)(1,1，1)，(1,0,0)，cos，.设异面直线A1M与C1D1所成角为，则cos，tan.即异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值是.(2)(1,0,0)，(0,1,1)，(0,1，1)，0，0，即BMA1B1，BMB1M，又B1MA1B1B1，BM平面A1B1M，而BM平面ABM，因此ABM平面A1B1M. 1将正方体纸盒展开如图所示，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是()A平行 B垂直C相交成60角 D异面且成60角答案D2(09江西)如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为()AACBDBAC截面PQMNCACBDD异面直线PM与BD所成的角为45答案C解析MNPQ，MN平面ABC，MNAC.同理BDQM，MNQM，AC