数学导数应用的题型与方法人教

高考数学复习导数应用的问题类型与方法1 .复习目标：1 .对导数的概念有所了解，导数的定义可以用来确定导数。 掌握导数在函数某一点的定义和导数的几何意义，理解导数的概念。 理解曲线切线的概念。 在理解瞬时速度的基础上抽象化变化率的概念。2 .记住基本导数表达式(c，x，m是有理数)，sin x，cos x，e，a，lnx和logx的导数)。 把握两个函数四则运算的求导规律和复合函数的求导规律，利用求得几个简单函数的导数，求得导数单调区间，求得一个函数的最大(小)值的问题，把握导数的基本应用。3 .理解函数之和、差、积求导规律的推导，掌握两个函数商的求导规律。 正确利用函数之和、差、积求导规律及若干导数公式，可求出若干简单函数的导数。4 .理解复合函数的概念。 分解一个函数的复合过程或复合几个函数。 掌握复合函数的求导规律，用规律解决简单问题。2 .试验要求：理解导数概念的实际背景(例如，瞬时速度、加速度、平滑曲线切线的斜率等)，掌握导数在某个点处的定义和导数的几何意义，并且理解导数的概念。记住基本导数公式(c、x (m为有理数)、sin x、cos x、e、a、lnx、logx的导数)。 掌握两个函数四则运算的求导规律和复合函数的求导规律，可以求出几个简单函数的导数。理解了导数的单调性与导数的关系，当理解了导数在某个点取极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧标以异号)时，求若干实际问题(一般是单峰函数)的最大值和最小值。3 .教育过程：(I )基础知识详情微分系数是微积分的初步知识，是研究函数、解决实际问题的有力工具。 高中阶段导数的学习主要有以下几点：1 .导数的一般问题：(1)描绘函数(比初等方法更细致)(2)几何学中的切线相关(导数法可以用于研究平面曲线的切线)。(3)应用问题(初等方法的技术要求高，导数方法看起来简便)等，涉及次多项式的导数问题是很难的类型。2 .关于函数的特征，值问题最多，需要特别研究，导数法求值最容易比初等方法简单。3 .导数与解析几何或函数图像的混合问题是重要类型，也是高考考察综合能力的方向，值得注意。4 .曲线的切线中学里圆的切线，直线和圆有唯一的共同点时，直线和圆的切线，这时直线叫做圆的切线，唯一的共同点叫做切线。 圆是特殊的曲线，圆的切线的概念是曲线的切线，即直线和曲线有唯一的共同点时，直线被称为曲线穿过该点的切线，显然其普及是不妥当的。 图3-1的曲线c是我们熟知的正弦曲线y=sinx .直线和曲线c有唯一的共同点m，但是不能说直线和曲线c的直线与曲线c有多个共同点，但是直线是曲线c的点n处的切线，因此对于一般的曲线，需要重新求出曲线的切线的定义，因此在教科书中将曲线的切线5 .瞬时速度在高物理学中学习直线运动的速度时，有关瞬间速度的知识。 在物理教科书中，首先，将运动物体通过某个时刻(或某个位置)的速度称为瞬间速度，然后，从实际的速度测定中，对应汽车速度计的使用，说明瞬间速度。 在物理学课上，只是直观地说明了瞬间速度，在有了极限工具之后，在本节的教材中，用物体在某个时间内运动的平均速度的极限来定义瞬间速度。6 .导数的定义导数的定义和求导数的方法是本节的重点，在推导导数算法和几个导数公式的基础上关于导数的定义，请注意以下三点(1)x是有自变量x时增量(或变化量) .(2)导数的定义也包括可导数或可导数的概念，如果x0，则函数y=f(x )可以在一点被导数或可导数，如果x0，则可以在f(x )的点获得导数。(3)函数y=f(x )在点处为导电性，函数y=f(x )在点处连续(可知由连续函数定义)，相反不一定成立，例如函数y=|x|在点x=0连续，但不是导电性.根据导数的定义确定导数必须以确定导数的基本方式严格遵循以下三个步骤(1)求函数的增量(2)求出平均变化率(3)取界得导数。7 .导数的几何意义在函数y=f(x )点的微分系数是在曲线y=(x )的点的切线的斜率，由此，能够利用微分系数求出曲线的切线方程式.(1)求出函数y=f(x )的各点处的导数，即曲线y=f(x )的各点处的切线的斜率(2)在接点坐标和切线斜率已知的条件下求出切线方程式时具体地，如果在曲线y=f(x )的点的切线平行于y轴，则不存在导数，并且根据切线的定义，切线方程式可以表示为8 .和(或差)的导数关于函数的导数是怎样求出的呢？首先试着利用导数的定义来求出。容易发现两个函数之和的导数等于两个函数的导数之和。据此推测，在一般情况下结论是成立的。 事实上，教材证明这是两个函数之和(或差)的求导规律。9 .乘积的导数两个函数的乘积求导规律的证明是本节的难点，证明过程中变形的关键是由导数定义的结构形式。 (具体过程见教科书P120 )说明：(1)(2)在c是常数时，(Cu )=Cu。10 .商的导数这两个函数的商的求导法则在教科书中没有被证明，只要能够记住并运用即可。 这里的补充证明如下：设定v(x )在点x处具有导电性，因此在点x处连续，因此x0时为v(x x)v(x )。说明： (1) (2)在学习了函数的和、差、积、商的导数规律之后，可以利用导数规律和导数公式来导出通过将常函数、函数与正、馀弦函数相加、减、乘、除而得到的简单函数，而不需要返回到导数的定义来导出。1-1 .导数与函数的单调性之间的关系与增加函数的关系；可以推断为增加函数，反之亦然。 即使函数单调递增，8756； 是递增函数的充分不必要的条件。在customername中，与递增函数的关系。因为规定了如果将颜色的根作为边界点，边界点被拆除，所以这种情况下肯定是增加函数。 当时，是增加函数的充分必要条件。与增加函数的关系；为了增加函数，一定可以提出来，反之则不一定。 这是因为或者。 如果函数在一个区间中是恒定的，则是常数，并且函数不是单调的。 是递增函数所需的不充分条件。函数的单调性是函数的重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们必须掌握以上三个关系，用导数判断函数的单调性。 因此，新教材为了解决单调区间的端点问题，一律将区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。 但是，在实际应用中也遇到了端点的讨论问题，必须慎重对待。单调区间的求解过程，已知；(1)求分析的定义域(2)导数(3)求解不等式，将定义域内解集的部分作为增区间(4)求解不等式，将定义域内解集的部分作为减点区间我们在利用导数判断函数的单调性时，必须明确以下三个关系，正确判断函数的单调性。 下面以增加函数为例进行简单的分析，前提条件全部是可以在有函数的区间内导出的。函数单调区间的综合；函数单调区间的整合主要是因为函数单调地增加，单调地增加，并且知道函数在哪里连续，所以单调地增加。 同样，减法区间的合并，如果相邻区间的单调性相同，且函数在共同点中连续，则可以将两个区间合并为一个区间。(1)恒成立8756； 以上任意不等式总是成立(2)恒成立8756； 上任意不等式总是成立注意事项；1 .对导数概念的理解2 .利用导数判别导数极值的方法及求若干实际问题的最大值和最小值复合函数的求导规律是微积分的重点和难点内容。 教科书首先通过实例，引出了复合函数的求导规律，然后证明了规律。关于复合函数，以前我们只见过，没有特别定义并介绍过它。 教科书对复合函数进行了描述性直观的定义，对复合函数的概念有了初步的认识，结合后续的例题和练习问题可以逐渐理解复合函数的概念。3 .寻求正确指导，必须实现以下两点：(1)熟悉各基本初等函数的求导式和和、差、积、商的求导则、复合函数的求导则。(2)对于一个复合函数，必须理解中间的复合关系，明确各分解函数中对应哪个变量。4 .确定复合函数的导数通常采用以下三个步骤(1)适当选定中间变量，正确分解复合关系(2)阶段性地求出诱导(明确各阶段的诱导对哪个变量诱导哪个变量)(3)将中间变量代入原来的自变量(通常为x )的函数。即，首先选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系y=f()、=f(x )，然后，将已知的函数导出到中间变量，最后求出中间变量导出到参数，将中间变量代入参数中的函数。 整个过程可以简单地描述为分析求的后代。 熟练后，可以省略中间过程。 在多重复合的情况下，中间变量可以被相应地使用多次。()2004年高考导数应用综合试题选1.(2004年大学入学考试卷理科(20 ) )将曲线0 )的点M(t、e-t )处的切线和由x轴y轴包围的三角形的面积设为S(t ) .(I )求切线的方程式；(ii )求出s (t )的最大值解： (I )切线的斜率为切线方程(ii )设y=0为x=t 1时此外，设x=0所以S(t)=因此(0，1 )时为0当(1，)时，由于是0，所以S(t )的最大值为S(1)=2.(2004年考湖北省卷文系(22 ) )我的画像接近(I )求出b和c的关系式(用c表示b )(ii )假设函数内有极值点，求出c的值范围解： (I )根据题意，命令()xx0(0不是函数的极值点它的变化如下：xx1(00由此，的极小值点如上所述，当然本题综合运用导数、切线、极值等知识和数学知识，考察解决问题的能力3.(2004年的大学入学考试福建卷文科(22 ) )已知在f(x)=区间-1，1 内是增加函数(I )求出由实数a的值构成的集合a(ii )将与x相关的方程式f(x)=的两个非零实根设为x1、x2.实验：是否存在实数m，不等式m2TM 1| x1- x2|对于任意的aA和t1，1 是否一定成立？ 如果存在的话，求m的可能范围如果不存在的话，请说明理由解： (i)f(x)=4f(x )在-1，1 中为增加函数f(x)0对x1，1 始终成立即，x2-ax-20对x1，1 始终成立.(x)=x2-ax-2时方法1 :(1)=1-a-20 -1a1(-1)=1 a-20。对于x1，1 ，在a=1情况下，在f(-1)=0及a=-1的情况下，仅f(1)=0a= a|- 1a1 。方法2 :0，0或者(-1)=1 a-20 (1)=1-a-200a1或-1a0-1a1对于x1，1 ，在a=1情况下，在f(-1)=0及a=-1的情况下，仅f(1)=0a= a|- 1a1 。(ii )由2=a280x 1、x2是方程式x2-ax-2=0的两非零实根x1 x2=a x1x2=-2因此|x1-x2|=1a1，222222222222卡卡卡卡卡卡卡卡卡要始终使不等式m2 tm 1|x1-x2|对任意aA和t1，1 成立且仅在m2 tm 13对任意t1，1 始终成立的情况下即，m2 tm-20对于任意t1，1 始终成立.设g(t)=m2 tm-2=mt (m2-2)时方法1 :g(-1)=m2-m-20二g(1)=m2 m-20m2或m-2因此，如果不存在实数m，则使不等式m2 tm 1|x1-x2|始终对于任意aA及t1，1 成立，其值的范围为m|m2或m-2 .方法2 :m=0时，显然不成立m0时m0、m0或g(-1)=m2-m-20 g(1)=m2 m-20m2或m-2因此，如果不存在实数m，则使不等式m2 tm 1|x1-x2|始终对于任意aA及t1，1 成立，其值的范围为m|m2或m-2 .说明：本题主要考察函数的单调性、导数的应用和不等式等相