数学思想方法与高考答题

数学思想方法与高考试题(1)为什么分类检讨思想是重要的高考思想？很多高考问题，问题中的目标很多，最初看起来很混乱。 不用别的种类讨论的话，那就是“切不断，理也乱”，很难找到正确答案【例1】(06年全国第一卷. 12题)设置集合I= 1，2，3，4，5 ，选择I的两个非空集合a和b，使b中最小的数大于a中最大的数，共有不同的选择方法()种A.50 B.49 C.48 D.47因为 b中最小数比a中最大的数大，所以以集合b为基准进行分类讨论. b可以是单要素集，也可以是2，3，4元的集合.但是，与全集I不同.否则，a与空集题意不一致.(1)B是单元素集合。如果B=5，则a是1、2、3、4空集合，有25-1=15种，同样地，在B=4、3、4的情况下，a依次是23-1=7、22-1=3、21-1=1种.(2)B是二元素集，在b= 5，4 、 5，3 、 5，2 、 4，3 、 4，2 或 3，2 这6种情况下，对应的集合a依次为7，3，1，3，1，1种，共计16种.b是三元素集. b= 5，4，3 、 5，4，2 、 5，3，2 、 4，3，2 .相应集合a依次为3，1，1，1种，共计6种.4B是四元素集，唯一情况下，对应集合a只有一个.有很多不同的选择26 16 6 1=49种，因此选择了b【注解】分类讨论思想类似于军事上的“分割包围、个别破坏”。 一口吞下去很难。 吃几口，分着吃怎么样？虽然很多问题可以利用分类在思想上解决，但在整体范围内没有足够的条件来解决问题，但是在我们适当分类后，在各自的局部范围内相应地追加了解决条件，所以现在无法解决的问题很微妙。(2)选择科学的分类标准是简化计算的关键【例2】(06 .陕西卷. 16问) 13 .某学校从8名教师中选出4人去边疆地区的支教(每个地方1人)。 其中，甲与乙不同，甲与丙只有相同或不同，有不同的选择方法种植种子【分析】相关的8人中，只有甲、乙、丙被限制，因此优先考虑这3人。 在这三人中，以乙方为标准分类最简洁合理【解析】乙方去的话，甲方和丙方都不去其馀五人中，尚有三人要选选择性的方法乙方不去，甲方和丙方都不去，其馀5人中，还有2人要选选择性的方法如果甲、乙、丙不去，显然有选拔方法240120=600种不同的选矿方法【例3】4名学生参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定，所有学生必须从甲、乙两个问题中选择一个回答，选择甲的问题正确答案得到100分，错误得到-100分的乙问正确答案为90分，不正确答案为-90分如果四个同学的总得分为零，这四个同学的得分类型是()A.48 B.36 C.24 D.18问题中最合适的分类标准是“四个同学总得分为零”，因此有以下三种不同情况【解析】4个同学全部选择甲的情况下，其总分必须为零的2人正确答案，另外2人有可能错了四个同学选b题的话，总分即使是零也要有两个人正确答案，也有可能另外两个人错了四个同学中有两个甲问题，另外两个乙问题时，其总分必须为零，各有一个正确答案，另有一个可能错了所以，这四个同学的不同得分种类是： 6 6 24=36 .所以选b【例4】6人中选4人游览巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科4个城市，要求每个城市都有一人游览，这6人中甲、乙不能去巴黎时，不同的选择方法全部有()种A.300 B.240 C.144 D.96总的来说，这是6选4的排列问题，但如果分类基准的选择不适当，解法相当复杂。 什么是好的分类标准？除甲、乙外，其馀人中先选一人去巴黎，其馀五人中再选三人，分配给其馀三个城市的方法，共计有=240种选择方法，因此选择了b。【例4】甲、乙两辆巴士往返于距离24公里的a、b之间，现在两辆巴士各自从两个地方同时出发，甲一小时跑36公里，乙一小时跑24公里，到达异地后马上回来，如果不改变时间，他们相遇的次数是()A.4 B.5 C.6 D.7本问题的数据不大，但思路复杂。 冷静地想一想，两辆车相遇的是两种情况，最初的相遇总共是一次，之后的相遇总共必须是两次，所以以此为基准进行分类。【解析】第一次遇见是两辆车相对而行，一共走了24公里，所以是必要的24(36 24)=0.4小时此后，每次相遇，两辆车首先背24公里，然后背24公里，即每48公里再次相遇，需要0.8小时的他们又要3.2小时相遇4次。 所以在四个小时之内，他们相遇了1 4=5次，选择了b【例5】穿过三角柱的任意两个顶点的直线合计为15条，其中异面直线为()对A.18 B.24 C.30 D.36图像的15条直线中，上、下的底面为6条，横棱为3条，面对角线剩下的6条，根据这3种直线及其相互关系进行分类。【解析】上、下底面中，与任一侧棱不同的面的直线各有2条，共计有6对与上底的任一边相反侧的下底边各有2条，共计6对任何一个面和对角线不同的面的上、下底边和侧棱各有3条，共计18对六个面的对角线互不相同的面有(36)2=9对以上合计为36对，因此选择了d【例6】从4个男子3个女子中选出3个，分别从事3个不同的工作，如果这3个中至少有1个女子的话，选择方案一共有()种类A.108 B.186 C.216 D.270【分析】“至少有一个女孩”的反对是“没有女孩”。 前者有三种情况，后者只有一种情况，为了解决这种问题，应该实施“正难则反”的战略【解析】有不受限制的选择方案共有，其中没有女子的选择方案。 因此，“至少有一个女生”的选举方案是共有的210-24=186 (种类)。 我选b总结：分类原则如下：1 .既无交叉现象，也有互补关系。 这种分类可以保证计算无重复，无遗漏2 .尽量简化计算(3)正确实施分类讨论，必须预防问题设置陷阱【例7】(06 .全国2卷. 12问文科) 5名志愿者分别到3所学校教学，要求每所学校至少有1名志愿者，不同的分配方法全部有()种A.150 B.180 C.200 D.280本问题与以上各例不同，由于与平均分配这一特殊形式有关，因此容易犯错误该5人分配方法可以是1、1、3，也可以是1、2、2 .有一、一、三的分配方法有一、二、二的分配方法有不同的分配方法60 90=150种.选择a在本问题解法中，很多人不能理解被第2步算法除的原因.为了说明这个原因，请比较以下的2例和其解法进行说明.1.6本不同的书分为甲、乙、丙三人。 有几种不同的分配方法？很明显，有不同的分配方法2.6本同一本书分为甲、乙、丙三人。 有几种不同的分配方法？众所周知，这个问题与上述问题不同，相应的分配方法应该很少。 这是因为，6本书互不相同的话，是同样的2本，但是不同的书在同一个人的手中，应该计算不同的分法，但是现在所有的书都是同样的，无论多少次交换也不能说分法不同。 根据以前的问题的算法，实际上考虑了甲、乙、丙中不同的分配顺序，这个顺序有种类。 现在这六本书是一样的，分配方法必须是以前的问题的分配方法。 因此，正题的解法如下种植种子【例8】通过从集合 1，2，3，11中选择两个元素作为椭圆方程的m和n，可进入矩形区域B=(x，y)x11且y9内的椭圆个数为()A.43 B.72 C.80 D.90【分析】对于这个问题，很多同学在求解过程中容易犯下列错误【解析】m是1、2、10的数字之一，有选择方法n是1、2、8这8个数字之一，有选择方法因此，能够落下到矩形区域B=(x，y)x11且y9内的椭圆个数为108=80，选择c这个解法哪里错了？在上述方法计算出的图元中，有些部分不是椭圆，而是m=n时的圆而不是椭圆。 正确的算法如下：选择b椭圆中埋伏着圆圈，是这个问题设置的陷阱图9已知所有的直线不都是0 )和圆具有公共点，并且如果公共点的两个坐标都是整数，则这样的直线共享主体A.66 B.72 C.74 D.78【分析】解决本问题也容易犯下列错误横、纵都将整数点称为整点，首先考察圆上有多少个整点.显然，在第一象限内的所有地点(1、7 )、(5、5 )、(7、1 ) 3个.根据对称性，全圆有34=12个整点.这条直线和圆有共同点的话，有切线和交叉两种形状过了这12点，所有的点都能做圆的切线。 有12条这样的切线过了这12点，每2点就能切圆。 这样的剪辑有条件因此求出直线合计为12 66=78条，选择d .这个答案也错了，错的地方在哪里呢？在直线上，不全是零，所以这条直线只是原点。 该圆上的12点中，关于原点对称的有6对，通过各对的直线通过原点。 因此，上述78条直线中，这6条不符合主题。 满足主题要求的直线只有72条正确的答案是b不符合六条要求的直线隐藏在那78条直线中，这又是主题设置的陷阱总结：解决问题后，要反复检查求得的答案是否有重复和缺陷。 特别要注意命题人精心设计的各种陷阱(4)难题解法实例图10】(06 .北京卷. 8问)以下是某三叉路交通环岛的简化模型，在某高峰时段每单位时间进出交叉点a、b、c的汽车，如该图所示，该图的x1、x2、x3分别表示在该时段每单位时间通过道路的汽车数(在单位时间内【分析】说本问题难，哪里难？一是考生和社会经验不足，或者平时不在意观察，所以读不出问题。 在至今为止的大学入学考试中，有因为看不懂问题而失分的人。 后者必须充分吸取这一教训。“单位时间内，在上述路段中，与进入同一路段的车辆数量相等”是什么意思？这意味着例如每分钟进入相同路段车辆的数量相等，退出车辆的数量也相等.解本题还需要分类讨论思想【解析】由图可知，x1台汽车在到达交叉路口b时分流，一部分为20台进入路径b，另一部分绕圈向c开放，在该部分没有记载数据的可以是a，其他2处可以是b和c，因此条件如下为了实现这个，有即使不想直接求出a、b、c的值也不可能的技术。 原题只是比较3个个数的大小，有以下的处理方法由(1)得出：故选c【例11】(理)假设某射手进行射击训练，每次射击中目标的概率为，各射击的结果互不影响。 (1)弓箭手在3次射击中至少连续2次求得射中目标的概率(用数字回答)。 (2)射手第3次击中靶时，正好射击4次的概率(用数字回答) (3)随机变量表示射手第3次击中靶时射击的次数，求出的分布列。【解析】(1)“在3次射击中至少连续2次命中”这两种可能性。 也就是说，上次两次都没有命中第三次后两次都没有命中第一次的第一次、第三次、第二次的未命中不能说是连续命中，不能在计算列中，另外，三次都命中“至少有两次连续命中”。 不要错过(2)“第三次射击目标正好打了四次”。 1 )第四次射击目标2 )前三次中有两次击中目标与(1)不同的是，这里没有“连续”字符，不能排除第二次未打中的情况(3)理论上，在第三次射击前也有无限次射击的可能性，其中只有两次射击。 当n=k时的分布如下：34Kp盒子里有多个球，每个球都记录有1到1个号码，号码为n的球的重量为-5n 15 (克)。 壳体的容量最多可以放入35个球，满足条件的球无一例外地放入壳体，这些球以等概率(不受重量、编号的影响)从壳体中取出。(1)任意取出球时，试着求出其重量大于号码数的概率(2)同时任意取出2球，求出它们的重量相同的概率。【分析】很明显，因为不明白问题的意思是不能解决问题的，一下子弄清问题的意思也很困难，所以如下所示1 .什么样的球可以放进箱子里？第n个球的重量用an表示，根据问题an=-5n 15 符合式的球全部存在吗？很明显，必须是an0，即n2-15n 450由于nN，可知不存在n4或n11，即编号为5、6、7、8、9、10球.3 .箱子里到底有多少个球？箱子容量的最大值为35，因为“符合问题的球在箱子里”，箱