普通高等学校招生全国统一考试数学知识汇编系列之排列组合与概率

2006年普通高等学校招生全国统一考试数学知识汇编系列之排列 组合与概率2006年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）理 科 数 学1、在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。用表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和。（）写出的分布列；（以列表的形式给出结论，不必写计算过程）（）求的数学期望。（要求写出计算过程或说明道理）文 科 数 学2、在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。（）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4的概率；（）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3的概率；2006年普通高等学校招生全国统一考试文科数学3、某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是0.5，0.6，0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.求：()该应聘者用方案一考试通过的概率；()该应聘者用方案二考试通过的概率.2006年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）理科数学4、在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同。从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于（A）（B）（C）（D）2006年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）文科数学5、从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有（A）108种（B）186种（C）216种（D）270种6、每次抛掷一枚骰子（六个面上分别标以数字（I）连续抛掷2次，求向上的数不同的概率；（II）连续抛掷2次，求向上的数之和为6的概率；（III）连续抛掷5次，求向上的数为奇数恰好出现3次的概率。 2006年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数 学7、某运动员射击一次所得环数的分布如下：789100现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为. (I)求该运动员两次都命中7环的概率(II)求的分布列(III) 求的数学期望.8、某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加了其中一组。在参加活动的职工中，青年人占42.5，中年人占47.5，老年人占10。登山组的职工占参加活动总人数的，且该组中，青年人占50，中年人占40，老年人占10。为了了解各组不同的年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本。试确定（）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；（）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数。2006年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）8、甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件，那么A. 甲是乙的充分但不必要条件 B. 甲是乙的必要但不充分条件C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件2006年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类）9、某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数是 。（用数字作答）10、在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布。已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名。（）、试问此次参赛学生总数约为多少人？（）、若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？可共查阅的（部分）标准正态分布表01234567891.21.31.41.92.02.10.88490.90320.91920.97130.97720.98210.88690.90490.92070.97190.97780.98260.8880.90660.92220.97260.97830.98300.89070.90820.92360.97320.97880.98340.89250.90990.92510.97380.97930.98380.89440.91150.92650.97440.97980.98420.89620.91310.92780.97500.98030.98460.89800.91470.92920.97560.98080.98500.89970.91620.93060.97620.98120.98540.90150.91770.93190.97670.98170.98572006年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）11、某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检).若安检不合格,则必须进行整改.若整改后经复查仍不合格,则强行关闭.设每家煤矿安检是否合格是相互独立的,且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5, 整改后安检合格的概率是0.8,计算(结果精确到0.01):()恰好有两家煤矿必须整改的概率; ()平均有多少家煤矿必须整改;()至少关闭一家煤矿的概率.2006年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）文科数学12、在数字1,2，3与符号，五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是A6 B. 12 C. 18 D. 242006年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学13、某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球获得二得奖；摸出两个红球获得一等奖现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次求（1）甲、乙两人都没有中奖的概率；（2）甲、两人中至少有一人获二等奖的概率2006年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科数学14、现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为、;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中价格下降的概率都是,设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整,记乙项目产品价格在一年内的下降次数为,对乙项目每投资十万元, 取0、1、2时, 一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量、分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润.(I) 求、的概率分布和数学期望、;(II) 当时,求的取值范围.15、5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有_种.(以数作答)2006年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学 文 科16、甲、乙两班各派2名同学参加年级数学竞赛，参赛同学成绩及格的概率都为0.6，且参赛同学的成绩相互之间没有影响，求：（1）甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩及格的概率；（2）甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率2006年普通高等学校招生全国统一考试（全国III）理科数学17、设集合。选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有A B C D18、A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为。（）求一个试验组为甲类组的概率；（）观察3个试验组，用表示这3个试验组中甲类组的个数，求的分布列和数学期望。2006年普通高等学校招生全国统一考试III文 科 数 学19、安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有_种。（用数字作答）2006年普通高等学校招生全国统一考试II理 科 数 学20、某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验。设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品。（I）用表示抽检的6件产品中二等品的件数，求的分布列及的数学期望；（II）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率。2006年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学（必修+选修II）21、袋中装着标有数学1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字，求：（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量的概率分布和数学期望；(3)计分介于20分到40分之间的概率.2006年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学（必修+选修）22、学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是.23、盒中装着标有数字1，2，3，4的卡片各2张，从盒中任意任取3张，每张卡片被抽出的可能性都相等，求：()抽出的3张卡片上最大的数字是4的概率；()抽出的3张中有2张卡片上的数字是3的概念；()抽出的3张卡片上的数字互不相同的概率.2006年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科试题（必修选修II）24、甲、乙、丙3人投篮,投进的概率分别是, , .()现3人各投篮1次,求3人都没有投进的概率;()用表示乙投篮3次的进球数,求随机变量的概率分布及数学期望E.2006年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）文科数学文科试题（必修选修）25、甲、乙、丙3人投篮,投进的概率分别是, , .现3人各投篮1次,求:()3人都投进的概率;()3人中恰有2人投进的概率.2006年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科数学26、从到这个数字中任取个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被整除的概率为（A） （B） （C） （D）27、设离散型随机变量可能取的值为1，2，3，4。（1，2，3，4）。又的数学期望，则28、某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为；在实验考核中合格的概率分别为，所有考核是否合格相互之间没有影响（）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；（）求这三人该课程考核都合格的概率。（结果保留三位小数）2006年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）文科数学29、从到这个数字中任取个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被整除的概率为（A） （B） （C） （D）30、某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为；在实验考核中合格的概率分别为，所有考核是否合格相互之间没有影响（）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；（）求这三人该课程考核都合格的概率。（结果保留三位小数）（同上）2006年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）31、将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（）A10种B20种C36种 D52种32、某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且各次射击的结果互不影响。（1）求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）；（2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）；（3）设随机变量表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求的分布列2006年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）33、甲、乙两台机床相互没有影响地生产某种产品，甲机床产品的正品率是0.9，乙机床产品的正品率是0.95（）从甲机床生产的产品中任取3件，求其中恰有2件正品的概率（用数字作答）；（）从甲、乙两台机床生产的产品中各任取1件，求其中至少有1件正品的概率（用数字作答）2006年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 理科数学34、）甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n个白球.两甲，乙两袋中各任取2个球.()若n=3，求取到的4个球全是红球的概率；()若取到的4个球中至少有2个红球的概率为，求n.2006年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学试题（文科）35、甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有 2个红球，n个白球，现从甲、乙两袋中任取 2个球。 （）若，求取到的4个球全是红球的概率； （）若取到的4个球中至少有 2个红球的概率为 ，求 n。2006年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数 学试卷（理工农医类）36、某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠.若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用表示这5位乘客在第20层下电梯的人数.求：（）随机变量的分布列；（）随机变量的期望.2006年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试卷（文史类）37、甲、乙、丙三人在同一办公室工作。办公室只有一部电话机，设经过该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率依次为、。若在一段时间内打进三个电话，且各个电话相互独立。求：（）这三个电话是打给同一个人的概率；（）这三个电话中恰有两个是打给甲的概率；参考答案1、解：（）123456789P（）2、解：设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4”的事件为A，“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3”的事件为B（）芳香度之和等于4的取法有2种：、，故。（）芳香度之和等于1的取法有1种：；芳香度之和等于2的取法有1种：，故。3、解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A，B,C，则P(A)=0.5，P(B)0.6，P(C)=0.9.() 应聘者用方案一考试通过的概率 p1=P(AB)+P(BC)+P(AC)+P(ABC) =0.50.60.1+0.50.60.9+0.50.40.9+0.50.60.9=0.03+0.27+0.18+0.27=0.75.() 应聘者用方案二考试通过的概率 p2=P(AB)+P(BC)+ P(AC) =(0.50.6+0.60.9+0.50.9)=+1.29=0.43.4、A 5、B6、本小题主要考查概率的基本知识，运用数学知识解决实际问题的能力。满分12分。解：（I）设A表示事件“抛掷2次，向上的数不同”，则答：抛掷2次，向上的数不同的概率为（II）设B表示事件“抛掷2次，向上的数之和为6”。向上的数之和为6的结果有、5种，答：抛掷2次，向上的数之和为6的概率为（III）设C表示事件“抛掷5次，向上的数为奇数恰好出现3次”，即在5次独立重复试验中，事件“向上的数为奇数”恰好出现3次，答：抛掷5次，向上的数为奇数恰好出现3次的概率为7、某运动员射击一次所得环数X的分布列如下：X0-678910Y00.20.30.30.2现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为.()求该运动员两次都命中7环的概率；()求分布列；() 求的数学希望.16解：()求该运动员两次都命中7环的概率为；() 的可能取值为7、8、9、10 分布列为78910P0.040.210.390.36() 的数学希望为8、.B11、解（）每家煤矿必须整改的概率是10.5，且每家煤矿是否整改是相互独立的. 所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是.（）解法一某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，所以该煤矿被关闭的概率是，从而煤矿不被关闭的概率是0.90.解法二某煤矿不被关闭包括两种情况：（i）该煤矿第一次安检合格；（ii）该煤矿第一次安检不合格，但整改后合格.所以该煤矿不被关闭的概率是.()由题设（）可知，每家煤矿不被关闭的概率是0.9，且每家煤矿是否被关闭是相互独立的，所以到少关闭一家煤矿的概率是.12、B17、D18、本小题主要考查相互独立事件和互斥事件有一个发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分。（I）解：因为甲坑内的3粒种子都不发芽的概率为(1-0.5)3=,所以甲坑不需要补种的概率为 1-=0.875.（II）解：3个坑恰有一个坑不需要补种的概率为()2=0.041.（III）解法一：因为3个坑都不需要补种的概率为()3,所以有坑需要补种的概率为 1-()3=0.330.解法二：3个坑中恰有1个坑需要补种的概率为()2=0.287,恰有2个坑需要补种的概率为()2=0.041.3个坑都需要补种的概率为 ()3()0=0.002.所以有坑需要补种的概率为0.287+0.041+0.002=0.330.19、100 24、解: ()记甲投篮1次投进为事件A1 , 乙投篮1次投进为事件A2 , 丙投篮1次投进为事件A3, 3人都没有投进为事件A . 则 P(A1)= , P(A2)= , P(A3)= , P(A) = P()=P()P()P() = 1P(A1) 1P (A2) 1P (A3)=(1)(1)(1)=3人都没有投进的概率为 .()解法一: 随机变量的可能值有0,1,2,3), B(3, ), P(=k)=C3k()k()3k (k=0,1,2,3) , E=np = 3 = .解法二: 的概率分布为: 0123PE=0+1+2+3= .25、.解: ()记甲投进为事件A1 , 乙投进为事件A2 , 丙投进为事件A3,则 P(A1)= , P(A2)= , P(A3)= , P(A1A2A3)=P(A1) P(A2) P(