普通高等学校招生全国统一考试辽宁卷数学

2003年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学第卷（选择题 共60分）参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P（A+B）=P（A）+P（B） S=4R2如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径P（AB）=P（A）P（B）球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P.其中R表示球的半径那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率一、选择题：每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1与曲线关于原点对称的曲线为（ ）ABCD2已知（ ）ABCD3（ ）ABCD4已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则（ ）ABCD5设函数若，则x0的取值范围是（ ）A（1，1）B（1，+）C（，2）（0，+）D（，1）（1，+）6等差数列中，已知，则n为（ ）A48B49C50D517函数的反函数为（ ）ABCD8棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）ABCD9设，曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为，则P到曲线对称轴距离的取值范围为（ ）ABCD10已知双曲线中心在原点且一个焦点为M、N两点，MN中点的横坐标为则此双曲线的方程是（ ）ABCD11已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）.一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2，P3和P4（入射角等于反射角）. 设P4的坐标为（x4，0），若则的取值范围是（ ）A（，1）BCD12一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）A3B4CD6第卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案填在题中横线上.13展开式中的系数是 .14某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取 ， ， 辆15某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分 （如图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 （以数字作答）16对于四面体ABCD，给出下列四个命题 若AB=AC，BD=CD，则BCAD若AB=CD，AC=BD，则BCAD若ABAC，BDCD，则BCAD若ABCD，BDAC，则BCAD其中真命题的序号是 .（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（本小题满分12分）已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1，AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点F为BD1中点. （1）证明EF为BD1与CC1的公垂线； （2）求点D1到面BDE的距离.18（本小题满分12分）已知函数是R上的偶函数，其图像关于点对称，且在区间上是单调函数，求和的值.19（本小题满分12分）设，求函数的单调区间.20（本小题满分12分）A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1，A2，A3，B队队员是B1，B2，B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：对阵队员A队队员胜的概率A队队员负的概率A1对B1A2对B2A3对B3现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A队、B队最后所得总分分别为、 （1）求、的概率分布； （2）求E，E.21（本小题满分14分） 设为常数，且 （1）证明对任意； （2）假设对任意有，求的取值范围.22（本小题满分14分） 已知常数a0，向量c=（0，a），i=（1，0），经过原点O以c+i为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以i2c为方向向量的直线相交于点P，其中R.试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.2003年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学试题参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题5分，满分60分1.A 2.D 3.B 4.A 5.D 6.C 7.B 8.C 9.B 10.D 11.C 12.A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分13 146，30，10 15120 16三、解答题17本小题主要考查线面关系和四棱柱等基础知识,考查空间想象能力和推理能力.满分12分.（I）证法一：取BD中点M，连结MC，FM， F为BD1中点， FMD1D且FM=D1D又EC=CC1，且ECMC，四边形EFMC是矩形 EFCC1 3分又CM面DBD1 EF面DBD1BD1面DBD1，EFBD1 故EF为BD1与CC1的公垂线.证法二：建立如图的坐标系，得B（0，1，0），D1（1，0，2），FC1（0，0，2），E（0，0，1）.2分 4分 即EFCC1，EFBD1故EF是CC1与BD1的公垂线.6分（II）解：连结ED1，有由（I）知EF面DBD1，设点D1到面BDE的距离为d，则SDBCd=SDBDEF.9分AA1=2AB=1. 故点D1到平面BDE的距离为.18 本小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力.满分12分.解：由是偶函数，得，即，所以对任意x都成立，且，所以得，依题设，所以解得.4分由的图象关于点M对称，得，取得所以， 8分.当k=0时，上是减函数；当k=1时，上是减函数；当时，上不是单调函数.所以，综合得. 12分19本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力. 满分12分.解：. 2分当时 .（i）当时，对所有，有.即，此时在内单调递增. 5分（ii）当时，对，有，即，此时在（0，+）内单调递增，在内单调递增又知函数在x=1处连续，因此，函数在（0，+）内单调递增7分（iii）当时，令，即.解得.因此，函数在区间内单调递增，在区间内也单调递增. 10分令，解得.因此，函数在区间内单调递减. 12分20本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.解：（1）、的可能取值分别为3，2，1，0.， 4分根据题意知+=3，所以 P(=0)=P(=3)=, P(=1)=P(=2)= P(=2)=P(=1)= , P(=3)=P(=0)= . 8分 （2）； 因为+=3，所以 12分21本小题主要考查数列、等比数列的概念，考查数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分. （1）证法一：（i）当n=1时，由已知a1=12a0，等式成立； （ii）假设当n=k（k1）等式成立，则 那么 也就是说，当n=k+1时，等式也成立. 根据（i）和（ii），可知等式对任何nN+，成立. 6分 证法二：如果设 用代入，可解出. 所以是公比为2，首项为的等比数列. 即 6分 （2）解法一：由通项公式 等价于 8分 （i）当n=2k1，k=1，2，时，式即为 即为 式对k=1，2，都成立，有 10分 （ii）当n=2k，k=1，2，时，式即为 即为 式对k=1，2，都成立，有 12分综上，式对任意nN*，成立，有故a0的取值范围为 14分解法二：如果（nN*）成立，特别取n=1，2有 因此 9分下面证明当时，对任意nN*， 由an的通项公式 （i）当n=2k1，k=1，2时， 12分 （ii）当n=2k，k=1，2时， 故a0的取值范围为 14分22本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力，满分12分.解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值.i=（1，0），c=（0，a）， c+i=（，a），i2