数学简易逻辑

高考数学复习 简易逻辑知识归纳总结：1.逻辑联结词（1）命题：可以判断真假的语句叫做命题.（2）逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词叫做逻辑联结词.（3）简单命题与复合命题：不含逻辑联结词的命题叫简单命题；由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题.（4）真值表：表示命题真假的表叫真值表.2.四种命题（1）四种命题原命题：如果p，那么q（或若p则q）；逆命题：若q则p；否命题：若p则q；逆否命题：若q则p.（2）四种命题之间的相互关系这里，原命题与逆否命题，逆命题与否命题是等价命题.3、充分条件与必要条件（1）.充分条件：如果pq，则p叫q的充分条件，原命题（或逆否命题）成立，命题中的条件是充分的，也可称q是p的必要条件.（2）.必要条件：如果qp，则p叫q的必要条件，逆命题（或否命题）成立，命题中的条件为必要的，也可称q是p的充分条件.（3）.充要条件：如果既有pq，又有qp，记作pq，则p叫做q的充分必要条件，简称充要条件，原命题和逆命题（或逆否命题和否命题）都成立，命题中的条件是充要的.4.反证法：当直接证明有困难时，常用反证法. “若，则”感到困难时，改证它的等价命题“若则”成立， 步骤：1、假设结论反面成立；2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；3、由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。矛盾的来源：1、与原命题的条件矛盾；2、导出与假设相矛盾的命题；3、导出一个恒假命题。例题精析一、选择题1.由“p:8+7=16，q:3”构成的复合命题，下列判断正确的是A.p或q为真，p且q为假，非p为真B.p或q为假，p且q为假，非p为真C.p或q为真，p且q为假，非p为假D.p或q为假，p且q为真，非p为真解析：因为p假，q真，由复合命题的真值表可以判断，p或q为真，p且q为假，非p为真.2给出命题“已知a、b、c、d是实数，若a=b，c=d，则a+c=b+d”，对其原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，真命题有A.0个B.2个C.3个D.4个解析：原命题和逆否命题为真.答案：B3.ac2bc2是ab成立的A.充分而不必要条件B.充要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件解析：abac2bc2，如c=0.答案：A4.已知a、b、c为非零的平面向量.甲：ab=ac，乙：b=c，则A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件解析：命题甲:ab=aca（bc）=0a=0或b=c.命题乙:b=c，因而乙甲，但甲乙.故甲是乙的必要条件但不是充分条件.答案：B5.在ABC中，“A30”是“sinA”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：在ABC中，A300sinA1sinA，sinA30A150A30.“A30”是“sinA”的必要不充分条件.答案：B6. 有A、B、C三个盒子，其中一个内放有一个苹果，在三个盒子上各有一张纸条.A盒子上的纸条写的是“苹果在此盒内”，B盒子上的纸条写的是“苹果不在此盒内”，C盒子上的纸条写的是“苹果不在A盒内”.如果三张纸条中只有一张写的是真的，请问苹果究竟在哪个盒子里？ （ ）解析：若苹果在A盒内，则A、B两个盒子上的纸条写的为真，不合题意.若苹果在B盒内，则A、B两个盒子上的纸条写的为假，C盒子上的纸条写的为真，符合题意，即苹果在B盒内.同样，若苹果在C盒内，则B、C两盒子上的纸条写的为真，不合题意.综上，苹果在B盒内.答案：B7.若a、b、c是常数，则“a0且b24ac0”是“对任意xR，ax2+bx+c0”A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：若a0且b24ac0，则对任意xR，有ax2+bx+c0，反之，则不一定成立.如a=0，b=0且c0时，也有对任意xR，有ax2+bx+c0.因此应选A.答案：A8. 使不等式2x25x30成立的一个充分而不必要条件是A.x0 B.x0C.x1，3，5D.x或x3解析：2x25x30成立的充要条件是x或x3，对于A当x=时2x25x30.同理其他也可用特殊值验证.答案：C9.已知命题p:函数y=loga（ax+2a）（a0且a1）的图象必过定点（1，1）；命题q:如果函数y=f（x3）的图象关于原点对称，那么函数y=f（x）的图象关于点（3，0）对称.则A.“p且q”为真B.“p或q”为假C. p真q假D. p假q真解析：解决本题的关键是判定p、q的真假.由于p真，q假（可举反例y=x+3），因此正确答案为C.答案：C10.集合Ax|0，Bx | x |a，若“”是“AB”的充分条件， 则的取值范围可以是（ ）（A）20（B）02（C）31（D）12解析：当时，可得集合，又集合，若AB，则或或，化简得：，故可排除A、B、C，选D评注：本题也可以直接取加以检验后排除二、填空题11. 解析：答案：充分不必要12.若条件p:a4，q:5a6，则p是q的_.解析：a45a6，如a=7虽然满足a4，但显然a不满足5a6.答案：必要不充分条件13.在用反证法证明命题“若是方程的根，则不是实数”时应假设：_4.命题“若m0，则关于x的方程x2+xm=0有实数根”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为_.解析：先写出其命题的逆命题、否命题、逆否命题，逐一判断.答案：215二次函数（R）的部分对应值如下表：3210123460466406 则不等式0的解集是 16.已知命题：，命题：，若且有且仅有一个是真命题，则实数有范围是： 解析：若命题为真，则由可得：当真假时有： ，当假真时有： 显然不成立。答案：填三、解答题17.用反证法证明：已知x、yR，x+y2，求 证x、y中至少有一个大于1。解题思路分析：假设x1且y1，由不等式同向相加的性质x+y2与已知x+y2矛盾 假设不成立 x、y中至少有一个大于1说明；反证法的理论依据是：欲证“若p则q”为真，先证“若p则非q”为假，因在条件p下，q与非q是对立事件（不能同时成立，但必有一个成立），所以当“若p则非q”为假时，“若p则q”一定为真。18已知命题：方程在1，1上有解；命题：只有一个实数满足不等式，若命题“p或q”是假命题，求实数a的取值范围19求直线l：ax-y+b=0经过两直线l1：2x-2y-3=0和l2：3x-5y+1=0交点的充要条件。解题思路分析：从必要性着手，分充分性和必要性两方面证明。由 得l1，l2交点P（） l过点P 17a+4b=11充分性：设a，b满足17a+4b=11 代入l方程：整理得：此方程表明，直线l恒过两直线的交点（）而此点为l1与l2的交点 充分性得证 综上所述，命题为真说明：关于充要条件的证明，一般有两种方式，一种是利用“”，双向传输，同时证明充分性及必要性；另一种是分别证明必要性及充分性，从必要性着手，再检验充分性。20已知命题有两个不等的负根；命题无实根. 若命题p与命题q有且只有一个为真，求实数m的取值范围.解：有两个不等的负根，无实根，得有且只有一个为真，若p真q假，得 若p假q真，得综合上述得变式:已知下列三个方程：x2+4ax-4a+3=0 x2+(a-1)x+a2=0 x2+2ax-2a=0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围。21.已知p：f -1 (x )是f (x )=13x的反函数，且| f -1 (a ) | 0，且AB=求实数a的取