椭圆中减少运算量的主要方法学法指导不分本_第1页
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椭圆中减少运算量的主要方法http:/www.DearEDU.com 张钟谊 椭圆中减少运算量提高计算速度有多种方法，以下的四种主要方法比较常用，能够有效地减少运算量，希望同学们切实掌握。一、追根溯源，回归定义 椭圆中许多性质都是由定义派生出来的，如果能够从其定义出发，挖掘它的性质，把定量的计算和定性的分析有机地结合起来，则可以大大地减少运算量。 例1. （全国高中数学联赛）给定A（-2，2），已知B是椭圆上的动点，F是左焦点，当取得最小值时，求B点坐标。 分析：如果设点B的坐标，再求则计算量相当大，而如果利用椭圆的第二定义，把转化为B点到左准线的距离就简单的多。 解：由已知椭圆方程得：，左准线为。如图1，过B点作左准线的垂线，垂足为N。过A点作此准线的垂线，垂足为M。根据椭圆的第二定义得： 则（为定值） 当且仅当B点是线段AM与椭圆的交点时等号成立。 可解得B点的坐标是二、充分运用平面几何性质 结合平面几何的知识解决椭圆中的有关问题，也是避免繁杂运算的有效途径之一。 例2. 椭圆的焦点为，点P为其上的动点。当为钝角时，点P的横坐标的取值范围是_。 分析：用为钝角的充要条件和焦半径公式以及余弦定理解题，最后因计算量过大均可能造成繁解或错解。而充分运用平面几何性质则会得以简解。 解：依题意 以原点为圆心，为半径作圆，则是圆的直径。 若P点在圆外，则为锐角；若P点在圆上，则为直角；若P点在圆内，则为钝角。 联立 消去得： 故即为所求。三、利用图形的性质化繁为简 细观题意，察看图形特征，从中找出解题突破口，也可以避免大量的运算。 例3. （四川高中数学竞赛）已知P点在圆上移动，Q点在椭圆上移动，求的最大值。 分析：如图2，本题如能从图形出发，看到的最大值，等于的最大值与圆的半径之和，则可避免大量的运算。图2 解：设，则，即 的最大值为四、利用“点差法”，设而不求 与弦中点的有关问题，主要有三种题型：求平行弦的中点轨迹；求过定点的弦中点的轨迹；求被定点平分的弦所在直线的方程，都可用“点差法”减少运算量。 例4. 椭圆中，过点P（1，1）的弦AB恰被点P平分，求弦AB所在的直线方程。 解：设，则 由得： 则直线AB的斜率为： 故弦AB所在直线的方程为： 即 利用韦达定理、曲线系方程、建立恰当的坐标系、整体代换、三角
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