数学课后作业32利用导数研究函数的性质

3-2 利用导数研究函数的性质1.(文)(2011宿州模拟)已知yf(x)是定义在R上的函数，且f(1)1，f (x)1，则f(x)x的解集是()A(0,1)B(1,0)(0,1)C(1，) D(，1)(1，)答案C解析令F(x)f(x)x，则F (x)f (x)10，所以F(x)是增函数，f(x)x，F(x)0，F(1)f(1)10，F(x)F(1)，F(x)是增函数，x1，即f(x)x的解集是(1，)(理)(2011辽宁文，11)函数f(x)的定义域为R，f(1)2，对任意xR，f (x)2，则f(x)2x4的解集为()A(1,1)B(1，)C(，1) D(，)答案B解析由题意，令(x)f(x)2x4，则(x)f (x)20.(x)在R上是增函数又(1)f(1)2(1)40，当x1时，(x)(1)0，f(x)2x40，f(x)2x4.故选B.2(2010宁夏石嘴山一模)函数y2x33x212x5在0,3上的最大值，最小值分别是()A5，15 B5，4C4，15 D5，16答案A解析y6x26x120，得x1(舍去)或x2，故函数yf(x)2x33x212x5在0,3上的最值可能是x取0,2,3时的函数值，而f(0)5，f(2)15，f(3)4，故最大值为5，最小值为15，故选A.3(文)已知函数f(x)x3px2qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为()A.，0 B0，C ，0 D0， 答案A解析f (x)3x22pxq由f (1)0，f(1)0得解得，f(x)x32x2x由f (x)3x24x10得x或x1易得当x时f(x)取极大值当x1时f(x)取极小值0.(理)设函数f(x)ax3bx2cx在x1处均有极值，且f(1)1，则a、b、c的值为()Aa，b0，cBa，b0，cCa，b0，cDa，b0，c答案C解析 f (x)3ax22bxc，所以由题意得即解得a，b0，c.4(2011青岛模拟)已知函数f(x)的导数为f (x)4x34x，且f(x)的图象过点(0，5)，当函数f(x)取得极大值5时，x的值应为()A1 B0C1 D1答案B解析由导函数与原函数的关系知，f(x)x42x2a(a为常数)，f(0)5，a5，f(x)x42x25，令f (x)4x34x0得，x11，x20，x31，当x(，1)时，f (x)0，当x(0,1)时，f (x)0，f(x)在(，1)和(0,1)上单调递减，在(1,0)上和(1，)上单调递增，故f(x)在x0处取得极大值5，故选B.5若函数f(x)x312x在区间(k1，k1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是()Ak3或1k1或k3B3k1或1k3C2k0得函数的增区间是(，2)和(2，)，由y0，得函数的减区间是(2，2)，由于函数在(k1，k1)上不是单调函数，所以有k12k1或k12k1，解得3k1或1k3，故选B.6(2011陕西咸阳模拟)已知函数f(x)ax21的图象在点A(1，f(1)处的切线l与直线8xy20平行，若数列的前n项和为Sn，则S2010的值为()A. B.C. D.答案D解析f (x)2ax，f(x)在点A处的切线斜率为f (1)2a，由条件知2a8，a4，f(x)4x21，数列的前n项和Sn，S2010.7(文)(2011福州模拟)已知f(x)2x36x2m(m为常数)在2,2上有最大值为3，那么此函数在2,2上的最小值为_答案37解析f (x)6x212x，由f (x)0得x0或x2，当x2时，f (x)0，当0x2时，f (x)0)，函数f(x)在1，)上为增函数，f (x)0对x1，)恒成立，ax10对x1，)恒成立，即a对x1，)恒成立，a1.8(文)(2010浙江杭州冲刺卷)函数yf(x)的定义域为(a，b)，yf (x)在(a，b)上的图象如图，则yf(x)在区间(a，b)上极大值的个数为_答案2解析由f (x)在(a，b)上的图象可知f (x)的值在(a，b)上，依次为，f(x)在(a，b)上的单调性依次为增、减、增、减、增，从而f(x)在(a，b)上的极大值点有两个点评应注意题设中给的是f(x)的图象还是f (x)的图象，在f (x)的图象上，位于x轴上方部分使f (x)0，f(x)单调增，位于x轴下方部分，使f (x)2，则函数f(x)x3ax21在区间(0,2)上恰好有()A0个零点 B1个零点C2个零点 D3个零点答案B解析f (x)x22axx (x2a)0x10，x22a4.易知f(x)在(0,2)上为减函数，且f(0)10，f(2)4a0，由零点判定定理知，函数f(x)x3ax21在区间(0,2)上恰好有一个零点12(2011南开区质检)已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线y3xx3的极大值点坐标为(b，c)，则ad等于()A2 B1C1 D2答案A解析a，b，c，d成等比数列，adbc，又(b，c)为函数y3xx3的极大值点，c3bb3，且033b2，或，ad2.13(文)(2011安庆质检)已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，若m、n1,1，则f(m)f (n)的最小值是_答案13解析求导得f (x)3x22ax，由函数f(x)在x2处取得极值知f (2)0，即342a20，a3.由此可得f(x)x33x24，f (x)3x26x，易知f(x)在(1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，当m1,1时，f(m)minf(0)4.又f (x)3x26x的图象开口向下，且对称轴为x1，当n1,1时，f (n)minf (1)9.故f(m)f (n)的最小值为13.(理)(2011山东潍坊一模)已知函数f(x)x32bx2cx1有两个极值点x1、x2，且x12，1，x21,2，则f(1)的取值范围是()A，3 B，6C3,12 D，12答案C解析由条件可得，即作出其可行域，易知目标函数z2bc的取值范围是3,1214(文)设函数f(x)x3ax2bxc的图象如图所示，且与y0在原点相切，若函数的极小值为4.(1)求a、b、c的值；(2)求函数的递减区间解析(1)函数的图象经过(0,0)点，c0.又图象与x轴相切于(0,0)点，y3x22axb，b0，yx3ax2，y3x22ax.当xa时，函数有极小值4.3a24，得a3.(2)y3x26x0，解得0x2.递减区间是(0,2)(理)设函数f(x)x33axb(a0)(1)若曲线yf(x)在点(2，f(x)处与直线y8相切，求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值点解析(1)f (x)3x23a.因为曲线yf(x)在点(2，f(2)处与直线y8相切，所以即解得a4，b24.(2)f (x)3(x2a)(a0)当a0，函数f(x)在(，)上单调递增；此时函数f(x)没有极值点当a0时，由f (x)0得x.当x(，)时，f (x)0，函数f(x)单调递增；当x(，)时，f (x)0，函数f(x)单调递增故x是f(x)的极大值点，x是f(x)的极小值点15(文)设函数g(x)x3ax2bx(a，bR)，在其图象上一点P(x，y)处的切线的斜率记为f(x)(1)若方程f(x)0有两个实根分别为2和4，求f(x)的表达式；(2)若g(x)在区间1,3上是单调递减函数，求a2b2的最小值解析(1)根据导数的几何意义知f(x)g(x)x2axb，由已知2,4是方程x2axb0的两个实根，由韦达定理，f(x)x22x8.(2)g(x)在区间1,3上是单调递减函数，所以在1，3区间上恒有f(x)g(x)x2axb0，即f(x)x2axb0在1,3上恒成立这只需满足即可，也即，而a2b2可视为平面区域内的点到原点距离的平方，其中点(2,3)距离原点最近所以当时，a2b2有最小值13.(理)(2011天津文，19)已知函数f(x)4x33tx26t2xt1，xR，其中tR.(1)当t1时，求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程(2)当t0，求f(x)的单调区间(3)证明：对任意t(0，)，f(x)在区间(0,1)内均存在零点解析(1)当t1时，f(x)4x33x26x，f(0)0，f (x)12x26x6，f (0)6，所以曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y6x.(2)解：f (x)12x26tx6t2，令f (x)0，解得xt或x，因为t0，以下分两种情况讨论：若t0，则0，则t0时，f(x)在内单调递减，在内单调递增，以下分两种情况讨论：当1，即t2时，f(x)在(0,1)内单调递减，在(1，)内单调递增f(0)t10，f(1)6t24t3644230.所以对任意t2，)，f(x)在区间(0,1)内均存在零点当01，即0t2时，f(x)在内单调递减，在内单调递增，若t(0,1，ft3t1t30，所以f(x)在内存在零点若t(1,2)，ft3(t1)t310，所以f(x)在内存在零点所以，对任意t(0,2)，f(x)在区间(0,1)内均存在零点，综上，对任意t(0，)，f(x)在区间(0,1)内均存在零点1设f (x)是函数f(x)的导函数，yf (x)的图象如图所示，则yf(x)的图象最有可能的是()答案C分析由导函数f (x)的图象位于x轴上方(下方)，确定f(x)的单调性，对比f(x)的图象，用排除法求解解析由f (x)的图象知，x(，0)时，f (x)0，f(x)为增函数，x(0,2)时，f (x)0，f(x)为增函数只有C符合题意，故选C.2设曲线yx21上任一点(x，y)处的切线的斜率为g(x)，则函数yg(x)cosx的部分图象可以为()答案A解析g(x)(x21)2x，yg(x)cosx2xcosx，显然y2xcosx为奇函数，排除B、D，且在原点右侧附近，函数值大于零排除C.3设函数f(x)在定义域内可导，yf(x)的图象如图所示，则导函数yf (x)的图象可能为图中的()答案D解析当yf(x)为增函数时，yf (x)0，当yf(x)为减函数时，yf (x)0，可判断D成立4(2011浙江文，10)设函数f(x)ax2bxc(a，b，cR)，若x1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为yf(x)的图象是() 答案D解析设g(x)f(x)ex，则g(x)(ax2bxc)ex，g(x)exax2(b2a)xbc，由已知g(1)0，ab2abc0，ac.f(x)ax2bxc可化为f(x)ax2bxa，f(x)0若有根时，两根之积为1.而D中两根x11，x21.所以D图一定不成立故选D.5f(x)是定义在(0，)上的非负可导函数，且满足xf (x)f(x)0.对任意正数a、b，若ab，则必有()Aaf(b)bf(a) Bbf(a)af(b)Caf(a)f(b) Dbf(b)f(a)答案A解析xf (x)f(x)0，又f(x)0，xf (x)f(x)0.设y，则y0，故y为减函数或为常数函数又a0，af(b)bf(a)点评观察条件式xf (x)f(x)0的特点，可见不等式左边是函数yxf(x)的导函数，故可构造函数yxf(x)或y通过取导数利用条件式来得到函数的单调性推得结论，请再练习下题：已知a，b是实数，且eabaBabe时，f (x)0，f(x)在(e，)上单调递减eaf(b)，即，blnaalnb，lnablnba，abba.6(2011安徽池州一中期末)已知函数yx3bx2(2b3)x2b在R上不是单调减函数，则b的取值范围是_答案b3解析yx22bx(2b3)，要使原函数在R上单调递减，应有y0恒成立，4b24(2b3)4(b22b3)0，1b3，故使该函数在R上不是单调减函数的b的取值范围是b3.7(2011苏北四市调研)已知函数f(x)mx3nx2的图象在点(1,2)处的切线恰好与直线3xy0平行，若f(x)在区间t，t1上单调递减，则实数t的取值范围是_答案2，1解析由题意知，点(1,2)在函数f(x)的图象上，故mn2又f (x)3mx22nx，由条件知f (1)3，故3m2n3联立解得：m1，n3，即f(x)x33x2，令f (x)3x26x0，解得2x0，则t，t12,0，故t2且t10，所以t2，1点评f(x)在区间t，t1上单调递减，故t，t1是f(x)的减区间的子集8(2010厦门三中阶段测试)已知f(x)lnxx2bx.(1)若函数f(x)在其定义域内是增函数，求b的取值范围；(2)当b1时