数学解题的几种思维模式新课标人教

数学解题的几种思维模式陕西洋县中学 刘大鸣http:/www.DearEDU.com1 类比简化思维.类比是根据两个不同的对象，在某些特征性质、关系的类同之处，猜测它们在其它方面可能类同之处，作出某种判断推理，并加以证明.在解题中通常遇到较复杂的问题，往往可以将它与其类同的简单问题作类比，通过简单问题寻求解题的途径，然后再类比解决原来要求解的问题.例1 求证正四面体内某一点到各面的距离之和为定值.【思维展示】降维意识,类比平面几何中“正三角形内一点到各边距离之和为定值即正三角形的高,其方法为面积分割法”.于是,正四面体内某一点与四个面把正四面体分成四个三棱锥,这四个锥的地面积相等,四个高的和为所求值.由同一个正四面体其体积相等有,则.故正四面体某一点到各面的距离之和为定值其值为正四面体的高.【评注】试回味求解本题的方法和结论.注重立体几何的结论和方法与平面几何中的结论和方法的类比,往往能寻求到简捷的解题途径.例2 已知【思维展示】用类比简化思维解决.简化研究二元不等式的情况，即证条件不等式 .即要证 显然，两种情况下，上式不等式都成立.也就是二元不等式成立.现在类比原来的三元不等式，仿二元不等式的情况进行证明.要证，由a,b,c的大小关系，不失一般性可设，由指数函数的值域有，三式相乘的上面不等式成立.故所证的不等式成立.xy2 构造模型思维.构造模型思维就是利用抽象的普遍性，把一些具体的问题转化为数学的形或式，为待解决的问题设计一个合理的结构或数学模型，适当地加以解决.例3 求函数的最值.【思维展示】构造斜率几何意义模型，化归直线和圆位置关系,数形结合求解.其函数最值为定点（2,2）和动点（cosx,sinx）连线的斜率的最值.由y=k(x-2)+2和x2+y2=1相切有 ,解得， ， 数形结合有，.例4 若，求的最小值 【思维展示】翻译两点间的距离公式，构造“平几模型” “两边之和大于或等于第三边，两边之差小于或等于第三边”，利用点的对称问题简化解决最值问题.原式化为，设为直线L 上的点，于是，问题化为在直线L上找一点到两定点的距离和最小的问题.由于A，B都在直线L的上方，若设为B关于L的对称点，用解析法构建方程组可求，由平几，=53 特殊一般化思维.将特殊问题一般化，借助于一般性问题来解决特殊性问题，这是“以进求退”的一种辨证思维方法，往往能达到简化解答问题的目的.例5 设 .【思维展示】直接证明比较困难,不妨将特殊问题一般化,观察不等式可改写为 .由此,可改证一般形式,得出新命题:的证明. 对均值不等式 ,赋值.令得,即成立.再以代入的原不等式成立.4 归纳猜想思维。归纳猜想是对研究对象或问题，以一定数量的个别例或简单的、特殊的情况进行观察、分析，从中归纳出一般的规律和性质，得出有关命题的的形式、结论或求解方法的猜测.这种从特殊到一般的思维方式称为归纳猜想思维.这是数学解题常用的一种思维方式.例6 设an是正数组成的数列，其前n项和为Sn，且对一切自然数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项，求数列an的通项公式.【思维展示】先猜后证.易求，a1=2,a2=6,a3=10,猜an=4n-2.用数学归纳法证明. 当n=1时，显然成立； 假设n=k时成立，即 ak=4k-2.由题设有，而一般数列的切入点为 ak+1=Sk+1-Sk=,将假设ak=4k-2代入整理有，解方程有，这就是说，当时猜想也成立.由和 猜想成立.即an=4n-2.【评注】本题为94年高考题.也可用“为an的二次函数，则an为等差数列”探究解题思路.由一般数列的切入点ak+1=Sk+1-Sk=，注意题设化简整理有，易求an=4n-2.例7 （2002年高考） 已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，bR，都满足f（ab）=af（b）+bf（a）. 求f（0），f（1）的值； 判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论； 若f（2）=2，Un=f（2-n）/n（nN），求数列Un的前n项和Sn。【思维展示】赋值求值和研究奇偶性.归纳猜测通项公式,数学归纳法证明.令a=b=0，则f(0)=0.f(1)=f (11)=f(1)+f(1)=2f(1),f(1)=0； f(x)为奇函数；f(1)=f(-1)2=-f(-1)-f(-1)=0,f(_-1)=0,于是f(-x)=f(-1x)=-f(x)+xf(-1)=-f(x),即为奇函数；易猜f(an)=nan-1f(a)，用数学归纳法可证.Un=(-1/2)(1/2)n-1,用等比数列求和有Sn=(1/2)n-1.5 变换转化思维.从一种形式到另一种形式的转化，是数学解题最常用的方法之一.在求解问题时，把较难的问题转化为比较几个简单、难度较低或已经熟悉易于求解的新问题.通过对新问题的研究，发现原问题的解题思路，以达到解决原题之目的.例8 A,B,C为ABC的三内角,且y.若任意交换两个内角的位置，y的值是否变化且有最小值. 并证明你的结论，【思维展示】探索性问题，由“目标意识”转化“三角变换化简函数式，万能公式化统一，均值不等式求最值”易解.由表达式中的A,B,C的对称性，y的值不变.用有界性放缩和均值不等式探求最小值当且仅当 A=B=C时，y有最小值为 .【评注】本题解决的关键是在于对题意的理解.理解通常为语言的转化，同一数学对象常可用普通语言、符号语言、图形语言来表达，加强这三种语言的相互转化的训练，是培养思维能力的一个重要方面.例9 已知A=，B=，试求时的取值范围。【思维展示】抽象的集合语言具体转化，用曲线的位置关系解决.集合A 为椭圆，集合B=为圆面，“形助数”只需，解得，,.例10 已知的最小值为，求的最大值.【思维展示】由数想形，不断转化，化归为二次函数最值解决.由两点间的距离公式，化归为两圆上的点距离的平方，点A的轨迹为单位圆，形助数，所以点B到单位圆上任意一点距离平方的最小值当 时，最大值为49.例11 .【思维展示】析1：用已知条件,不等与等的转化，两次用不等式能同时取等号求解.MNA故当析2：所求式特征化归两曲线上两动点距离的平方和的最小值,数形结合解决.构造动点M(a,b)，及N(x,y)=,由且a+b