普通高等学校招生全国统一考试湖北黄冈高三数学理工农医类适应性训练卷

2006年普通高等学校招生全国统一考试湖北省黄冈市高三数学理工农医类适应性训练卷本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。第卷1至2页，第卷3至4页。满分150分。考试用时120分钟。第卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知a，b为两个不相等的实数，集合M=a2-4a,-1,N=b2-4b+1,-2,f:xx表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a+b等于 A.1B.2C.3D.42.若，则下列结论不正确的是 A.a2b2B.ab0，b0)的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点。若的最小值为8a，则该双贡线离心率e的取值范围是 A.(0,2)B.(1,3)C.2,3D.3,+7.已知f(x)是f(x)的导函数，且f(x)的图象如下左图所示，则f(x)的图象只可能是下右图中的8.如右图所法，在单位正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线A1B上 存在一点P使得AP+D1P取得最小值，则此最小值为( )A.2B.C.2+D.9.已知O平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个动点，点P满足()，(0,+),则动点P的轨迹一定通过ABC的A.重心B.外心C.垂心D.内心10.设定义域为R的函数f(x)=,若关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有3个不同的实数解x1、x2、x3，则动点P的轨迹一定通过ABC的 A.4B.C.9D.第卷(非选择题 共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡相应位置上.11.i是虚数单位，复数z=的虚部为_.12.已知函数f(x)=sinx+5x,x(-1,1),如果f(1-a)+f(1-a2)0,函数f(x)=x3-ax在1，+上是单调函数。 (1)求实数a的取值范围； (2)设x01时有f(x0)1,且f(f(x0)=x0，求证：f(x0)=x0.18(本小题满分12分) 如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90，BC=AC=2，AAl= 4，D为棱CC1上的一动点，M、N分别为ABD，A1B1D的重心 (1)求证：MNBC； (2)若二面角CABD的大小为arctan，求点C1到平面A1B1D 的距离； (3)若点C在ABD上的射影正好为M，试判断点C1在A1B1D的 射影是否为N?并说明理由19(本小题满分12分) 已知某车站每天8：009：00、9：0010：00都恰好有一辆客车到站；8：009：00到站的客车A可能在8：10、8：30、8：50到，其概率依次为9：0010：00到站的客车B可能在9：10、9：30、9：50到，其概率依次为今有甲、乙两位旅客，他们到站的时间分别为8：00和8：20，试问他们候车时间的平均值哪个更多?20(本小题满分12分) 已知函数f(x)=x2-ax+a(xR)同时满足：不等式f(x)0的解集有且只有一个元素；在定义域内存在0x1，f(x2)成立 设数列(an)的前，2项和Sn=f(n)， (1)求数列an的通项公式； (2)试构造一个数列(bn)(写出bn的一个通项公式)，满足：对任意的正整数n都有6nan， 且=2，bn0，并说明理由； (3)设各项均不为零的数列cn中，所有满足cici+10的正整数i的个数称为这个数列cn的变号数令cn=1-(n为正整数)，求数列cn的变号数21(本小题满分14分) 如右图，在棱长为1的正方体，ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为线段BB1、AB的中点，O是正方形B1BCC1的中心，过O作直线与直线AM交于点P，与直线CN交于点Q (1)求线段PQ的长度； (2)将侧面ABB1A1无限延展开来得到平面ABB1A1，设平面 ABB1A1内有一动点T，它到直线DD1的距离的平方减去它 到P点的距离的平方，其差为1请建立适当的直角坐标系， 求出动点丁所构成的曲线K的方程； (3)在(2)的条件下，请说明以PB为直径的圆与曲线K是否有交 点，如果有请求出此点的坐标；如果没有请说明理由参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。1.D点拔：由已知可得M=N，故，a、b是方程x2-4x+2=0的两根，故a+b=42.D 点拔： 等号取不到，即故A、B、C均正确，而D显然错误，应为|a|-|b|a-b|.3.A 点拔： 由题意知，选出的6名学生中应有4名女生，2名男生，故共C种不同的抽取方法。4.D 点拔：若2为方程x2-6x+k=0的根.另一根为4，故k=8.又方程x2+6的两根与2，4，按一定次序可排成以2为首项的等比数列，故另两根易求出，分别为-2和-4.h=16，k+h=24，而其余情况均不可能.5.C 点拔：tan110=tan(120-10)= tan110=tan(90+20)= -cot20= -6.B 点拔：，当且仅当即时上式取等号，这时|PF1|=4a，由|PF1|+|PF2|F1F2|，得6a2c,故1e=7.D 点拔：由f(x)的图象可知，函数y=f(x)在区间a，b上的两端点处取得极值，且从a到b的各点处的切线的斜率是先增大后减小，故选D.8.D 点拔：如图所示，把对角面A1C绕A1B旋转至A1BCD1, 使其与AA1B在同一平面上，连接AD1，则AD1= 为所求的最小值.9.B 点拔：设线段BC的中D，则 =()=0 DPBC.点P的轨迹一定通过ABC的外心.10.C 点拔：如图，作出函数f(x)的图象，可知关于f(x)的方程有一正根和一零根，不妨设f(x1)=0且f(x2)=f(x3)=m由图像对称性知x2+x3=2,又x1=1,(x1+x2+x3)2=9.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.-3点拔：z=12.1a点拔：易知f(x)为奇函数且在定义域上增函数，原不等式可化为f(1-a)0,cos0. (cos-sin)2=1-2sincos=1-(-)=,(10分) cos-sin=-(12分) 17.(1)y=f(x)=3x2-a.(2分) 若f(x)在1，+)上是单调递减函数，则须y0，即3x2恒成立，这样的实数a不存在，故f(x)在1，+)上不可能是单调递减函数；(4分) 若f(x)在1，+)上是单调递增函数，则a3x2恒成立，由于x1，+)，故3x23.从而0a3.(6分) (2)解法一 (反证法)由(1)可知f(x)在1,+)上只能为单调递函数.假设f(x0)x0,若1x0f(x0)，则f(x0)f(f(x0)=x0,矛盾；(8分)若1f(x0)x0,则f(f(x0)f(x0),即x0f(x0),矛盾，(10分)故只有f(x0)=x0成立.(12分)解法二 设f(x0)=u (u1),则f(u)=x0,x两式相减得(x)-a(x0-u)-x0,(x0-u)(x+x0u+u2+1-a)=0,(8分)x01,u1,x+x0u+u23.又00.x0-u0,即u=x0,亦即f(x0)=x0.(12分)18.(1)连结DM、D屏延长，分别交AB、A1B1于点P、Q，连结PQ， M、N分别为ABD、A1B1D的垂心，则P、Q分别为AB、A1B1的中点， 且PQBB1MN，(2分) 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1BC，MNBC.(4分) (2)连结CP，AC=BC，CPAB，又CC1面ABC，AD=DB=， DPAB， CPD即为二面角C-AB-D的平面角，CPD=arctan, 在RtABC中，AC=BC=2，CP=， 在RtCDP中,CD=CPtanCPD=2, CC1=AA1=4,DC1=2,(6分) 连结C1Q，C1Q=CP=A1D=DB1=为A1B1的中点，DQA1B1，SA1B1D=，设C1到面DA1B1的距离为h，VC1-A1B1D=VD-A1B1C1,hSA1B1D=C1DSA1B1C1,h=.(8分)(3)CM面ABD，CMDP，CD=2，C1D=2，则DQ=DP，MNPQ，DM=DN，CD2=DMDP，DC=DNDQ，DC1QDNC1,C1ND=DC1Q=90,(10分)C1NDQ，又A1B1面C1CPQ，A1B1C1N，C1N面A1B1D,C1在面A1B1D的射影即为N.(12分)解法二：空间向量解法：以C1为原点，如右图建立空间直角坐标系.(1)设C1D=a(0a4),依题意有：D(0，0，a),A(2，0，4),B(0，2，4),C(0，0，4),C1(0，0，0)，A1(2，0，0)，B1(0，2，0) (2分)因为M、N分别为ABD，A1B1D的重心.所以M，,MNBC.(4分)(2)因为平面ABC的法向量n1=(0，0，-1),设平面ABD的法向量n2=(x1，y1，z1).令x1=1n2=,设二面角CABD为，则由tan=，因此cos= (舍)或a=2,(6分)设平面A1B1D的法向量为n3=(x,y,z),则 令x=1有n3=1(1，1，1)，设C1到平面A1B1D的距离为d，则d=.(8分)(3)若点C在平面ABD上的射影正好为M，则，即()(-2，0，a-4)=0(舍)或a=2，(10分)因此D为CC1的中点，根据对称性可知C1在平面A1B1D的射影正好为N. (12分)19.设甲、乙两位旅客的候车时间分别为，分钟，则他们的分布列为；甲旅客乙旅客 10 30 50 10 30 50 70 90P 易知E=10，(8分)E=,(10分)EE，旅客甲候车时间的平均值比旅客乙多.答：旅客甲候车时间的平均值比旅客乙多. (12分)20.(1)f(x)0的解集有且只有一个元素，=a2-4a=0a=0或a=4, 当a=0时，函数f(x)=x2在(0，+)上递增，故不存在0x1f(x2)成立.(2分) 综上，得a=4，f(x)=x2-4x+4,Sn=n2-4n+4,an=Sn-Sn-1=(5分) (2)要使=2，可构造数列bn=n-k, (6分) 对任意的正整数n都有bnan, 当n2时，n-k2n-5恒成立且1-k5-k恒成立且k0, 即(8分) 又bn0,kN*，bn=n-,等等.(9分)(3)解法一：由题设cn=,n3时，cn+1-cn=n3时，数列cn递增，(11分)a4=-，可知a4a50,即n3时，有且只有1个变号数；又c1=-3,c2=5,c3=-3, 即c1c20,c2c30, 此处变号数有2个.综上得数列cn共有3个变号数，即变号数为3.(13分)解法二