解析几何——轨迹方程的高考题总结

解析几何中求轨迹方程的常见方法一、直接法当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法.例1 已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：，动点M到圆C的切线长与的比等于常数（如图），求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线1解：设M（x，y），直线MN切圆C于N，则有，即，整理得，这就是动点M的轨迹方程若，方程化为，它表示过点和x轴垂直的一条直线；若1，方程化为， 它表示以为圆心，为半径的圆二、定义法定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.CByxOA例2 已知中，、的对边分别为、，若依次构成等差数列，且，求顶点的轨迹方程.2解：如右图，以直线为轴，线段的中点为原点建立直角坐标系. 由题意，构成等差数列，（两定点的距离等于定长椭圆），即，又，的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中，故的轨迹方程为.三、点差法将直线与圆锥曲线的交点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为点差法。 例3 抛物线焦点弦的中点轨迹方程是 。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m四、几何法几何法是指利用平面几何或解析几何知识分析图形性质，发现动点的运动规律和要满足的条件，从而得到动点的轨迹方程.例4 已知点、，过、作两条互相垂直的直线和，求和的交点的轨迹方程.五、参数法 参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到间的直接关系式，即得到所求轨迹方程.例5 过抛物线（）的顶点作两条互相垂直的弦、，求弦的中点的轨迹方程.例6 设椭圆中心为原点O，一个焦点为F（0，1），长轴和短轴的长度之比为t（1）求椭圆的方程；（2）设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q，点P在该直线上，且，当t变化时，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形六、交轨法求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法.xA1A2OyNMP例7 如右图，垂直于轴的直线交双曲线于、两点，为双曲线的左、右顶点，求直线与的交点的轨迹方程，并指出轨迹的形状.例8 已知两点以及一条直线：y=x，设长为的线段AB在直线上移动，求直线PA和QB交点M的轨迹方程七、代入法当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点的坐标来表示，再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法.yQOxNP例9 如图，从双曲线上一点引直线的垂线，垂足为，求线段的中点的轨迹方程.例10 已知抛物线，定点A（3，1），B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP:PA=1:2，当点B在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线3解： 设弦端点，中点为，则 因为所以4解：由平面几何知识可知，当为直角三角形时，点的轨迹是以为直径的圆.此圆的圆心即为的中点，半径为，方程为. 故的轨迹方程为.5解：设，直线的斜率为，则直线的斜率为.直线OA的方程为，由解得，即，同理可得.由中点坐标公式，得，消去，得，此即点的轨迹方程.6解：（1）设所求椭圆方程为由题意得解得 所以椭圆方程为(2)设点解方程组得 由和得其中t1消去t，得点P轨迹方程为和其轨迹为抛物线在直线右侧的部分和抛物线在直线在侧的部分7解：设及，又，可得直线的方程为-；直线的方程为-.由x得-. 又 ，代入得，化简得，此即点的轨迹方程. 当时，点的轨迹是以原点为圆心、为半径的圆；当时，点的轨迹是椭圆.8解： PA和QB的交点M（x，y）随A、B的移动而变化，故可设，则PA：QB：消去t，得当t=2，或t=1时，PA与QB的交点坐标也满足上式，所以点M的轨迹方程是9解：设，则. 因为在直线上，- 又得即.-联解得