椭圆及其标准方程三第八章第一节教案示例

椭圆及其标准方程三 第八章第一节教案示例1本节知识结构 椭圆的定义椭圆的标准方程直线和圆的方程本节是在学习过直线与圆以后2目的要求 掌握椭圆的定义以及标准方程 能够根据条件利用工具画圆锥曲线的图形。3教学任务分析 （1）椭圆是常见的曲线，学生通过引言课及日常生活的经验，对椭圆已有一定的认识为了使学生掌握椭圆的本质特征，以便得出椭圆的定义，教科书介绍了两种画椭圆的方法，一种是保留了传统教材中的用一根细绳画椭圆的方法，主要是考虑到材料（细绳）取得比较容易，操作也比较简便；另一种是用计算机软件（比用几何画板）画椭圆的方法，这个画法的好处是便于动态研究椭圆的性质（如离心率对扁平程度的影响以及当|F1F2|2a时的情况），也为以后教学双曲线打下伏笔，突出双曲线与椭圆的区别与联系。通过画图，揭示椭圆上点所要满足的几何条件在定义椭圆时，对“常数”加上了一个条件，即常数要大于|F1F2|这样规定是为了避免出现两种特殊情况，即轨迹为一条线段或无轨迹，以便于利用标准方程讨论椭圆的几何性质对于|MF1|M1F2|F1F2|，可以引导学生从MF1F2（三点共线情况除外）中两边之和大于第三边来理解 （2）求椭圆的方程，首先要建立坐标系曲线上同一个点在不同的坐标系中的坐标不同，曲线的方程也不同，为了使方程简单，必须注意坐标系的选择怎样选择坐标系，要根据具体情况确定在一般情况下，应注意使已知点的坐标和直线（曲线）的方程尽可能简单在求椭圆的标准方程时，选择x轴经过两个定点F1、F2，并且使坐标原点与线段F1F2的中点重合，这样，两个定点的坐标比较简单，便于推导方程 在求方程时，设椭圆的焦距为2c（c0），椭圆上任意一点到两个焦点的距离的和为2a（a0），这是为了使焦点及长轴两个端点的坐标不出现分数形式，以便导出的椭圆的方程形式简单令a2c2b2学生可能难以接受，但是，一方面课本在边空中说明以后还可以看到b的几何意义，另一方面也是为了使方程的形式整齐、便于记忆，学生也就容易理解了。b的特定几何意义将在下一小节说明 （3）在初中的教学中并不要求化简带根式的方程，因此，这里带根式的方程的化简可能学生感到困难，特别是由点M适合的条件所列出的方程为两个根式的和等于一个非零常数，化简时要移项，要进行两次平方，再加上方程中字母超过三个，且次数高、项数多，造成难度加大，教学时，要注意说明这类方程化简的方法，即：方程中只有一个根式时，需将它单独留在方程的一边，把其他各项移至另一边；方程中有两个根式时，需将它们分别放在方程的两边，并使其中一边只有一项（4）在学习曲线和方程的概念时，我们知道，求得椭圆的方程以后，一般应证明所求得的方程确是椭圆的方程，就是说，要证明坐标适合方程的点在椭圆上由于椭圆方程的化简过程是等价变形，而证明过程较繁，所以教科书不要求也没有给出证明从找出曲线上的动点满足的几何条件，到建立适当的坐标系，建立椭圆的方程，已经基本经历了解析几何中求曲线方程的一般步骤，教学中应该让学生体验到这一点。 （5）在给出中心在原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程1（ab0）以后，应通过小结向学生指出以下几点： 在椭圆的两种标准方程中，总是 ab0 椭圆的焦点总是在长轴上 a、b、c始终满足关系式c2a2b2（不要与初中学习过的勾股定理a2b2c2混淆）如果焦点在x轴上，则焦点坐标为F1（c，0），F2（c，0）；如果焦点在y轴上，则焦点坐标为（0，c），（0，c） 在遇到形如Ax2 By2C的方程中，只要A、B、C同号，就是椭圆方程，可以化成1即1例如，可将方程 2x2 3y25化成椭圆的标准形式1，这时a，b（6）坐标系的选择没有通用的方法，要根据具体情况而定为了帮助学生掌握建立坐标系的方法，在本小节的练习中配备了一道题目，即练习1在求出椭圆的标准方程以后，可以让学生独立完成这个练习；也可以作为例题讲解例3有三个作用：第一是教给学生利用中间变量求点的轨迹的方法；第二是向学生说明，如果求得的点的轨迹的方程形式与椭圆的标准方程相同，那么这个轨迹是椭圆；第三是使学生知道，一个圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆特别是第3点，教材在习题8.1中安排了一个数学实验，让学生在动态改变压缩比的过程中观察圆压缩（或拉长）而得到椭圆的过程。（7）练习4可以延伸至一般情况“ABC的两个顶点 A、B的坐标分别是（6，0）、（6，0），边AC、BC所在直线的斜率之积等于k（k0），求顶点C的轨迹方程”在本小节也可以作为例题讲，为讲完双曲线时，习题8.3中的数学实验打下伏笔，有利于学生思路的开拓。4信息技术学习材料用TI92Plus中的Sketchpad，根据椭圆的定义画椭圆用TI-92Plus中的Sketchpad，根据椭圆的定义画椭圆序号按键画面备注1，APPS，拨动光标控制盘选择The Geometers Sketchpad选择应用程序2Enter进入几何画板3F1，A，F1，把最后两项设置成yes，按Enter设置画图时自动显示度量对象以及点的标签4F8，拨动光标控制盘至画线工具处，选择画直线工具准备画直线5拨动光标控制盘，按Enter画一点A，拨动光标控制盘，按Enter画一点B画直线AB6F8，选择画点工具，拨动光标控制盘，按Enter在直线画一点C，再画两点D、ED、E是椭圆的焦点，C控制动点的变动7F8，选择画线段工具，画线段AC；F8，选择箭头工具，选择点D；F3，B画圆D以D为圆心，线段AC为半径画圆8同上，画线段CB，以点E为圆心，CB为半径画圆E；用选择工具单击两圆的交点处作出交点F、G；按F2，6，追踪点F、G以D为圆心，线段AC为半径画圆；以E为圆心，线段CB为半径画圆；作出交点9按F8，选择画线段工具画线段FD，按F5，1，度量出线段DF长，同样画线段FE，度量FE的长10F5，C，注意屏幕左下角，进入计算状态；按F1，选择DF，Enter，+，按F1，选择FE，Enter，Enter计算出DF+FE；先后选择A、B两点，F5，2度量出A、B间的距离11用选择工具拖动点C，出现椭圆圆的压缩或拉伸（1）建立直角坐标系，给原点加注标签O，隐藏单位点。（2）画圆O，把控制圆的大小B的点落在x轴上。（3）在圆上任意画一点C。（4）过C作x轴的垂线l，作出垂足D，隐藏直线l。（5）画射线DC，在射线DC上任意画一点E。（6）以C为主动点，作出点E的轨迹椭圆。（7）拖动点E，观察椭圆的变化。用几何画板制作圆锥曲面的截线（1）建立直角坐标系，画椭圆，使中心在原点O，长轴AB在x轴上。（2）在y轴上画一点C，在椭圆上画一点D。（3）把C标记为旋转中心，把点A、B、D、O绕点C旋转180，得到点A、B、D、O。（4）画线段AA、BB、DD、OD。（5）以D为主动点，作出点D的轨迹，一个椭圆。（6）在y轴上画一点E，过E作x轴的平行线，交BB于F。（7）过E作OD的平行线l。（8）画圆G，在圆上画一点I，画线段GI。（