数学等差比数列

高考数学复习 等差（比）数列高考要求：1熟练掌握等差（比）数列的基本公式和一些重要性质，2能灵活运用性质解决有关的问题，培养对知识的转化和应用能力考点回顾：(一)等差数列的性质（4）在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即an,an+m,an+2m,为等差数列，公差为md。(5)等差数列的前n项和也构成一个等差数列，即Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,为等差数列，公差为n2d。(6)若等差数列的项数为2n，则有。（7）等差数列的项数为奇数n，则，。（8）为等差数列，。（9）通项公式是an=An+B是一次函数的形式；前n项和公式是不含常数项的二次函数的形式。（注当d=0时，S n=na1, a n=a1）（10）若a10，d0，Sn有最大值，可由不等式组来确定n。若a10，Sn有最小值，可由不等式组来确定。（二） 等比数列的性质。（4）在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an,an+m,an+2m,为等比数列，公比为qm。(5)等比数列的前n项和也构成一个等比数列，即Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,为等比数列，公比为qn。考点解析：考点1、五个基本量的有关计算EG1已知等差数列的公差为2,若成等比数列, 则=（ ） BA4 B6 C 8 D10B1-1、已知等差数列an的前n项和为Sn，若a4=18-a5，则S8等于 D （ ）A18 B36 C54 D72B1-2等比数列an的首项a1=1，前n项和为Sn，若，则公比q等于 考点2、等差、等比数列的实际应用EG2、在等比数列an中，若a3，a9是方程3x2-11x+9=0的两根，则a6的值是 C （ ）A3 B3 C D以上答案都不对B2-1设数列an是首项为50，公差为2的等差数列；bn是首项为10，公差为4的等差数列，以ak、bk为相邻两边的矩形内最大圆面积记为Sk，若k21，那么Sk等于（ ）A（2k+1）2B（2k+3）2C（2k+12）2D（k+24）2B2-2取第一象限内的两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），使1，x1，x2，2依次成等差数列，1，y1，y2，2依次成等比数列，则点P1、P2与射线ly=x（x0）的位置关系是（ ）A点P1、P2都在l的上方B点P1、P2都在l上C点P1、P2都在l的下方D点P1在l的下方，点P2在l的上方考点3、数列的综合应用EG3.已知数列an的前项和，其中a、b是非零常数。则存在数列、使得C（A）an=+ 其中为等差数列，为等比数列（B）an=+，其中和都为等差数列（C）an=，其中为等差数是列，为等比数列（D）an= 其中和都为等比数列B3-1已知公差不为0的等差数列的第m、n、k项依次构成等比数列的连续三项，则等比数列的公比是ABCDB3-2设2a=3，2b=6，2c=12，那么数列a、b、c（ ）A是等比数列，但不是等差数列B是等差数列，但不是等比数列C既是等比数列，又是等差数列D既不是等比数列，又不是等差数列B3-3. 已知等差数列an的公差d0, 且a1, a3, a9成等比数列, 则的值是 . B3-4.已知等差数列的公差为2,若成等比数列, 则= B ( ) A 4 B 6 C 8 D 10 方法归纳：1解决等差数列和等比数列的问题时，通常考虑两类方法：基本量法：即运用条件转化为关于和的方程；巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量2深刻领会两类数列的性质，弄清通项和前项和公式的内在联系是解题的关键实战训练1数列an中，已知等于（ ）A33B21C17D102数列an中，等于（ ）A163B164C165D1663等差数列的前10项之和是前5项之和的4倍，则它的首项a1与公差d的比=（ ）AB2CD44设an是公差为2的等差数列，等于（ ）A50B50C16D825在等比数列an中，已知（ ）A44B45C46D471.等比数列an的公比为q，则“q1”是“对于任意自然数n，都有an+1an”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析：当a10时，条件与结论均不能由一方推出另一方.答案：D6.已知数列an满足an+2=an（nN*），且a1=1，a2=2，则该数列前2002项的和为A.0 B.3 C.3 D.1解析：由题意，我们发现：a1=1，a2=2，a3=a1=1，a4=a2=2，a5=a3=1，a6=a4=2，a2001=a1999=1，a2002=a2000=2，a1+a2+a3+a4=0.a1+a2+a3+a2002=a2001+a2002=a1+a2=1+2=3.答案：C7.若关于x的方程x2x+a=0和x2x+b=0（ab）的四个根可组成首项为的等差数列，则a+b的值是A. B. C. D.解析：依题意设四根分别为a1、a2、a3、a4，公差为d，其中a1=，即a1+a2+a3+a4=1+1=2.又a1+a4=a2+a3，所以a1+a4=a2+a3=1.由此求得a4=，d=，于是a2=，a3=.故a+b=a1a4+a2a3=+=.答案：D8.（2004年春季上海，12）在等差数列an中，当ar=as（rs）时，数列an必定是常数列，然而在等比数列an中，对某些正整数r、s（rs），当ar=as时，非常数列an的一个例子是_.解析：只需选取首项不为0，公比为1的等比数列即可.答案：a，a，a，a（a0）9.（2002年北京，14）等差数列an中，a1=2，公差不为零，且a1，a3，a11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于_.解析：设a1，a3，a11成等比，公比为q，a3=a1q=2q，a11=a1q2=2q2.又an是等差数列，a11=a1+5（a3a1），q=4.答案：410若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为,则这个数列有13 项；11.已知数列是等比数列,且,，则 9 12.等差数列前项和是，前项和是，则它的前项和是 210 13设数列an的前n项和为 6714在等差数列an中，它的前n项和为Sn，已知 1815在等差数列an中，最大时，n的值是 . n=6或n=716在等差数列an中，恰等于这个数列中连续5项之和，这连续的5项是 . 17.若数列x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则的取值范围是_.解析：在等差数列中，a1+a2=x+y；在等比数列中，xy=b1b2.=+2.当xy0时，+2，故4；当xy0时，+2，故0.答案：4，+）或（，018在等差数列an中，它的前n项和记为Sn，已知，则n的值是 . n=1524等差数列中共有奇数项，且此数列中的奇数项之和为，偶数项之和为，求其项数和中间项.解：设数列的项数为项，则， ，数列的项数为，中间项为第项，且说明：（1）在项数为项的等差数列中，； （2）在项数为项的等差数列中25数列是首项为，公比为的等比数列，数列满足，（1）求数列的前项和的最大值；（2）求数列的前项和解：（1）由题意：，数列是首项为3，公差为的等差数列，由，得，数列的前项和的最大值为（2）由（1）当时，当时，当时，当时，26设数列为正项数列，前n项的和为Sn，且有an、Sn、an2成等差数列. （1）求通项an； （2）设的最大值. （1）当n=1时，又由，得 即3分是以a1=1为首项，以1为公差的等差数列 6分 （2）8分10分当且仅当，即n=10时，有最大值1/72. 12分27在等差数列an中，已知a1=20，前n项和为Sn，且S10=S15，(1)求前n项和Sn.(2)当n为何值时，Sn有最大值，并求出它的最大值.(本题答案 ) (1)解：由a1=20，S10=S15得d=- Sn=20n+n(n-1)(-) 即：Sn=-(n2-25n)(2)经配方得：Sn=-(n-)2+ nN当n=12或n=13时，Sn有最大值：S12=S13=130 经典回顾： 1（2005年春季北京，17）已知an是等比数列，a1=2，a3=18；bn是等差数列，b1=2，b1+b2+b3+b4=a1+a2+a320.（1）求数列bn的通项公式；（2）求数列bn的前n项和Sn的公式；（3）设Pn=b1+b4+b7+b3n2，Qn=b10+b12+b14+b2n+8，其中n=1，2，试比较Pn与Qn的大小，并证明你的结论.剖析：将已知转化成基本量，求出首项和公比后，再进行其他运算.解:（1）设an的公比为q，由a3=a1q2得q2=9，q=3.当q=3时，a1+a2+a3=26+18=1420，这与a1+a2+a320矛盾，故舍去.当q=3时，a1+a2+a3=2+6+18=2620，故符合题意.设数列bn的公差为d，由b1+b2+b3+b4=26得4b1+d=26.又b1=2，解得d=3，所以bn=3n1.（2）Sn=n2+n.（3）b1，b4，b7，b3n2组成以3d为公差的等差数列，所以Pn=nb1+3d=n2n；b10，b12，b14，b2n+8组成以2d为公差的等差数列，b10=29，所以Qn=nb10+2d=3n2+26n.PnQn=（n2n）（3n2+26n）=n（n19）.所以，对于正整数n，当n20时，PnQn；当n=19时，Pn=Qn；当n18时，PnQn.评述：本题主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.2 （2005年北京东城区模拟题）已知等差数列an的首项a1=1，公差d0，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列bn的第二项、第三项、第四项.（1）求数列an与bn的通项公式；（2）设数列cn对任意正整数n均有+=（n+1）an+1成立，其中m为不等于零的常数，求数列cn的前n项和Sn.剖析：（1）依已知可先求首项和公差，进而求出通项an和bn；（2）由题先求出an的通项公式后再求Sn.解：（1）由题意得（a1+d）（a1+13d）=（a1+4d）2，整理得2a1d=d2.a1=1，解得d=2（d=0不合题意舍去），an=2n1（n=1，2，3，）.由b2=a2=3，b3=a5=9，易求得bn=3n1（n=1，2，3，）.（2）当n=1时，c1=6；当n2时，=（n+1）an+1nan=4n+1，cn=（4n+1）mn1bn=（4n+1）（3m）= 当3m=1，即m=时，Sn=6+9+13+（4n+1）=6+=6+（n1）（2n+5）=2n2+3n+1.当3m1，即m时，Sn=c1+c2+cn，即Sn=6+9（3m）+13（3m）2+（4n3）（3m）n2+（4n+1）（3m）n1. 3mSn=63m+9（3m）2+13（3m）3+（4n3）（3m）n1+（4n+1）（3m）n. 得（13m）Sn=6+33m+4（3m）2+4（3m）3+4（3m）n1（4n+1）（3m）n=6+9m+4（3m）2+（3m）3+（3m）n1（4n+1）（3m）n=6+9m+（4n+1）（3m）n.Sn=+.Sn= 评述：本题主要考查了数列的基本知识和解决数列问题的基本方法.如“基本量法”“错位相减求和法”等.例3（2005年北京海淀区模拟题）在等比数列an（nN*）中，a11，公比q0.设bn=log2an，且b1+b3+b5=6，b1b3b5=0.（1）求证：数列bn是等差数列；（2）求bn的前n项和Sn及an的通项an；（3）试比较an与Sn的大小.剖析：（1）定义法即可解决.（2）先求首项和公差及公比.（3）分情况讨论.（1）证明：bn=log2an，bn+1bn=log2=log2q为常数.数列bn为等差数列且公差d=log2q.（2）解：b1+b3+b5=