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文档简介
恒成立问题中含参范围的求解策略周云才数学中含参数的恒成立问题，几乎覆盖了函数，不等式、三角，数列、几何等高中数学的所有知识点，涉及到一些重要的数学思想方法，归纳总结这类问题的求解策略，不但可以让学生形成良好的数学思想，而且对提高学生分析问题和解决问题的能力是很有帮助的，下面就几种常见的求解策略总结如下，供大家参考。一、分离参数最值化对于某些恒成立问题，可将其中的参数分离出来，将原问题转化为（或）在给定区间上恒成立（或），从而将原问题转化为求函数的最大值或最小值问题。例1 当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围。 解析：因，所以对恒成立，即有，由于在上是增函数，所以当时，所以例2 设且恒成立，求实数m的取值范围。 解析：由于，所以，于是恒成立，因 （当且仅当时取等号），故。二、数形结合直观化对于某些不容易分离出参数的恒成立问题，可利用函数的图像或相应图形，采用数形结合的思想，直观地反应出参数的变化范围。例3 当时，恒有成立，求实数a的取值范围。 解析：令，由题意，对恒成立。 （1）当，即时，有对恒成立。 （2）当时，结合二次函数的图像， 有 或 综合（1）（2）得例4 设，对于任意正整数k，直线与恒有两个不同的交点，求实数a的取值范围。 解析：作出在区间上的图像，由图像知，直线只能绕原点O从x正半轴旋转到过点的范围，直线AO的斜率为于是实数a的取值范围是三、巧妙赋值特殊化在某些恒成立问题中，恰当地取特殊的数或考虑特殊的情形，探求出参数的值或范围，再加以证明，不失为一个好办法。例5 是否存在常数c，使得不等式对任意的正实数x，y恒成立？并证明你的结论。 解析：令得，有 先证成立证成立证成立，此时显然成立。 再证成立。 证成立证成立，此时也显然成立。 故存在常数c，使得原不等式对任意的正实数x，y恒成立。例6 设。若对于任意恒成立，试确定常数a，b，c。 解析：取分别代入已知等式， 即 （1）（2）得， （4） 由（2）（3）（4）得 由得，解得，从而 再由 再 将求解的a、b、c代入已知等式验证适合，故四、变更主元简单化对含多个变量问题，有时变换主元与次元的位置，常能达到避繁就简的目的。例7 对于，不等式恒成立，求实数x的取值范围。 解析：不等式不等式即对于恒成立。 记，则问题转化为一次函数（或常数函数）在区间1，1内恒为正的x应满足的条件。 由得 或 故实数x的取值范围是 恒成立问题中含参范围的求解策略较多，但主要有以上四种常见方法，其实质是一种等价转化的思想，可见，只要我们在解
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