状元之路高中数学导数及其应用33文大纲人教

对应学生书P185一、选择题1函数y2x33x212x5在0,3上的最大值，最小值分别是()A5，15B5，4C4，15 D5，16解析：令y6x26x120，得x1(舍去)，或x2.故函数yf(x)2x33x212x5在0,3上的最值可能是x取0,2,3时的函数值，而f(0)5，f(2)15，f(3)4，故最大值为5，最小值为15，选A.答案：A2已知函数f(x)x33x29xa(a为常数)在区间2,2上有最大值20，那么此函数在区间2,2上的最小值为()A37B7C5D11解析：由f(x)3x26x90，得x1，或x3(舍去)f(2)2a，f(1)5a，f(2)a22，a2220，a2.故最小值为f(1)7.答案：B3函数f(x)3x4x3，x0,1的最大值是( )A1 B. C0 D1解析：f(x)312x2.令f(x)0，得x.x0,1，x(舍去).x01f(x)0f(x)011f(x)3x4x3在x处取到最大值，且最大值为1. 答案：A4已知二次函数f(x)ax2bxc的导数为f(x)，f(0)0，对于任意实数x，都有f(x)0，则的最小值为()A3B.C2D.解析：f(x)2axb，f(0)b0.又ac，c0.故2.答案：C5(2010山东)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的产量为()A13万件 B11万件 C9万件 D7万件解析：yf(x)x381x234，yx281.令y0，得x9，或x9(舍去)当0x9时，y0，函数f(x)单调递增；当x9时，y0，函数f(x)单调递减故当x9时，y取最大值答案：C二、填空题6用边长为48 cm的正方形铁皮做一无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为_解析：设截去的正方形边长为x cm，则铁盒的底面边长为(482x) cm，高为x cm，体积V(482x)2x(0x24)V2(482x)(2)x(482x)212(x8)(x24)，令V0，解得x8，或x24(舍去)，在x8处附近，当x8时，V0；x8时，V0.则在(0,24)内，当x8时，函数取得最大值即所做铁盒容积最大时，截去正方形的边长应为8 cm.答案：8 cm7(2009天津摸底考试)已知函数f(x)x3ax2bxc，x2,2表示过原点的曲线，且在x1处的切线的倾斜角均为，有以下命题：f(x)的解析式为f(x)x34x，x2,2；f(x)的极值点有且只有一个；f(x)的最大值与最小值之和等于零其中正确命题的序号为_解析：因为曲线过原点，所以c0.又f(x)3x22axb，而f(x)的图像在x1处切线的倾斜角均为，所以f(1)1，f(1)1，即所以所以f(x)x34x，x2,2f(x)3x24，所以x时，f(x)递增；x时，f(x)递减；x时，f(x)递增故f(x)有最大值为34，有最小值为34，所以最大值与最小值之和为零答案：三、解答题8(2009天津河北区一模)已知函数f(x)x3ax23x.(1)若x3是f(x)的极值点，求f(x)在x1，a上的最小值和最大值；(2)若f(x)在x1，)上是增函数，求实数a的取值范围解析：(1)f(x)3x22ax3，f(3)0，即276a30，a4.f(x)x34x23x有极大值点x，极小值点x3.此时f(x)在x上是减函数，在x3，)上是增函数f(1)6，f(3)18，f(a)f(4)12，f(x)在x1，a上的最小值是18，最大值是6.(2)f(x)3x22ax30，x1，a.当x1时，是增函数，其最小值为(11)0.a0.a0时也符合题意，a0.9(2010重庆)已知函数f(x)ax3x2bx(其中常数a，bR)，g(x)f(x)f(x)是奇函数(1)求f(x)的表达式；(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间1,2上的最大值与最小值解析：(1)由题意，得f(x)3ax22xb，因此g(x)f(x)f(x)ax3(3a1)x2(b2)xb.因为函数g(x)是奇函数，所以g(x)g(x)即对任意实数x，有a(x)3(3a1)(x)2(b2)(x)bax3(3a1)x2(b2)xb，从而3a10，b0，解得a，b0，因此f(x)的表达式为f(x)x3x2.(2)由(1)知，g(x)x32x，于是g(x)x22.令g(x)0，解得x1，x2，则当x，或x时，g(x)0，从而g(x)在区间(，)上是减函数；当x时，g(x)0，从而g(x)在区间，上是增函数由上述讨论知，g(x)在区间1,2上的最大值与最小值只能在x1，2时取得，而g(1)，g()，g(2)，因此g(x)在区间1,2上的最大值为g()，最小值为g(2).10(2010天津)已知函数f(x)ax3x21(xR)，其中a0.(1)若a1，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)若在区间上，f(x)0恒成立，求a的取值范围解析：(1)当a1时，f(x)x3x21，f(2)3.f(x)3x23x，f(2)6，故曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y36(x2)，即y6x9.(2)f(x)3ax23x3x(ax1)令f(x)0，解得x0，或x.以下分两种情况讨论：若0a2，则.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x0f(x)0f(x)极大值当x时，f(x)0等价于即解不等式组得5a5.因此0a2.若a2，则0.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x0f(x)00f(x)极大值极小值当x时，f(x)0等价于即解不等式组得a5，或a.因此2a5.综合，可知a的取值范围为0a5.11设函数f(x)x3x2(a1)x1，其中a为实数(1)已知函数f(x)在x1处取得极值，求a的值；(2)已知不等式f(x)x2xa1对任意a(0，)都成立，求实数x的取值范围解析：(1)f(x)ax23x(a1)，由于函数f(x)在x1处取得极值，f(1)0，即a3a10，a1.(2)由题设知，ax23x(a1)x2xa1对任意a(0，)都成立，即a(x22)x22x0对任意a(0，)都成立，于是a对任意a(0，)都成立，即0，2x0，于是x的取值范围是2,012设aR，函数f(x)ax33x2.(1)若x2是函数yf(x)的极值点，求a的值；(2)若函数g(x)f(x)f(x)，x0,2在x0处取得最大值，求a的取值范围解析：(1)f(x)3ax26x3x(ax2)因为x2是函数yf(x)的极值点，所以f(2)0.即6(2a2)0，因此a1.经验证，当a1时，x2是函数yf(x)的极值点(2)由题设，g(x)ax33x23ax26xax2(x3)3x(x2)，当g(x)在区间0,2上的最大值为g(0)时，g(0)g(2)，即020a24.故得a.反之，当a时，对任意x0,2，g(x)x2(x3)3x(x2)(2x2x10)(2x5)(x2)0，而g(0)0，故g(x)在区间0,2上的最大值为g(0)综上，a的取值范围为.13(2010湖南)已知函数f(x)x2bxc(b，cR)，对任意的xR，恒有f(x)f(x)(1)证明：当x0时，f(x)(xc)2；(2)若对满足题设条件的任意b，c，不等式f(c)f(b)M(c2b2)恒成立，求M的最小值解析：(1)易知f(x)2xb.由题设，对任意的xR，2xbx2bxc，即x2(b2)xcb0恒成立，故(b2)24(cb)0，从而c1.于是c1，且c2 |b|，因此2cbc(cb)0.当x0时，有(xc)2f(x)(2cb)xc(c1)