浙江宁波海区外语实验学校高中数学史资料集三次数学危机素材

三次数学危机从哲学上看，矛盾无处不在，确实书名数学不例外。 数学中存在着正与负、加法与减法、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等各种大小矛盾。 在数学的发展过程中，贫穷与无限、连续与离散、存在与结构、逻辑与直观、具体对象与抽象对象、概念与计算等深刻矛盾不断。数学史上，贯穿着矛盾的斗争和解决。 矛盾加剧到整个数学基础，就会发生数学危机。 危机的解决，往往给数学带来新的内容、新的发展，甚至革命性的变革。数学的发展经历了三次基础理论危机。一、第一次数学危机从某种意义上说，现代意义上的数学，也就是作为演绎系统的纯数学，来源于古希腊的毕达哥拉斯学派。 这是唯心主义学派，繁荣时期是公元前500年左右。 他们认为，数学知识是可靠的，准确的，而且可以应用于现实世界，数学知识是通过纯粹的思维得到的，不需要观察、直觉和日常经验。整数是计算对象有限集成过程中产生的抽象概念。 在日常生活中，不仅要计算各个对象，还要测量长度、重量、时间等各种各样的量。 为了满足这些简单的测量需求，需要得分。 以这种方式，当将有理数定义为两个整数商时，它足以进行实际测量，因为有理数系数包括所有整数和分数。有理数有简单的几何解释。 在水平的直线上绘制线段作为单位长度，其固定端点和右端点分别为公式0和1，其中，以直线上的间隔为单位长度的点的集合表示整数，正整数为0的右边，负整数为0的左边。 q为分母的分数可以用每单位间隔q等分的点表示。 于是，有理数分别对应于直线上的点。古代的数学家认为这样一来直线上的所有点都会消失。 但毕氏学派在公元前400年左右，发现直线上有理数不对应的地方。 特别地，该直线上存在的点p不对应于有理数，这里，距离op等于以边的长度为单位长度的正方形对角线。 因此必须发明新的数字对应于这样的点，并且因为这些数字不是有理数，所以不得不被称为无理数。 无理数的发现是毕氏学派最伟大的成就之一，也是数学史上一个重要的里程碑。无理的发现，引起了第一次数学危机。 首先，对于一切依赖整数的毕氏哲学，这是致命的打击。 其次，无理数似乎与常识相矛盾。 几何对应也是令人惊讶的。 因为与直觉相反，存在无法签约的线段，也就是没有共同测量单位的线段。 毕氏学派关于比例定义假定了什么样的量可以签约，所以毕氏学派比例理论的命题都被限定为可签约的量，关于他们的类似形式的一般理论也变得无效。“逻辑矛盾”是有时间的，他们为了保密这件事费了很大的心力，不能向外部传达。 但人们很快发现非通约性并非罕见现象。 泰奥多尔斯指出，面积等于3、5、6、17的正方形的边和单位正方形的边也不相通，分别证明了各自的情况。 随着时间的流逝，无理数的存在逐渐成为人们所熟知的事实。引发第一次数学危机的间接因素之一是后来出现的“非悖论”，使数学家们更加担心：数学作为正确的科学是否可行？ 宇宙的和谐性还存在吗？公元前370年左右，这一矛盾通过毕氏学派鄂尔多斯成比例地新定义的方法得到解决。 他的处理出现在欧几里德原本第5卷，与1872年狄德金描绘的不合理数字的现代解释大致一致。 今天的中学几何教科书中，相似的三角形的处理反映了由于不能签约而带来的一些困难和被解雇的地方。初次数学危机表明，一些几何真理与数学无关，几何量不能完全用整数及其比来表示。 相反，数量可以用几何量来表示。 整数的宝贵地位受到挑战，古希腊数学观点受到很大冲击。 因此，几何学在希腊数学中开始占据特殊地位。 直觉和经验不一定可靠，推论证明也反映了可靠。 从那以后，希腊人从“不言自明”的公理经过演绎推论，开始构建几何学系统。 这是数学思想上的革命，是第一次数学危机的自然产物。回顾以往的各种数学，都是“计算”，只能提供算法。 在古希腊，数学也从实际上应用于实际问题。 例如莴苣预测日食，利用阴影计算金字塔高度，测量船只离岸距离等，都属于计算技术范围。 对于埃及、巴比伦、中国、印度等国家的数学，没有经历过这样的危机和革命，一直走以计算为主，使用为主的道路。 为了第一次数学危机的发生和解决，希腊数学走完全不同的发展道路，形成了欧几里得原本的公理体系和亚里士多德的逻辑体系，为世界数学作出了另一个杰出的贡献。然而，从此希腊人把几何学视为一切数学基础，数学研究属于形式研究，中断了它们之间的密切关系。 这样最大的不幸就是放弃了无理数本身的研究，数学和代数的发展受到很大的限制，基本理论非常稀薄。 这一畸形发展局面在欧洲持续了2000多年。二、二次数学危机十七、十八世纪微积分发生的激烈争论被称为第二次数学危机。 从历史和逻辑的角度来看，其发生也具有必然性。此次危机的萌芽出现于公元前450年左右，zenon发现了由于对无限性的理解问题而产生的矛盾，提出了关于时空有限与无限的四个悖论“二分法”:朝向目的地运动的物体，首先要通过程中点，通过这一点，首先要通过程的1/4点类推是无限的。 的结论是无穷无尽的过程，运动是不可能的。“阿基里斯(荷马史诗善走的英雄)赶不上乌龟”:阿基里斯总是首先到达乌龟的起点，所以乌龟一定跑在前头。 这个论点和二分法悖论相同，不同点在于不需要将必要的道路二等分。“箭不动”:因为箭在运动中的一瞬间必定在一定的位置，所以是静止的，所以箭不会变成运动状态。“运动场和游行”: a、b两个物体等速向相反方向运动。 从静止的c来看，例如a、b都在1小时内移动了2公里，而从a来看，b在1小时内移动了4公里。 运动是矛盾的，运动是不可能的。芝诺所揭示的矛盾是深刻而复杂的。 由于前两个悖论不能关于时间和空间无限分开，所以运动是连续的视点，由于最后两个悖论不能无限分开时间和空间，所以运动是断断续续的视点。 芝诺悖论的建议可能有更深的背景。 不一定专攻数学，在数学王国造成了很大的损失。 他们表明希腊人看到了“无限小”和“极小”的矛盾，但他们不能解决这些矛盾。 结果从希腊几何证明中排除了无穷小。经过许多人的多年努力，终于在17世纪后半期，形成了无穷小运算微积分这一学科。 牛顿和莱布尼茨被公认为微积分的创始人，他们的功绩主要是将各种问题的解法统一为微分法和积分法，有明确的计算步骤的微分法和积分法是相互逆演算的。 由于运算的完整性和应用的普遍性，微积分成为当时解决问题的重要工具。 同时，微积分的基础问题也越来越严重。 关键问题是无限少量竞争是否为零无限小及其分析合理？ 因此，在数学学界和哲学界引起了长达1世纪半的争论，引起了第二次数学危机。无限少量是零？ 两个答案都会引起矛盾。 牛顿在1669年说是常量，1671年说是变为零的变量，1676年被“两个消失量的最终比”取代。 但是，他总是解决不了上述矛盾。 莱布尼茨试图用无限量代替无限量的有限差分，但找不到从无限量到无限量的桥梁。英国的大主教贝克尔在1734年写了一篇文章，攻击说“消失量的幽灵能消化二楼、三楼的人，不会吞噬神学论点呕吐”。 “无视高次无穷小而消除原来的错误，是因为双重的错误，虽然不科学，但是得到了正确的结果”。 贝克也在当时的微积分、无限的方法中抓住了不合理的问题，但他是因为对科学的厌恶和宗教的维持而产生的，不是因为对科学的追求和探索而产生的。当时，数学家和其他学者也批评微积分问题，指出缺乏必要的逻辑基础。 例如，罗尔说，微积分是巧妙的谬论集合。 在那个勇敢创造时代的初期，科学中逻辑上存在着这样的问题，不是个别现象。18世纪的数学思想确实不严谨、直观、强调形式计算，不论基础的可靠性。 其中，特别是由于没有明确的无限概念，导数、微分、积分等概念不明确的无限大概念不考虑发散级数和的任意性等符号使用不严格的连续性而进行微分，不考虑导数或积分的存在性或函数是否为幂级数等。直到19世纪20年代，一些数学家都关注微积分的严格基础。 从博尔扎诺、阿贝尔、柯西、迪利赫里的工作到韦尔斯特拉斯、迪金、康德的工作结束，有半个多世纪的经验，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了严格的基础。博尔扎诺表示连续性的正确定义的阿贝尔指出，严格限制滥用水平的展开和合计的柯西在1821年的代数分析教程中定义了变量，因此认识到函数不一定有解析式，他抓住了极限的概念， 定义了导数和积分，指出无限少量和无限大量不是固定量而是变量，无限少量是以零为界限的变量。狄利给出了函数的现代定义。 在这些工作的基础上，韦尔特里斯消除了其中的不确定性，给出了目前通用的界限定义、连续定义，严格地把导数、积分建立在界限上。19世纪70年代初，韦尔斯特拉斯、迪金、孔特等独立确立了实数理论，并基于实数理论确立了极限论的基本定理，以数学分析为实数理论的严格基础。三、第三次数学危机数学基础的第三次危机是由于1897年的突然冲击而出现的，整体来看迄今尚未得到满意的解决。 这次危机的起因是在康德的一般集合理论的边缘发现了悖论。 集合概念已经渗透到许多数学分支中，实际上由于集合论是数学的基础，集合论中悖论的发现自然怀疑整个数学基本结构的有效性。1897年，福尔蒂查明了集合论的第一个悖论，两年后，科特发现了类似的悖论，参与了集合论的结果。 1902年，罗素发现了与集合概念本身以外的概念无关的悖论。罗素、英国人、哲学家、逻辑学家和数学家。 1902年着作数学原理，和怀德海一起在数学原理 (1910年1913年)把数学归纳为公理体系，是划时代的着作之一。 他在很多领域都有很多着作，1950年获得了诺贝尔文学奖。 他关心社会现象，参加和平运动，开办学校。 19681969年出版了自传。罗素的悖论曾经以各种各样的形式被通俗化，其中最有名的是罗素在1919年给予的，讲述了村里理发师的困境。 理发师发表了只给自己不刮胡子的人刮胡子的原则。 回答了“理发师可以刮胡子吗”的疑问，认识到了这种情况的悖论性质。 如果他刮胡子，他不符合他的原则如果他不刮胡子，他原则上应该为自己刮胡子。罗素的悖论震撼了整座数学大楼。 弗雷格收到罗素的来信后，写在他正要出版的算术的基本法则第2卷的最后。 “科学家不会再遇到比这更尴尬的事了。 下班的时候，那个基础崩溃了。 在这本书等待印刷的时候，罗素老师的信让我处于这样的立场”。 狄德金原打算印刷连续性及无理数第三版，此时也撤回了原稿。 发现拓扑学的“不动点原理”的布朗也主张自己过去做的工作是“胡说八道”，主张放弃不动点原理。自从发现康德的集合论和上述矛盾以来，产生了许多悖论。 集合论的现代悖论与逻辑的一些古代悖论有关。 例如，公元前4世纪欧宝利的悖论说“我现在做的这个陈述是假的”。 如果这个陈述是真的，那是假的，但如果这个陈述是假的，那又是真的。 因此，这个陈述既不是真实的也不是假的，无论如何也逃脱不了矛盾。 更早的是伊皮美尼德(公元前6世纪，克雷人)的悖论“克里特人总是说谎的人”。 简单地分析一下，就会发现这个词也是矛盾的。集合论中悖论的存在明确表明特定场所发生了故障。 自从发现了这个问题，人们就发表了很多文章，为了解决这个问题做了很多尝试。 在数学上，人们根据公理化集合论，加上足以排除知识矛盾的限制，似乎有简单的方法。第一次这样的尝试是策尔梅洛在1908年做的，之后有很多人加工过。 但是，这一进程受到了批评。 因为这只是避开了悖论，不能说明这些悖论，也不能保证将来不会出现别的悖论。另一个程序可以排除解释和已知悖论。 仔细研究发现，上述悖论都与集合s和s的成员m(m由s定义)有关。 这样的定义之一被称为“非断言”，非断言的定义在某种意义上是循环的。 例如，考虑到罗素理发师的悖论，用m标记理发师，用s标记全部成员的集合，则m被非断言地定义为“s的给予方法，只有不刮胡子的人才刮胡子的成员”。 这个定义的循环性质明显的理发师的定义与所有成员有关，理发师本身就是这里的成员。 因此，不容否定的定义可能是解决集合论自我理解悖论的一种方法。 然而，该解决方案存在一些数学家不希望舍弃的严重指责，包括非断言定义，例如定理“每个具有上界的实数非空集都有最小上界(上界)”。其他解决集合论悖论的尝试是逻辑寻找问题的根本原因，也带来了逻辑基础的全面研究。从1900年到1930年左右，数学危机将很多数学家卷入了热议。 他们看到这场危机关系到数学的根本，必须严密考察数学的哲学基础。 在这场大争