2016年四川省内江市高考数学四模试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 21 页） 2016 年四川省内江市高考数学四模试卷（理科） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置 . 1集合 A=x|x N， 0 x 4的子集个数为 （ ） A 8 B 7 C 4 D 3 2复数 z= ，则（ ） A |z|=2 B z 的实部为 1 C z 的虚部为 i D z 的共轭复数为 1+i 3已知函数 f（ x） = ，则 ff（ 2） =（ ） A B C 2 D 4 4给出下列四个结论： 如果 ，那么 在 方向上的投影相等 已知平面 和互不相同的三条直线 m、 n、 l，若 l、 m 是异面直线， m ， l 、且 nl， n m，则 n ； 过平面 的一条斜线有一个平面与平面 垂直 设回归直线方程为 ，当变量 x 增加一个单位时， 平均增加 2 个单位 其中正确结论的个数为 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 5如图的茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（ ） A B C D 6已知 a， b， c， d 成等比数列，则下列三个数列： a+b， b+c， c+d； a b， b c， c d 中，必成等比数列的个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 7如图，在 6 6 的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量 ， ， 满足 =x +y ，（ x，y R），则 x+y=（ ） 第 2 页（共 21 页） A 0 B 1 C 5 D 8 4 名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（ ） A 24 种 B 36 种 C 48 种 D 60 种 9 F 为双曲线 的右焦点，点 P 在双曲线右支上， O 为坐标原点）满足P=5， ，则双曲线的离心率为 （ ） A B C 2 D 10设函数 f（ x）在 R 上存在导数 f（ x），在（ 0， +）上 f（ x） x R，有f（ x） +f（ x） =2以下大小关系一定不正确的是（ ） A B CD 二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 5 分，共计 25 分 ） 11若 ，则 a1+值为 _ 12若实数 x， y 满足不等式组 ，则 z=|x|+3y 的最大值是 _ 13如图是一个空间几何体的三视图（俯视图外框为正方形），则这个几何体的表面积为_ 第 3 页（共 21 页） 14执行如图所 示的程序框图，则输出的 i=_ 15已知函数 ， g（ x） = 4x+m2x+1+m 1，若 M=x|f（ g（ x） e=R，则实数 m 的取值范围是 _ 三、解答题（本大题共 6 个小题，共 75 分 明过程或演算步骤 .） 16甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下： 甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向 阴影部分（图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为 15 度，边界忽略不计）即为中奖 乙商场：从装有 3 个白球和 3 个红球的盒子中一次性摸出 2 球（这些球除颜色外完全相同），如果摸到的是 2 个红球，即为中奖 （ 1）试问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？请说明理由； （ 2）记在乙商场购买该商品的顾客摸到红球的个数为 ，求 的期望 17已知函数 ， x R （ 1）求函数 f（ x）的频率和初相 ； （ 2）在 ，角 A、 B、 C 所对边的长分别是 a、 b、 c，若 ， ， c=2，求 面积 18已知正项数列 前 n 项的和是 任意 n N+，都有 （ 1）求数列 通项公式； 第 4 页（共 21 页） （ 2）设 20|，求数列 前 n 项和 19如图，在四棱锥 P ，平面 平面 E 为 一点， F 为 一点，四边形 矩形， 0， ， D=2 （ 1）求证： 平面 （ 2）若二面角 F C 为 30，设 = ，求 的值 20已知椭圆 的左、右焦点为 M 为短轴端 点，且 S，离心率为 ， O 为坐标原点 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）过点 O 作两条射线，与椭圆 C 分别交于 A， B 两点，且满足 ，证明点 O 到直线 距离为定值，并求弦 度的最小值 21已知函数 f（ x） =s x 的图象在 x=0 处的切线方程为 y=x （ 1）求 s， k 的值； （ 2）若正项数列 足 ， ，证明：数列 递减数列； （ 3）若 ，当 a 1 时，讨论函数 f（ x） 2 与 g（ x）的图象公共点的个数 第 5 页（共 21 页） 2016 年四川省内江市高考数学四模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置 . 1集合 A=x|x N， 0 x 4的子集个数为 （ ） A 8 B 7 C 4 D 3 【考点】 子集与真子集 【分析】 根据题意，易得集合 A 中有 3 个元素，由集合的元素数目与其子集数目的关系，可得答案 【解答】 解：集合 A=x N|0 x 4=1， 2， 3，则其子集有 23=8 个， 故选： A 2复数 z= ，则（ ） A |z|=2 B z 的实部为 1 C z 的虚部为 i D z 的共轭复数为 1+i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 直接利用复数的代数形式的混合运算，化简复数为 a+形式，然后判断选项即可 【解答】 解：复数 z= = = = 1 i 显然 A、 B、 C 都不正确， z 的共轭复数为 1+i正确 故选： D 3已知函数 f（ x） = ，则 ff（ 2） =（ ） A B C 2 D 4 【考点】 分段函数的应用 【分析】 直接利用分段函数的解析式，由里及外逐步求解函数在即可 【解答】 解：函数 f（ x） = ， 则 f（ 2） = ff（ 2） =f（ ） = = = 故选： A 4给出下列四个结论： 第 6 页（共 21 页） 如果 ，那么 在 方向上的投影相等 已知平面 和互不相同的三条直线 m、 n、 l，若 l、 m 是异面直线， m ， l 、且 nl， n m，则 n ； 过平面 的一条斜线有一个平面与平面 垂直 设回归直线方程为 ，当变量 x 增加一个单位时， 平均增加 2 个单位 其中正确结论的个数为 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 根据向量的数量积以及向量投影的定义进行判断 根据线面垂直的判定定理以及异面直线的性质进行判断 根据面面垂直的判定定理进行判断 根据线性回归直线方程的性质进行判断 【解答】 解： 如果 ， 则 | | |， =| | |， ， 即 | |， =| |， ， 那么 在 方向上的投影相等，故 正确， l、 m 是异面直线， l ， m ，且 n l， n m， l、 m 在平面 内的射影是两条相交直线， 且 n 垂直于平面 内的这两条射影，故 n 成立，故 正确 可过斜线与平面 的交点作一条垂直于平面 的直线，则斜线与垂线所确定的平面即与平面 垂直，这样的平面有且只有一个故 正确 设回归直线方程为 ，当变量 x 增加一个单位时， 平均减少 单位，故错误， 故正确是 ， 故选： C 5如图的茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均 成绩的概率为（ ） A B C D 【考点】 茎叶图；古典概型及其概率计算公式 【分析】 根据茎叶图中的数据，求出甲乙两人的平均成绩，再求出乙的平均成绩不小于甲的平均成绩的概率，即可得到答案 【解答】 解：由已知中的茎叶图 得， 第 7 页（共 21 页） 甲的平均成绩为 （ 88+89+90+91+92） =90； 设污损的数字为 x， 则乙的平均成绩为 （ 83+83+87+99+90+x） =， 当 x=9，甲的平均数 乙的平均数， 即乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为 ， 当 x=8，甲的平均数 =乙的平均数， 即乙的平均成绩等于甲的平 均成绩的概率为 ， 所以，甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为 1 = 故选： D 6已知 a， b， c， d 成等比数列，则下列三个数列： a+b， b+c， c+d； a b， b c， c d 中，必成等比数列的个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 【考点】 等比关 系的确定 【分析】 根据题意，当已知条件的等比数列公比为 1 时， 中的三个数不能成等比数列；而公比为 1 时 中的三个数不能成等比数列；而 中的三个数利用等比数列的定义加以证明，可得必定成等比数列由此可得本题答案 【解答】 解：对于 ，当 a， b， c， d 成公比等于 1 的等比数列时， a+b、 b+c、 c+d 都是 0，不能构成等比数列； 对于 ，由于 = = =q（公比）， 所以 = = 可得 = 等比数列； 对于 ，当 a， b， c， d 成公比等于 1 的等比数列时， a b、 b c、 c d 都是 0，不能构成等比数列 综上所述，只有 中的三项能成等比数列， 故选： B 7如图，在 6 6 的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量 ， ， 满足 =x +y ，（ x，y R），则 x+y=（ ） 第 8 页（共 21 页） A 0 B 1 C 5 D 【考点】 向量的三角形法则 【分析】 根据向量的运算法则以及向量的基本定理进行运算即可 【解答】 解：将向量 ， ， 放入坐标系中， 则向量 =（ 1， 2）， =（ 2， 1）， =（ 3， 4）， =x +y ， （ 3， 4） =x（ 1， 2） +y（ 2， 1）， 即 ，解得 ， 则 x+y= ， 故选： D 8 4 名大学生到三家企业应聘，每名大学生至 多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（ ） A 24 种 B 36 种 C 48 种 D 60 种 【考点】 计数原理的应用 【分析】 分两类，第一类，有 3 名被录用，第二类， 4 名都被录用，则有一家录用两名，根据分类计数原理即可得到答案 【解答】 解：分两类，第一类，有 3 名被录用，有 =24 种，第二类， 4 名都被录用，则有一家录用两名，有 =36， 根据分类计数原理，共有 24+36=60（种） 故选 D 9 F 为双曲线 的右焦点，点 P 在双曲线右支上， O 为坐标原点）满足P=5， ，则双曲线的离心率为 （ ） A B C 2 D 【考点】 双曲线的简 单性质 【分析】 运用余弦定理可得 得 得 P 的坐标，代入双曲线方程，结合 a， b， c 的关系，求得 a，再由离心率公式，计算即可得到 【解答】 解：由余弦定理可得 = ， 则 = ， 可设 P 为第一象限的点， 第 9 页（共 21 页） 即有 P（ 3， 4）， 代入双曲线 方程，可得 ， 又 a2+5， 解得 a= ， b=2 ， 则离心率为 e= 故选： B 10设函数 f（ x）在 R 上存在导数 f（ x），在（ 0， +）上 f（ x） x R，有f（ x） +f（ x） =2以下大小关系一定不正确的是（ ） A B CD 【考点】 利用导数研究函数的单调性；导数的运算 【分析】 构造函数 g（ x） =f（ x） g（ x） +g（ x） =0，可得函数 g（ x）为奇函数利用导数可得函数 g（ x）在 R 上是减函数，结合函数的单调性解不等式即可 【解答】 解：令 g（ x） =f（ x） f（ x） +f（ x） =2 g（ x） +g（ x） =f（ x） +f（ x） 22， 即 g（ x） = g（ x）， 函数 g（ x）为奇函数 在（ 0， +）上 f（ x） 在（ 0， +）上 g（ x） =f（ x） x） 0， 故函数 g（ x）在（ 0， +）上是减函数， 故函数 g（ x）在（ ， 0）上也是减函数， 由 f（ 0） =0，可得 g（ x）在 R 上是减函数， 即 g（ ） g（ ）； 即 f（ ） f（ ） 0； 即有 f（ ） f（ ）， 所以 B 不成立， 故选： B 二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 5 分，共计 25 分 ） 11若 ，则 a1+值为 2 【考点】 二项式定理的应用 【分析】 由条件求得 ，再令 x=1，可得 a0+a1+ 1，从而求得 a1+值 【解答】 解：若 ，则 ， 第 10 页（共 21 页） 令 x=1，可得 a0+a1+ 1， a1+ 2， 故答案为： 2 12若实数 x， y 满足不等式组 ，则 z=|x|+3y 的最大值是 19 【考点】 简单线性规划 【分析】 根据题意先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，由z=|x|+3y，进一步求出目标函 数 z=|x|+3y 的最大值 【解答】 解：满足约束条件的平面区域如图所示： z=|x|+3y 表示一条折线（图中虚线）， 由 得 A（ 4， 5） 代入 z=|x|+3y 得 z=| 4|+3 5=19， 当 x= 4， y=5 时， |x|+3y 有最大值 19 故答案为： 19 13如图是一个空间几何体的三视图（俯视图外框为正方形），则这个几何体的表面积为 80+4 【考点】 由三视图求面积、体积 第 11 页（共 21 页） 【分析】 空间几何体正四棱住内挖空了一个圆柱，利用底面边长高求解即可 【解答】 解：空间几何体正四棱住内挖空了一个圆柱， 底面边长为 4，高为 3 的长方体， 圆柱的底面半径为 1， 这个几何体的表面积为 2 4 4 2 12+4 4 3+2 1 3=32 2+48+6=80+4 故答案为： 80+4 14执行如图所示的程序框图，则输出的 i= 11 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 i， S 的值，当 S 2016 时，退出循环，记录输出 i 的值即可 【解答】 解：模拟执行程序，可得 S=0， i=1，顺序执行语句， S=2 0+1=1， i=2； 满足条件 S 2016，执行循环体， S=2 1+2=4， i=3； 满足条件 S 2016，执行循环体， S=2 4+3=11， i=4； 满足条件 S 2016，执行循环体， S=2 11+4=26， i=5； 第 12 页（共 21 页） 满足条件 S 2016，执行循环体， S=2 26+5=57， i=6； 满足条 件 S 2016，执行循环体， S=2 57+6=120， i=7； 满足条件 S 2016，执行循环体， S=2 120+7=247， i=8； 满足条件 S 2016，执行循环体， S=2 247+8=502， i=9； 满足条件 S 2016，执行循环体， S=2 502+9=1013， i=10； 满足条件 S 2016，执行循环体， S=2 1013+10=2026， i=11； 不满足条件 S 2016，退出循环，输出 i=11 故答案为： 11 15已知函数 ， g（ x） = 4x+m2x+1+m 1，若 M=x|f（ g（ x） e=R，则实数 m 的取值范围是 2， 0 【考点】 函数的零点与方程根的关系 【分析】 根据函数单调性的性质将不等式进行转化不等式恒成立问题，构造函数，利用换元法转化为一元二次函数恒成立进行求解即可 【解答】 解：对于函数 ， 当 x 0 时， f（ x） = ， f（ x） = ， 在 0， 1）上， f（ x） 0， f（ x）为增函数； 在（ 1， +）上， f（ x） 0， f（ x）为减函数，且 f（ x） 0 当 x 0 时， f（ x） = ， f（ x） = 0，故函数 f（ x）在（ ， 0）上为减函数 故函数 f（ x）的增区间为 0， 1，减区间为（ ， 0）、（ 1， +） 故函数 f（ x）在（ 0， +）上的最大值为 f（ 1） = e，由于 f（ 1） =e， 故当 x 1 时， f（ x） e， 故 f（ x）的单调性示意图，如图所示： 不等式 f（ g（ x） e，即为 f（ g（ x） f（ 1），即 g（ x） 1 M=x|f（ g（ x） e=R，等价于 g（ x） 1 恒成立， 即 4x+m2x+1+m 1 1 恒成立，即 4x+m2x+1+m 0 恒成立 设 t=2x，则 t 0，则不等式等价为 mt+m 0 恒成立， 即 22m 0，在（ 0， +）上恒成立，设 h（ t） =22m， 故有 ，或 解 可得 ，即 2 m 0； 解 可得 ，即 m 无解 综上可得， 2 m 0， 第 13 页（共 21 页） 故答案为： 2， 0 三、解答题（本大题共 6 个小题，共 75 分 明过程或演算步骤 .） 16甲、乙两家商场对同一种 商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下： 甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分（图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为 15 度，边界忽略不计）即为中奖 乙商场：从装有 3 个白球和 3 个红球的盒子中一次性摸出 2 球（这些球除颜色外完全相同），如果摸到的是 2 个红球，即为中奖 （ 1）试问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？请说明理由； （ 2）记在乙商场购买该商品的顾客摸到红球的个数为 ，求 的期望 【考点】 离散 型随机变量的期望与方差 【分析】 （ 1）设顾客去甲商场转动圆盘，指针指向阴影部分为事件 A，利用几何概型求出顾客去甲商场中奖的概率；设顾客去乙商场一次摸出两个红球为事件 B，利用等可能事件概率计算公式求出顾客去乙商场中奖的概率，由此能求出顾客在乙商场中奖的可能性大 （ 2）由题意知 的取值为 0， 1， 2，分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列和数学期望 【解答】 解：（ 1）设顾客去甲商场转动圆盘，指针指向阴影部分为事件 A， 试验的全部结果构成的区域为圆盘，面积为 r 为圆盘的半径），阴影区域的面积为 所以， 3 分 设顾客去乙商场一次摸出两个红球为事件 B， 则一切等可能的结果有 种，其中摸到的 2 个球都是红球有 种 第 14 页（共 21 页） 所以， P（ B） = 5 分 因为 P（ A） P（ B）， 所以，顾客在乙商场中奖的可能性大 6 分 （ 2）由题意知 的取值为 0， 1， 2 7 分 ， ， 10 分 所以 的分布列为 0 1 2 P 11 分 的数学期望 12 分 17已知函数 ， x R （ 1）求函数 f（ x）的频率和初相； （ 2）在 ，角 A、 B、 C 所对边的长分别是 a、 b、 c，若 ， ， c=2，求 面积 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 【分析】 （ 1）由三角恒等变换化简 f（ x），由此得到函数的频率和初相 （ 2）由题意得到 ，由正弦定理得到 ，由三角形面积公式得到答案 【解答】 解：（ 1） ， =2 （ 2 1）， = =2+ ）， 函数的频率 ， 第 15 页（共 21 页） 初相为 ， （ 2） 在 ， ， ， ， 0 A ， ， ， ， ， 又由正弦定理得 ，解得 ， 18已知正项数列 前 n 项的和是 任意 n N+，都有 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设 20|，求数列 前 n 项和 【考点】 数列递推式；数列的求和 【分析】 （ 1）由已知数列递推式求得首项，再由 221 整理得到 1=1，可得数列 以 1 为首项，公差为 1 的等差数列，则数列 通项公式可求； （ 2）把数列 通项公式代入 20|，然后对 n 分类讨论求得数列 前 n 项和 【解答】 解：（ 1）由题意知：当 n=1 时， 2， ， 得 （ 0）； 当 n 2 时， 221= ， （ an+1）（ 1 1） =0， 1=1， 数列 以 1 为首项，公差为 1 的等差数列， an=n； （ 2）由（ 1）知 an=n， n 20|， 当 n 20 时， 1 20|+|2 20|+|n 20|=20n（ 1+2+n） = ； 当 n 20 时， 1 20|+|2 20|+|20 20|+|21 20|+|n 20|=190+1+2+（ n 20） = = 第 16 页（共 21 页） 综上： 19如图，在四棱锥 P ，平面 平面 E 为 一点， F 为 一点，四边形 矩形， 0， ， D=2 （ 1）求证： 平面 （ 2）若二面角 F C 为 30，设 = ，求 的值 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）证明 用平面与平面垂直的判定定理证明 平面 可； （ 2）以 E 为原点建立空间直角坐标系如图所示，求出相关点的坐标，平面 法向量，平面 法向量，利用空间向量的数量积列出方程，即可求解结果 【解答】 解：（ 1）证明：因为 ， ， 0， 所以 所以 2 分 又平面 平面 平面 面 D， 平面 4 分 （ 2）由（ 1）及已知可得： 两垂直， ， 5 分 以 E 为原点建立空间直角坐标系如图所示，则 E（ 0， 0， 0）、 B（ 0， 3， 0）、 C（ 2， 3， 0）、 P（ 0， 0， ）， 设 F（ x， y， z）， = （ x， y， z ） = （ x+2， y 3， z）， 解得： ， ， =（ ， ， ）， =（ 0， 3， 0）， 8 分 设平面 法向量为 =（ 则 =0， =0， 第 17 页（共 21 页） 解得： 平面 法向量为 =（ ， 0， 1） 10 分 又 平面 法向量为 =（ 0， 0， 1） 二面角 F C 为 30， | |=| | | 即 解得 12 分 20已知椭圆 的左、右焦点为 M 为短轴端点，且 S，离心率为 ， O 为坐标原 点 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）过点 O 作两条射线，与椭圆 C 分别交于 A， B 两点，且满足 ，证明点 O 到直线 距离为定值，并求弦 度的最小值 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程 【分析】 （ 1）由 M 为椭圆短轴端点，且 S ，离心率为 ，列出方程组求出 a， b，由此能求出椭圆 C 的方程 （ 2）推导出两条射线 相垂直，当直线 率不存在时，直线 方程为，原点与直线 距离 ，当直线 率存在时，设直线 方程为y=kx+m，联立 ，得（ 1+28=0，由此利用根的判别式、韦达定理、点到直线的距离公式，结合已知条件能求出弦 长度的最小值 第 18 页（共 21 页） 【解答】 解：（ 1） 椭圆 ， M 为短轴端点，且 S ，离心率为 ， 由题意得 ， ， a2=b2+2 分 解得 a=2 ， b=2， 3 分 椭圆 C 的方程为 4 分 （ 2）证明： ， ，即 两条射线 相垂直 5分 当直线 率不存在时，直线 方程为 ， 此时原点与直线 距离 ， 6 分 当直线 率存在时，设 A（ B（ 直线 方程为 y=kx+m， 解方程组 ，得 （ kx+m） 2=8， 即（ 1+28=0， 则 =164（ 1+2 28） =8（ 8） 0，即 8 0， ， 8 分 +x1+ + ， ， =0， 388=0， 9 分 O 到直线 距离 = 第 19 页（共 21 页） 综上： O 到直线 距离为定值 1