数学应用问题的题型与方法人教

高考数学复习应用的题型和方法一、审查目标：数学应用题是历年高考试题的主要题型之一，也是考生失分较多的题型。在高考中，通常会安排一个答案问题和两个可选的填空题。解决这些问题的关键是要深刻理解问题的含义，学会从书面语言到数学符号语言的翻译和转换。因此，有必要建立适当的数学模型。其中，函数、序列、不等式、置换和组合是较为常见的模型，而三角形、集合数和解数等模型在复课时也应注意。由于数学问题的普遍性、实际问题的复杂性、干扰因素的多样性以及实际问题的特殊性，这些为学生提供了条件和要求来理解主题，在不熟悉的情况下找出必要的内容，并将其转换成函数、方程、不等式、序列、置换、组合、概率、曲线、三角形的解等。二。考试要求：“考试指导”中“解决实际问题的能力”的定义是：能够阅读和理解陈述问题的材料；它能综合运用所学的数学知识、思想和方法解决问题，包括提炼和解决相关学科、生产和生活中的数学问题，并能以数学语言正确表达。指出对于数学应用问题，要把握提出问题所涉及的数学知识和方法的深度和广度，以适应中学数学教学的实际。应用题的“考试要求”是考查考生的应用意识以及运用数学知识和方法分析和解决问题的能力。这一要求分为三个要点：1.要求考生关心国家大事，了解信息社会，重视联系实际，重视数学在生产、生活和科学中的应用，明确“数学有用，数学要用”，积累处理实际问题的经验。2.为了检验考生理解语言的能力，他们需要从通用语言中获取信息，将通用语言转换成数学语言，并使用数学语言作为数学思维和交流的工具。3.检查建立数学模型的初始能力，并能够使用“考试指导”中规定的数学知识和方法来解决这些问题。三。教学过程：基础知识的详细分析(一)高考申请的热点是增减比例和程序的优化。此外，估算计算和信息传递也时有发生。当然，数学高考的应用关注当前国内外的政治、经济、文化，紧跟时代主题，突出学科综合的特点。解决应用问题的一般步骤是(四步法):1.阅读问题：深入阅读和理解，翻译成数学语言，找出主要关系；2.建模：对主要关系进行近似和形式化，并将其抽象成数学问题；3.解决方法：将其转化为标准问题，并选择合适的数学方法来解决；4.评估：验证或评估结果，调整误差，最后将结果应用到现实中进行解释或验证。近年来，高考中经常涉及的数学模型有以下几种：序列模型、函数模型、不等式模型、三角模型、排列组合模型等。函数模型函数是中学数学中最重要的部分。现实世界中普遍存在的优化问题往往可以归结为函数的最大值问题。通过建立相应的目标函数，确定变量的约束条件，并用函数知识和方法求解。(1)根据主题，巧妙地建立功能模型；利用函数性质、不等式等知识得到的函数模型。二。长狭潮道中学数学各章中应用问题的内容如下：1.函数：可以利用函数、指数函数和对数函数的性质来解决一些简单的实际问题。2.不等式：掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均值不小于它们的几何平均值的定理，并简单地应用它。3.平面向量：在立体几何和解析几何中的应用。4.三角函数：理解函数y=Asin(x)中a、和的物理意义；掌握正弦定理和余弦定理，并能初步用它们解决斜三角形，还能用计算器解决三角形的计算问题。5.数列：能用公式解决简单的问题。6.直线和圆的方程：理解线性规划的含义并简单地应用它。7.二次曲线方程：了解二次曲线的初步应用。8.直线、平面和简单几何：平面及其基本性质，平面图形直观的绘制方法。平行直线，分别对应平行边形成的角度，不同平面的直线形成的角度，不同平面的直线的公共垂线，不同平面的直线与直线之间的距离，直线与平面平行的判断与性质，直线与平面垂直的判断与性质，点到平面的距离， 斜线在平面上的投影，直线与平面形成的角度，三条垂直线定理及其逆定理。 平行平面的确定和性质，平行平面之间的距离，二面角及其平面角，两个平面的垂线的确定和性质。多面体、棱柱、棱锥、正多面体、球体等零件都有应用。9.排列、组合、二项式定理：(1)掌握分类计数原理和分步计数原理，用它们来分析和解决一些简单的应用问题；理解置换的含义，掌握置换数的计算公式，并用它解决一些简单的问题。(3)理解组合的含义，掌握组合数的计算公式和组合数的性质，并用它们解决一些简单的应用问题。掌握二项式定理和二项式展开的性质，并用它们来计算和证明一些简单的问题。这一部分主要解决(1)不同类型问题的识别和分析(可重复排列问题、不可重复排列问题、组合问题)；多类多步排列组合问题的解决方法主要是应用特殊元素法或特殊位置法和含有两个以上特殊元素的排除法。10.概率：(1)了解随机事件发生的规律和随机事件概率的意义；为了理解等可能性事件概率的含义，我们将使用排列组合的基本公式来计算一些等可能性事件的概率；(3)为了理解互斥事件中相互独立事件的重要性，将使用互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式来计算某些事件的概率；计算事件在N次独立重复测试中发生K次的概率。11.概率和统计：(1)为了理解随机变量和离散随机变量的含义，我们将找到一些简单的离散随机变量的分布列表；为了理解离散随机变量的期望值和方差的含义，期望值和方差将根据离散随机变量分布表进行计算。(3)样本将通过常用的抽样方法从人群中抽取，如抽水机抽样、系统抽样和分层抽样。(4)样本频率分布将用于估计总体分布；(5)了解正态分布的意义和主要性质；(6)理解假设检验的基本思想；(7)将根据样本的特征估计人口；(8)了解线性回归的方法。12.极限、导数和复数：了解导数概念的一些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线斜率等)。)，并掌握导数o的定义对于应用问题，要求能够阅读和理解的材料能够与数学知识和思维方法相结合，学会解决问题，包括解决具有实际意义或相关学科、生产和生活中的数学问题，并且能够用数学语言正确表达。候选人的弱点主要表现在他们将实际问题转化为数学问题的能力上。将实际问题转化为数学问题的关键是提高他们的阅读能力，即检验数学问题的能力。检验函数、方程、不等式和方程要求我们阅读材料，分析文本叙述所反映的实际背景，理解从背景中总结出的数学本质，抽象出它们之间的定量关系，将文本叙述翻译成数学符号语言，并建立相应的数学模型解。可以说，解决一个应用问题的关键点需要经过三个层次：一是逻辑层次，即理解问题的含义，需要一定的阅读理解能力；二是艺术与科学的关系，即将书面语言转化为数学的符号语言；第三是数学关系，即建立相应的数学模型，之后需要扎实的基础知识和较强的数学能力。在解决应用问题时，最常见的是上述模型，即函数模型、不等式模型、序列模型和三角模型。此外，其他应用问题模型还包括：与排列组合相关的应用问题，具有明显的特点，属于排列组合模型。求解时，要明确区分是分类还是分步、排列还是组合，以及是否有重复和遗漏；与光学、力学和轨道相关的应用问题可以通过基于曲线知识建立适当的坐标系和数学模型来解决。对曲线的研究主要是二次曲线，所以可以称之为二次曲线模型。(二)2004年高考应用题综合评选1.(2004年北京高考)在城市轨道交通的某一路段上，依次有甲、乙、丙三个站，AB=5公里，BC=3公里。在列车时刻表中，规定列车在8: 00准时离开车站A，在8: 07准时到达车站B，并停留一分钟，在8: 12准时到达车站C。在实际运行中，假设列车准时离开A站，在B站停留一分钟，并以相同的速度行驶，同时以恒定的速度行驶。列车从甲站到达某一车站的时间与时刻表上相应时间之间的差值的绝对值称为(一)分别记下列车在B站和C站的运行误差；(二)如果要求b站和c站的列车运行误差之和小于2分钟，应获得的数值范围。解决方法：(一)列车在B站和C站的运行误差(单位：分钟)分别为还有。(二)由于B、C站列车运行误差之和不超过2分钟，因此。(*)在那时，(*)被转化成，我能理解。在那时，(*)被转化成，我能理解。在那时，(*)被转化成，我能理解。总而言之，的值范围是39，说明：本主题主要考察解决不等式的基础知识，并考察应用数学知识分析和解决问题的能力。2.(2004 NMET江苏卷(19)在制定投资计划时，不仅要考虑可能的利润，还要考虑可能的损失。投资者打算同时投资项目甲和项目乙。根据预测，项目甲和项目乙可能的最高利润率分别为100%和50%，可能的最高损失率分别为30%和10%。投资者计划投资不超过10万元，并要求确保可能的资本损失不超过1.8万元。只有问每个投资者在项目A和B上投资了多少百万元，他或她才能解决方案：设置投资者分别在a项和b项投资x万元和y万元。通过主题了解目标函数z=x 0.5y。由上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(包括边界)可以是行区域。做一条直线和一组直线注：本主题主要考查简单线性规划的基础知识和运用数学知识解决实际问题的能力。3.(2004年高考辽宁卷(20)甲方是农场，乙方是工厂。由于乙方的生产必须占用甲方的资源，甲方有权要求乙方赔偿经济损失并获得一定的净收入。在乙方不赔偿甲方的情况下，乙方的年利润x(元)和年产量t(吨)满足函数关系。如果乙方必须对每生产一吨产品向甲方进行补偿(以下简称补偿价格)，(一)乙方年利润w(元)表示为年产量t(吨)的函数，计算乙方获得最大利润的年产量；(二)甲方每年因乙方生产遭受的经济损失金额(人民币)。在乙方按照获得最大利润的产量生产的前提下，为了在索赔中获得最大的净收入，甲方应向乙方要求的赔偿价格是多少？(一)方案一：由于补偿价格为元/吨，乙方实际年利润为：W=2000.2分因为w=2000，在那个时候，w得到了最大值。因此，乙方获得最大年利润的年产量为4吨。解决方案二：由于补偿价格为元/吨，乙方实际年利润为：W=2000.2分由，设为0是的。当t 0时；当t t0时，0，所以当t=t0时，w得到最大值。因此，乙方获得最大年利润的年产量(吨).4分(二)如果甲方的净收入为u元，则U=st-0.002t2.6分代入上述公式，得到甲方净收入U与补偿价格s之间的函数关系.8分再说一遍，让=0，s=20。当s 0；当s 20时，0，所以当s=20时，u得到最大值。因此，当甲方要求乙方赔偿价格s=20(人民币/吨)时，将获得最大的净收入.12分注：如果用代入u的表达式来表示解，分数可参照上述标准给出。4.(2004年NMET广东卷(20) A中心从其正东、正西和正北三个观测点收到报告：正西和正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点比其他两个观测点晚4秒。众所周知，从每个观测点到中心的距离是1020米。试着确定大声噪音的位置。(假设当时的声音传播速度为340米/秒：所有相关点在同一平面上)解决方案：如图所示，以接收中心为原点，x轴的正方向和y轴的正方向为正东和正北方向，建立直角坐标系。如果A、b和c分别是西、东和北观测点，则a (-1020，0)、b (1020，0)、c (A(-1020)让P(x，y)成为嘈杂的生活点。甲和丙同时听到很大的噪音，导致|PA|=|PB|。因此，P在交流电的垂直平分线P0上，P0的方程是y=-x。因为点B比点A晚4秒听到爆炸，所以| PB |-| PA |=3404=1360从双曲线的定义可知，点P在以A和B为焦点的双曲线上。A=680，c=1020，取决于主题。将y=-x代入上述公式，得到 Pb | | pa |，答：大噪声发生在接收中心西北450米处。5.(2004年高考重庆卷艺术(20)一家工厂生产某一产品，已知该产品的月产量(吨)与每吨产品价格(元/吨)的关系为：生产x吨产品的成本为(元)。工厂每月生产多少吨产品来最大化利润？最大利润是多少？(利润=收入-成本)解决方案：每月生产X吨的利润是，所以它是最大点，而最大值是：答：每月生产200吨产品利润最大，最高利润为315万元。6.(2004年湖北高考(21)突发事件不采取任何防范措施的概率为0.3，这将导致400万元的损失。有两种独立的预防措施。仅采取预防措施的费用为45万元，仅采取预防措施的费用为30万元