高级运筹学-第5章：模煳模式识别.ppt

1,第五章模糊模式识别,5.1模糊子集的内积和外积一、内积和外积的定义设A,B(X)，其隶属函数为A(x),B(x)，则称：,为A与B的内积；,为A与B的外积。,例5-1A1、A2是实数域R上两个正态模糊子集，其隶属函数为：,(小中取大，故为交点C),(大中取小，故为0),2,二、有限论域内积和外积定义设X是有限论域，且A,B(X)，A=(a1,a2,an),B=(b1,b2,bn)，则称：,为A与B的内积；,为A与B的外积。,例5-2设A=(0.4，0.6，0.3，0.5),B=(0.1，0.7，0.5，0.2)则AB=(0.40.1)(0.60.7)(0.30.5)(0.50.2)=0.10.60.30.2=0.6AB=(0.40.1)(0.60.7)(0.30.5)(0.50.2)=0.40.70.50.5=0.4,三、性质1、(AB)c=AcBc，(AB)c=AcBc,2、对任意模糊向量A均有：AAc1/2，AAc1/2,3,四、模糊向量的笛卡尔积设模糊向量A=(a1,a2,an),B=(b1,b2,bn)，则称AB=ATB为A与B的笛卡尔积(是一个模糊矩阵)。,例5-3设A=(0.4，0.6，0.3，0.5),B=(0.1，0.7，0.5，0.2),4,五、AB与AB几何意义1、AB=ABT：表示同一个论域X上二个模糊概念与的相关程度(模糊关系)。A可看成是由单元素论域到论域X上的模糊关系：,BT可看成是由论域X到单元素论域到上的模糊关系：,由模糊关系合成定义：ABT表示由到到上的模糊关系：,2、AB=ATB：表示用两个不同论域X与Y表现同一个模糊概念时，X与Y(元素)间的转换关系。模糊概念可看成是单元素论域,在论域X与Y上分别表现为模糊向量A与B：,AT可看成是由论域X到单元素论域上的模糊关系：,B可看成是由单元素论域到论域Y上的模糊关系：,由模糊关系合成定义：ATB表示X到Y上的模糊关系：,5,例5-4判断企业经营管理好坏，取五个评判因素构成论域X=产值、产量、费用、利润、资金周转。在X上有“企业管理好”、“企业管理较好”、“企业管理差”三个模糊概念，分别用模糊向量表示：A=(0.7，0.9，0.8，1，0.8)，B=(0.5，0.6，0.5，0.7，0.8)，C=(0.1，0.2，0，0.3，0.4)。,则：X上“企业管理好”与“企业管理较好”这两个模糊概念的相关程度是：,X上“企业管理较好”与“企业管理差”这两个模糊概念相关程度是：,6,例5-5企业“经济效益好”这个模糊概念，在论域“利润”与论域“费用”上分别表现为模糊向量：A=(0.5，0.9，0.3，0.2)，B=(0.1，0.8，0.4)，,则：“经济效益好”这个模糊概念，在两个论域“利润”与“费用”之间的转换关系为：,7,5.2模糊子集的贴近度一、贴近度的定义设A,B(X)，即A、B是论域X上的二个模糊子集，则称：,为A与B的贴近度。,例5-6A1、A2是实数域R上两个正态模糊子集，其隶属函数为：,例5-7设A=(0.4，0.6，0.3，0.5),B=(0.1，0.7，0.5，0.2)因为AB=0.6，AB=0.4,8,二、贴近度的性质1、(A,A)=1，当存在0、1隶属度时。,2、(A,B)=(B,A)0,3、若ABC，即xX，A(x)B(x)C(x)则(A,C)(B,C),9,三、贴近度的其它定义设X是有限论域，且A,B(X)，A=(a1,a2,an),B=(b1,b2,bn)，,1、,2、,3、,例5-8设有模糊子集A=(0.4，0.6，0.3，0.5),B=(0.1，0.7，0.5，0.2),、,、,、,10,5.3最大隶属原则和择近原则一、最大隶属原则设A1,A2,An(X)，x0X是论域X上的一个确定元素，,则认为x0相对隶属于模糊子集为Ai。说明：是模式识别的直接方法，即模型是模糊的(A1,A2,An是模糊子集)，而被识别的对象x0是确定的，判别x0相对隶属于A1,A2,An中的哪一个。,例5-9由五种商品组成论域U=X1,X2,X3,X4,X5，定义商品“质量好”的模糊子集为A=(0.81，0.53，1，0，0.24)，“质量差”的模糊子集为B=(0.05，0.21，0，0.86，0.57)用最大隶属原则判定A(X1)=MaxA(X1),B(X1)，即0.81=Max0.81,0.05知商品Xl相对隶属于A，即相对隶属于“质量好”；同理知商品X2、X3相对隶属于A，即相对隶属于“质量好”；商品X4、X5相对隶属于B，即相对隶属于“质量差”。,11,例5-10识别三角形：取论域U=(A,B,C)|A+B+C=，ABC0，其中A,B,C为三角。定义以下几个模糊子集，并给出其隶属函数：,近似等腰三角形I：,近似直角三角形R：,近似正三角形E：,近似直角等腰三角形IR=IR：,非典型三角形O=IcRcEc：,解：,12,例5-11取年龄为论域U=0,100，给出两个模糊概念“年轻”和“年老”，表示它们的两模糊子集记为Y与O，其隶属函数定义为：,若你的年龄x=55岁，问：这个人相对来说是属于“年轻”还是“年老”?,所以这个人相对来说是属于“年老”。,13,二、择近原则设A1,A2,An(X)，B(X)，均是论域X上的模糊子集，,则认为模糊子集B相对归于模糊子集为Ai。说明：是模式识别的间接方法，即模型是模糊的(A1,A2,An是模糊子集)，被识别的对象B也是模糊的，判别B相对归于A1,A2,An中的哪一个。,例5-12论域X=X1,X2,X3,X4,X5上有三个模糊子集：A1=(0.9，0.1，0.6，0.3)，A2=(0,0.3,0.4,0.8)，A3=(0.2，0.7，1，0)，问：模糊子集B=(0.1，0.6，0.3，0.4)相对归于哪一个模糊子集Ai?解：先计算B与Al、A2、A3的贴近度：,所以模糊子集B相对归于模糊子集A3。,14,例5-13识别小麦：以重量为论域，以“百粒重”特性考察五种优良品种的模糊子集及隶属函数为：,现有一种未知的小麦标本，以“百粒重”为特性的模糊子集为B，其隶属函数为：,问：这种小麦品种应属于哪一种类型？解：先计算B与Al、A2、A3、A4、A5的贴近度：,所以这种小麦品种B应属于A1，即“早熟”。,15,5.4模糊相似选择一、问题的引入论域X=X1,X2,X3,Xn，对xi,xjX，通过比较来决定这两个元素的优劣，用rij0，1来表示xi优于xj的程度，rij越大，则xi优于xj的程度越大：1.若rij=1，则xi绝对优于xj；2.若rij=0，则xi绝对不优于xj；3.若rij=0.5，则xi和xj优越程度相同；4.若rij(0.5，1)，则xi优于xj；5.若rij(0，0.5)，则xi不优于xj；现在的问题是：要在X中选择一个相对来说是X中最优的元素。二、元素间的优越程度不具有传递性若xi优于xk，并且xk优于xj，则不能得出xi优于xj的结果(因为影响因素很多)。,例5-14由三种商品组成论域U=X1,X2,X3，由100人组成小组来评判这三种商品，结果如下：有80人认为商品x1优于x2，20人认为x2优于x1，即得优越程度r12=0.8(0.5,1)，此时认为商品x1优于x2，此时r21=1-r12=1-0.8=0.2；有70人认为商品x2优于x3，30人认为x3优于x2，即得优越程度r23=0.7(0.5,1)，此时认为商品x2优于x3，此时r32=1-r23=1-0.7=0.3；有60人认为商品x3优于x1，40人认为x1优于x3，即得优越程度r31=0.6(0.5,1)，此时认为商品x3优于x1，此时r13=1-r31=1-0.6=0.4；我们得到：x1优于x2，并且x2优于x3，但x1并不优于x3。,16,三、模糊选择关系设R(XX)，即R是XX上的一个模糊关系，若R满足下列两个条件：对xiX，均有R(xi,xi)=0.5对xi,xjX，均有R(xi,xj)+R(xj,xi)=1则称R是X上的一个模糊选择关系。特例：对有限论域，则表示R的模糊矩形称为模糊选择矩阵，仍记为R=(rij)。如上例中的模糊选择矩阵为：,主对角线上元素均为0.5，为运算方便，将R主对角线上元素换成0，仍记为R,另外，R的截矩阵R，表示了在水平上，论域X上各元素的比较关系，称之为水平选择关系矩阵，如：,分别表现了X上的0.8与0.6水平选择关系。,17,四、论域X中的元素相对选优1、确定X上模糊选择矩阵R=(rij)，rij即为xi优越于xj的程度。方法(一)：打分法，见上例；方法(二)：距离法。对xi和xj，仅用一个因素来表示两者的优越程度：a.先计算距离Di=|Xi-X0|，Dj=|Xj-X0|，其中X0是预先选定的一个不变的比较基础。b.再先计算xi优越于xj的程度rij：,对xi和xj，用二个因素来表示两者的优越程度：a.先计算距离Di1=|Xi1-X01|，Di2=|Xi2-X02|；Dj1=|Xj1-X01|，Dj2=|Xj2-X02|，其中X01与X02是预先选定的二个不变的比较基础。b.再先计算xi优越于xj的程度rij：,如有必要，各因素还可赋一定的权重。,18,2、写出模糊选择矩阵R的各水平选择矩阵R。3、从由大至小逐个检查R，若某个R中第i行元素除主对角线上元素以外，其余元素均为1，则元素Xi为论域X中相对最优元素。4、划去R中第i行第i列元素，得一新的只有n-1个元素的模糊选择矩阵R，重复以上步骤，可得X中第二优元素，直至将论域X中全部元素进行模糊排序为止。,例5-15由三种商品组成论域X=X1,X2,X3，用模糊选择方法对三种商品进行相对排序。解：第一步：确定X上三个元素X1,X2,X3之间模糊选择关系矩阵R，采用打分法。组成100人的小组来评判这三种商品，结果如下：有80人认为商品x1优于x2，20人认为x2优于x1，即得优越程度r12=0.8，此时r21=1-r12=1-0.8=0.2；有70人认为商品x2优于x3，30人认为x3优于x2，即得优越程度r23=0.7，此时r32=1-r23=1-0.7=0.3；有60人认为商品x3优于x1，40人认为x1优于x3，即得优越程度r31=0.6，此时r13=1-r31=1-0.6=0.4。于是得模糊选择关系矩阵R,19,第二步：依次取=0.8，0.7，0.6，0.4有,在R0.4中，已有第1行元素除主对角线上元素以外，其余元素均为1，则商品X1为相对最优。,第三步：划去R中第1行第1列元素，得模糊选择矩阵R,第四步：依次取=0.7，0.3有,在R0.7中，已有第1行元素除主对角线上元素以外，其余元素均为1，则商品X2为相对次优。此时知商品X3为相对最差。,从而，三种商品的模糊排序为：X1X2X3。,20,例5-16在工业产品质量管理中，需考核几种同类产品质量的优劣。设被考核的同类产品有A、B、C三种,分别确定二项指标进行综合考核,这二项指标的比较基础分别是X01=100，X02=200，三种产品关于这二项指标的资料如下：,试用模糊选择方法比较这三种产品的质量优劣。,解：第一步：确定论域X=A，B，C上三个元素之间模糊选择关系矩阵R，采用距离法。a.先计算距离DA1=|XA1-X01|=|130-100|=30，DA2=|XA2-X02|=|180-200|=20；DB1=|XB1-X01|=|70-100|=30，DB2=|XB2-X02|=|240-200|=40；DC1=|XC1-X01|=|110-100|=10，DC2=|XC2-X02|=|220-200|=20；b.再先计算A，B，C之间的优越程度rij：,21,第二步：依次取=0.708，0.625，0.583，0.417，0.375，0.292有,在R0.625中，已有第3行元素除主对角线上元素以外，其余元素均为1，则产品C为相对最优。,第三步：划去R中第3行第3列元素，得模糊选择矩阵R,第四步：依次取=0.583，0.417有,在R0.583中，已有第1行元素除主对角线上元素以外，其余元素均为1，则产品A为相对次优。此时知产品B为相对最差。,从而，三种产品的模糊排序为：CAB。,22,五、论域X上的模糊子集相对选优1、模糊子集的距离：设论域X=X1,X2,Xn，A、B(X)，其隶属度为A(Xi),B(Xi)，称,为A，B间的绝对线性距离。,为A，B间的相对线性距离。,例5-17设有三个元素的论域X=X1,X2,X3，已知两模糊子集A=(0.1,0.5,0.3)，B=(0.7,0.1,0.9)，则,2、模糊子集的优越程度：设论域X=X1,X2,Xn，A1,A2,Ak(X)，另设样本模糊子集A0(X)，,则模糊子集Ai优于Aj的程度rij为,23,3、模糊子集选优设论域X=X1,X2,Xn，A1,A2,Ak(X)，即A1,A2,Ak是论域X上的模糊子集。,、确定X上模糊选择矩阵R=(rij)，rij即为Ai优越于Aj的程度。,、写出模糊选择矩阵R的各水平选择矩阵R。,、从由大至小逐个检查R，若某个R中第i行元素除主对角线上元素以外，其余元素均为1，则Ai为论域X中相对最优模糊子集。,、划去R中第i行第i列元素，得一新的只有n-1个元素的模糊选择矩阵R，重复以上步骤，可得X中第二优模糊子集，直至将论域X中全部模糊子集进行模糊排序