初中数学_圆教案

第二十四章第二十四章第二十四章第二十四章圆圆圆圆 单元要点分析单元要点分析 教学内容教学内容 1本单元数学的主要内容 （1）圆有关的概念：垂直于弦的直径，弧、弦、圆心角、圆周角 （2）与圆有关的位置关系：点和圆的位置关系，直线与圆的位置关系， 圆和圆的位置 关系 （3）正多边形和圆 （4）弧长和扇形面积：弧长和扇形面积，圆锥的侧面积和全面积 2本单元在教材中的地位与作用 学生在学习本章之前，已通过折叠、对称、平移旋转、推理证明等方式认识了许多图形 的性质， 积累了大量的空间与图形的经验 本章是在学习了这些直线型图形的有关性质的基 础上，进一步来探索一种特殊的曲线圆的有关性质通过本章的学习，对学生今后继续 学习数学，尤其是逐步树立分类讨论的数学思想、归纳的数学思想起着良好的铺垫作用 本 章的学习是高中的数学学习，尤其是圆锥曲线的学习的基础性工程 教学目标教学目标 1知识与技能 （1）了解圆的有关概念，探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、 弦之间的相 等关系的定理，探索并理解圆周角和圆心角的关系定理 （2）探索并理解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系：了解切线的概念， 探索切 线与过切点的直径之间的关系， 能判定一条直线是否为圆的切线， 会过圆上一点画圆的切线 （3）进一步认识和理解正多边形和圆的关系和正多边的有关计算 （4） 熟练掌握弧长和扇形面积公式及其它们的应用； 理解圆锥的侧面展开图并熟练掌 握圆锥的侧面积和全面积的计算 2过程与方法 （1）积极引导学生从事观察、测量、平移、旋转、推理证明等活动 了解概念，理解 等量关系，掌握定理及公式 （2）在教学过程中，鼓励学生动手、动口、动脑，并进行同伴之间的交流 （3） 在探索圆周角和圆心角之间的关系的过程中， 让学生形成分类讨论的数学思想和 归纳的数学思想 （4）通过平移、旋转等方式，认识直线与圆、圆与圆的位置关系， 使学生明确图形在 运动变化中的特点和规律，进一步发展学生的推理能力 （5）探索弧长、扇形的面积、 圆锥的侧面积和全面积的计算公式并理解公式的意义、 理解算法的意义 3情感、态度与价值观 经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生 有意识地积累活动经验，获得成功的体验；利用现实生活和数学中的素材，设计具有挑战性 的情景，激发学生求知、探索的欲望 教学重点教学重点 1平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧及其运用 2在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等及其运用 3在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等， 都等于这条弧所对的圆心角的一 半及其运用 4半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90 的圆周角所对的弦是直径及其运用 5不在同一直线上的三个点确定一个圆 6直线 L 和O 相交dr 及 其运用 7圆的切线垂直于过切点的半径及其运用 8 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线并利用它解决一些具体问 题 9从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等， 这一点和圆心的连线平分两 条切线的夹角及其运用 10两圆的位置关系：d 与 r1和 r2之间的关系：外离dr1+r2；外切d=r1+r2；相交 r2-r1d CDC ABr；点 P 在圆上d=r；点 P 在圆内dr 点 P 在圆上d=r 点 P 在圆内dr点 P 在圆外；如果 d=r点 P 在圆上； 如果 dr 点 P 在圆上d=r 点 P 在圆内d = 点 在圆外 点 在圆上 点 在圆内 2不在同一直线上的三个点确定一个圆 3三角形外接圆和三角形外心的概念 4反证法的证明思想 5以上内容的应用 六、布置作业六、布置作业 1教材 P110复习巩固1、2、3 2选用课时作业设计 第一课时作业设计第一课时作业设计 一、选择题一、选择题 1下列说法：三点确定一个圆；三角形有且只有一个外接圆； 圆 有且只有一个内接三角形；三角形的外心是各边垂直平分线的交点； 三角形的外心到三角形三边的距离相等； 等腰三角形的外心一定在 这个三角形内，其中正确的个数有（ ） A1B2C3D4 2如图，RtABC，C=90，AC=3cm，BC=4cm，则它的外心与顶点 C 的距离为（） A2.5B2.5cmC3cmD4cm B A C B A C D O 3 如图， ABC 内接于O， AB 是直径， BC=4， AC=3， CD 平分ACB， 则弦 AD 长为（） A 5 2 2B 5 2 C2D3 二、填空题二、填空题 1经过一点 P 可以作_个圆；经过两点 P、Q 可以作_ 个 圆， 圆心在_上；经过不在同一直线上的三个点可以作 _个圆， 圆心是_的交点 2边长为 a 的等边三角形外接圆半径为_，圆心到边的距离为 _ 3直角三角形的外心是_的中点，锐角三角形外心在三角形_， 钝角三角形外心在三角形_ 三、综合提高题三、综合提高题 1如图，O 是ABC 的外接圆，D 是 AB 上一点，连结 BD，并延长 至 E，连结 AD， 若 AB=AC，ADE=65，试求BOC 的度数 B A C B A C O 2如图，通过防治“非典” ，人们增强了卫生意识，大街随地乱扔生活垃 圾的人少了，人们自觉地将生活垃圾倒入垃圾桶中，如图 24-49 所示， A、B、C 为市内的三个住宅小区，环保公司要建一垃圾回收站，为方 便起见， 要使得回收站建在三个小区都相等的某处，请问如果你是工 程师，你将如何选址 3 ABC 中， AB=1， AC、 BC 是关于 x 的一元二次方程 （m+5） x2- （2m-5） x+12=0 两个根，外接圆 O 的面积为 4 ，求 m 的值 答案答案: : : : 一、1B2B3A 二、1无数，无数，线段 PQ 的垂直平分线，一个，三边中垂线 2 3 3 a 3 6 a 3斜边内外 三、1100 2连结 AB、BC，作线段 AB、BC 的中垂线，两条中垂线的交点即为垃 圾回收站所在的位置 3R2= 4 ，R= 1 2 ， AB=1，AB 为O 直径， AC2+BC2=1，即（AC+BC）2-2ACBC=1， （ 25 5 m m + ）2- 2 12 5m+ =1，m2-18m-40=0，m=20 或 m=-2， 当 m=-2 时，r，如图（a）所示； 点 P 在圆上d=r，如图（b）所示； 点 P 在圆内dr，C 与直线 AB 相离； 当 r=4 时，dr，C 与直线 AB 相交 刚才的判定定理也好，或者例 1 也好，都是不知道直线是切线，而判定切 线，反之，如果知道这条直线是切线呢？有什么性质定理呢？ 实际上，如图，CD 是切线，A 是切点，连结 AO 与O 于 B，那么 AB 是对称轴， 所以沿 AB 对折图形时， AC 与 AD 重合， 因此， BAC=BAD=90 B A C D O 因此，我们有切线的性质定理: 圆的切线垂直于过切点的半径圆的切线垂直于过切点的半径 三、巩固练习三、巩固练习 教材 P102练习，P103练习 四、应用拓展四、应用拓展 例例 2 2 2 2如图，AB 为O 的直径，C 是O 上一点，D 在 AB 的延长线上， 且DCB= A （1）CD 与O 相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明 理由 （2）若 CD 与O 相切，且D=30，BD=10，求O 的半径 分析： （1）要说明 CD 是否是O 的切线，只要说明 OC 是否垂直于 CD， 垂足为 C， 因为 C 点已在圆上 由已知易得：A=30，又由DCB=A=30得：BC=BD=10 解： （1）CD 与O 相切 理由：C 点在O 上（已知） AB 是直径 ACB=90，即ACO+OCB=90 A=OCA 且DCB=A OCA=DCB OCD=90 综上：CD 是O 的切线 （2）在 RtOCD 中，D=30 COD=60 A=30 BCD=30 BC=BD=10 AB=20，r=10 答： （1）CD 是O 的切线， （2）O 的半径是 10 五、归纳小结（学生归纳，总结发言老师点评）五、归纳小结（学生归纳，总结发言老师点评） 本节课应掌握： 1直线和圆相交、割线、直线和圆相切，切线、切点、直线和圆相离等 概念 2设O 的半径为 r，直线 L 到圆心 O 的距离为 d 则有： 直线 L 和O 相交dr 3切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的 切线 4切线的性质定理，圆的切线垂直于过切点的半径 5应用上面的知识解决实际问题 六、布置作业六、布置作业 1教材 P110复习巩固 4、5 2选用课时作业设计 第二课时作业设计第二课时作业设计 一、选择题一、选择题 1 如图， AB 与O 切于点 C， OA=OB， 若O 的直径为 8cm， AB=10cm， 那么 OA 的长是（） A41B 40. 14. 60CD 2下列说法正确的是（） A与圆有公共点的直线是圆的切线 B和圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线; C垂直于圆的半径的直线是圆的切线; D过圆的半径的外端的直线是圆的切线 3已知O 分别与ABC 的 BC 边，AB 的延长线，AC 的延长线相切， 则BOC 等于（） A 1 2 （B+C）B90+ 1 2 A C90- 1 2 AD180-A B A C O 二、填空题二、填空题 1如图，AB 为O 直径，BD 切O 于 B 点，弦 AC 的延长线与 BD 交 于 D 点， 若 AB=10，AC=8，则 DC 长为_ B A C D O B A C P O 2如图，P 为O 外一点，PA、PB 为O 的切线，A、B 为切点，弦 AB 与 PO 交于 C，O 半径为 1，PO=2，则 PA_，PB=_， PC=_AC=_，BC=_AOB=_ 3设 I 是ABC 的内心，O 是ABC 的外心，A=80，则 BIC= _， BOC=_ 三、综合提高题三、综合提高题 1如图，P 为O 外一点，PA 切O 于点 A，过点 P 的任一直线交O 于 B、C， 连结 AB、AC，连 PO 交O 于 D、E （1）求证：PAB=C （2）如果PA2=PDPE，那么当 PA=2，PD=1 时，求O 的半径 B A C E D P O 2设 a、b、c 分别为ABC 中A、B、C 的对边，面积为 S，则内 切圆半径 r= S P ， 其中 P= 1 2 （a+b+c） ； （2）RtABC 中，C=90， 则 r= 1 2 （a+b-c） 3如图 1，平面直角坐标系中，O1与 x 轴相切于点 A（-2，0） ，与 y 轴交于 B、C 两点，O1B 的延长线交 x 轴于点 D（ 4 3 ，0） ，连结 AB （1）求证：ABO=ABO； （2）设 E 为优弧AC的中点，连结 AC、BE 交于点 F，请你探求 BE BF 的值 （3）如图 2，过 A、B 两点作O2与 y 轴的正半轴交于点 M，与 BD 的 延长线交于点 N，当O2的大小变化时，给出下列两个结论 BM-BN 的值不变；BM+BN 的值不变，其中有且只有一个结论是 正确的，请你判断哪一个结论正确，证明正确的结论并求出其值 （友情提示：如图 3，如果 DEBC，那么 AEAD ACAB =） O 1 0 B A C y x D B A C E D O 2 O 1 0 B A y x D N M (1)(2) 答案答案: : : : 一、1A2B3C 二、14 1 2 233 3 2 3 2 3 2 1203130160 三、1 （1）提示：作直径 AF，连 BF，如右图所示 （2）由已知PA2=PDPE，可得O 的半径为 3 2 2 （1）设 I 为ABC 内心，内切圆半径为 r， 则 SABC= 1 2 ABr+ 1 2 BCr+ 1 2 ACr，则 r= s p ； （2）设内切圆与各边切于 D、E、F，连结 ID、IE， 如图，则 IDAC，IEBC，又C=90，ID=IE， DIEC 为正方形，CE=CD=r， AD=AF=b-r，BE=BF=a-r，b-r+a-r=c，r= 1 2 （a+b-c） l B A C E D F 3 （1）证明：连结 O1A，则 O1AOA，O1AOB，O1AB=ABO， 又O1A=O1B，O1AB= O1BA，ABO1=ABO （2）连结 CE，O1AOB， 1 2 5 OBOD O DAD =， 设 DB=2x，则 O1D=5x，O1A=O1B=5x-2x=3x， 在 RtDAO1中， （3x）2+（10 3 ）2=（5x）2，x= 6 5 ， O1A=O1B= 5 2 ，OB=1， OA 是O1的切线，OA2=OBOC，OC=4，BC=3，AB=5， E 为优弧 AC 的中点，ABF=EBC， BAF=E，ABFEBC， ABBF BEBC =， BEBF=ABBC=35 （3）解：BM-BN 的值不变 证明：在 MB 上取一点 G，使 MG=BN，连结 AM、AN、AG、MN， ABO=ABO，ABO=AMN，ABO=ANM， AMN=ANM，AM=AN， AMG=ANB，MG=BN， AMGANB，AG=AB， ADBG，BG=2BO=2， BM-BN=BG=2 其值不变 上课时间：上课时间： 课题课题 24.224.224.224.2 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系( ( ( (第第第第 3 3 3 3 课时课时课时课时) ) ) ) 目目标标 （三维目（三维目 标）标） 了解切线长的概念 理解切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，熟练 掌握它的应用 复习圆与直线的位置关系和切线的判定定理、性质定理知识迁移到切 长线的概念和切线长定理，然后根据所学三角形角平分线的性质给出三角 形的内切圆和三角形的内心概念，最后应用它们解决一些实际问题 重点重点 难点难点 1重点：切线长定理及其运用 2难点与关键：切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决 一些实际问题 O B A P 教法教法讲授法演示法读书指导法 学法学法归纳指导归纳指导启迪思维法启迪思维法 教学过程教学过程： （详案）（详案） 讨论修讨论修 改改 一、复习引入一、复习引入 1已知ABC，作三个内角平分线，说说它具有什么性质？ 2点和圆有几种位置关系？你能说说在这一节中应掌握几个方面的知 识？ 3直线和圆有什么位置关系？切线的判定定理和性质定理，它们如何？ 老师点评： （1）在黑板上作出ABC 的三条角平分线，并口述其性质： 三条角平分线相交于一点；交点到三条边的距离相等 （2）（口述） 点和圆的位置关系有三种， 点在圆内dr；不在同一直线上的三个点确定一个圆；反证法的思想 （3） （口述） 直线和圆的位置关系同样有三种： 直线 L 和O 相交dr；切线的判定定理：经过 半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线；切线的性质定理：圆的切线垂 直于过切点的半径 二、探索新知二、探索新知 从上面的复习，我们可以知道，过O 上任一点 A 都可以作一条切线， 并且只有一条，根据下面提出的问题操作思考并解决这个问题 问题：在你手中的纸上画出O，并画出过 A 点的唯一切线 PA，连结 PO， 沿着直线 PO 将纸对折，设圆上与点 A 重合的点为 B，这时，OB 是O 的一条 半径吗？PB 是O 的切线吗？利用图形的轴对称性，说明圆中的 PA 与 PB， APO 与BPO 有什么关系？ 学生分组讨论，老师抽取 34 位同学回答这个问题 老师点评：OB 与 OA 重叠，OA 是半径，OB 也就是半径了又因为 OB 是半 径，PB 为 OB的外端，又根据折叠后的角不变，所以 PB 是O 的又一条切线， 根据轴对称性质，我们很容易得到 PA=PB，APO=BPO 我们把 PA 或 PB 的长，即经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线 段的长，叫做这点到圆的切线长 从上面的操作几何我们可以得到： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连 线平分两条切线的夹角 下面，我们给予逻辑证明 例例 1 1如图，已知 PA、PB 是O 的两条切线 求证：PA=PB，OPA=OPB 证明：PA、PB 是O 的两条切线 OAAP，OBBP 又 OA=OB，OP=OP， RtAOPRtBOP PA=PB，OPA=OPB B A C E D O F 因此，我们得到切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等它们的切线长相等，这一点和圆心的连这一点和圆心的连 线平分两条切线的夹角线平分两条切线的夹角 我们刚才已经复习， 三角形的三条角平分线于 一点，并且这个点到三条边的距离相等 （同刚才画的图）设交点为 I，那么 I 到 AB、 AC、 BC 的距离相等， 如图所示， 因此以点 I 为圆心， 点 I 到 BC 的距离 ID 为半径作圆，则I 与ABC 的三条边都相切 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切 圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心 例例 2 2 如图， 已知O 是ABC 的内切圆， 切点为 D、 E、 F， 如果 AE=1， CD=2， BF=3，且ABC 的面积为 6求内切圆的半径 r 分析：直接求内切圆的半径有困难，由于面积是已知的，因此要转化为 面积法来求就需添加辅助线，如果连结 AO、BO、CO，就可把三角形 ABC 分为 三块，那么就可解决 解：连结 AO、BO、CO O 是ABC 的内切圆且 D、E、F 是切点 AF=AE=1，BD=BF=3，CE=CD=2 AB=4，BC=5，AC=3 又SABC=6 1 2 （4+5+3）r=6 r=1 答：所求的内切圆的半径为 1 三、巩固练习三、巩固练习 教材 P106练习 四、应用拓展四、应用拓展 例例 3 3如图，O 的直径 AB=12cm，AM、BN 是两条切线，DC 切O 于 E，交 AM 于 D，交 BN 于 C，设 AD=x，BC=y （1）求 y 与 x 的函数关系式，并说明是什么函数？ （2）若 x、y 是方程 2t 2-30t+m=0 的两根，求 x，y 的值 （3）求COD 的面积 B A C E D O N M 分析： （1）要求 y 与 x 的函数关系，就是求 BC 与 AD 的关系， 根据切线长定理：DE=AD=x，CE=CB=y，即 DC=x+y， 又因为 AB=12，所以只要作 DFBC 垂足为 F， 根据勾股定理，便可求得 l B A C （2）x，y 是 2t 2-30t+m=0 的两根， 那么 x1+x2= 30900830900860 444 mm+ +=， x1x2= 2 m ， 便可求得 x、y 的值 （3）连结 OE，便可求得 解： （1）过点 D 作 DFBC，垂足为 F，则四边形 ABFD 为矩形 O 切 AM、BN、CD