相互独立事件同时发生的概率教学目标

相互独立事件同时发生的概率教学目标1了解相互独立事件的意义，会用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率，会计算事件在 次独立重复试验中恰好发生 次的概率2通过对独立事件概念的理解，以及其与互斥、对立事件的区别与联系的认知，培养学生类比推理能力和提取有效信息的能力3通过相互独立事件及其概率的计算，进一步熟练概率的计算方法，提高运用数学知识解决实际问题的能力4结合二项分布公式与二项展开式的关系，理解事物之间相互联系的观点和运用对立统一规律分析问题的辩证方法5通过对概率知识的学习，了解偶然性寓于必然性之中的辨证唯物主义思想教学建议（一）教材分析 1知识结构2重点难点分析重点是相互独立事件及其同时发生的概率和独立重复试验，难点是建立在n次独立重复试验中共事件恰好发生k次的概率计算公式（1）理解相互独立事件应当注意区别“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念前者指两个事件不可能同时发生，后者指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响一般，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为相互独立事件是以它们能够同时发生（如果其 中没有不可能事件）为前提的要通过实例对比，加深理解（2）正确理解相互独立事件同时发生的概率两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即一般地，如果事件 相互独立，那么 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率之积，即 注意：公式适用的前提是 、 为互相独立事件；同样地，只有当 为相互独立事件时公式才成立学习相互独立事件同时发生的概率乘法公式时，应注意相互独立事件的概率乘法公式只适用于相互独立事件，否则公式不能使用如果所求事件是n个事件积的事件，用乘法公式求它的概率时，要突出强调这n个事件是相互独立的，否则公式同样不能使用（3）判断相互独立事件的关键首先注意：“互斥”和“相互独立”是不同的两个概念：“互斥”指两个事件不能同时发生，而“相互独立”指一个事件是否发生不影响另一个事件的发生显然两事件不可能既互斥（彼此发生有影响）又相互独立（彼此是否发生互不影响）如果事件 与 是互相独立事件则： 与 ， 与 ， 与 ，也都是互相独立事件要注意，相互独立的几个事件，任一事件的发生，对其各个事件是否发生没有影响但其中若干事件同时发生的事件可能对其余某一事件发生有影响（4）理解 次独立重复试验恰发生 次的概率公式首先理解独立重复试验：指同样的条件下，重复地各次之间相互独立地进行的一种试验，也称为贝努力里试验若在一次试验中某事件发生的概率是 ，那么在 次独立重复试验中这一个事件恰好发生 次的概率为 进行 次试验，试验的总结果中有些结果是 发生，其余是 发生，总结果是这样若干个 与若干个 的一种搭配总结果中事件 恰好发生 次，则 发生 次，就是 个 与 个 的一种搭配而符合条件的搭配种类又同， 和 出现的先后次序不同有关在 次试验的总结果中，含 个 和 个 的搭配种类，相当于从 个号码中任取 个号码的不同取法的种数，共有 种，而所有这些搭配显然都是等可能的、且互斥，然后再根据相互独立事件的概率乘法公式，满足上述要求的每一种搭配发生的概率都是 如果把 次独立重复试验中事件 恰好发生 次的概率记为 ，根据上述分析，可得为 对上述公式要理解好，这对于灵活使用公式至关重要（5）二项分布与二项式定理的联系由于在 次独立重复试验中，事件 恰好发生 次的概率为： 如果令 ，利用二项展开式：可见 就是 的展开式中的第 项，所以也把 叫二项分布公式，更进一步， 次独立重复试验中事件 至少发生 次概率为： 设 则 且 ，正好是 的二项式展开式中的第 项且 即： ， 有的书将公式 叫做二项概率公式（二）教法建议1建议从实例中引入相互独立事件的概念，以引起学生学习的兴趣2教学中应强调一些容易混淆的概念之间的联系与区别，如弄清“相互独立事件”与“互斥事件”的区别与联系3教师要强调运用各个公式的前提条件，防止学生在没有分清前提条件下就滥用公式如应用独立事件同时发生的概率公式时，应注意两个前提：事件之间相互独立；这些事件同时发生教学中还要注意对学生计算中出现的一些典型错误进行认真剖析4在 次独立重复试验中，事件 恰好发生 次的概率 ，对这个公式应联系二项展开式的通项公式5教学要在教学中向学生逐渐灌输解决有关概率问题的一般思路一般来讲，要先判断问题中有哪些简单事件，并用字母（如 等）表示出来，再用 或 、 、 的函数式于将所求事件表达出来，这其中往往要用到些运算律，如 等最后，恰当地选取概率的加法或乘法公式，求出所求事件的概率把握机会，成自险出掷骰子是一种机会游戏，骰子是在立方体（一般是牛骨制成）的六个面上分别刻上1个，2个，3个，4个，5个，6个“点儿”，两人赌博时，掷出的骰子向上的面上点多者赢，这纯属碰运气，事实上，每次掷扔，每个面朝上的机会均等，都是 骰子这个玩艺儿历史悠久，考古学家从伊拉克北部发现了公元前2000多年前的骰子，虽然自古各国都明令禁赌，但大多数国家屡禁不止赌博有百害但也有一功，就是它引起了一些数学家的注意，并从中酝酿提炼出一门称为概率论的数学分支，例如伽利略、帕斯卡、赛马都是最早研究赌博中的概率问题的代表人物 概率已经成了世界公认的数学专用名词，其实称它为“机会”更直白更准确，也许是由于嫌机会这个词“太土”，才用了“概率”这两个似显文雅的专业名词事实上，叫什么也无所谓，你看玫瑰花，不管把它称为什么，看起来还是那么美，闻起来还是那么香我们知道了，所谓概率大就是机会大，例如电视台天气预报说本市明天降水的概率是40，就是在告诉我们明天下雨（雪）的机会是40如此说来，掷骰子掷出偶点儿的概率是 ，掷硬币掷出国徽面的概率是 ，生小孩生男孩的概率也是 等等；当然并不是什么事情出现的机会都是一半对一半，一般需要进行认真的计算下面是几个小实例（1）m个红球，n个白球，其质地和大小都一样，放入一个布袋中，搅拌后从中任意摸出r个球， ，问这r个球全是红球的概率是多少从 个球中任意抽取r个球的方式数为 ，从 m个红球中抽出 r个的可能方式有 种，所以从袋子中摸出的r个球全红的机会的大小为 例如袋子里原有10个红球，10个白球，抽得10个球全红的机会为只有大约百万分之五的可能抽得的十个球全红（或全白），这个机会太小，几乎是不能实现的事（2）甲乙二人赌博，各下赌注500元，约定先胜三局者把1000元赌注全拿走；设两人赌技相当，赌了三局，甲以2：1暂时领先，这时忽闻人呼：抓赌的来了！甲乙落荒而逃，到一个隐蔽处去分赌本，问这时应如何分这1000元赌本才使两赌徒都心服口服？一种方案是没有赌完，各拿回自己的500元赌本，但甲不同意，他认为自己已经多赢一局，应多拿第二种方案是全归甲；乙不服，乙说再赌下去也许他会连扳两局呢！第三种方案是按赢的比例分配，甲拿1000元 的，乙拿 。仔细分析起来，按比例似合乎人们的心理习惯，但也并不合理事实上，甲乙若继续赌下去，至多再两局可见胜负，即平时所言的“五打三胜”，两局有四种可能性：甲连胜，甲乙各胜一局甲先胜，乙甲各胜一局乙先胜，乙连胜由于2人赌技相同，以上四种可能出现的机会是一致的，而前三种结果都造成甲最后的胜利，所以甲在此未进行到底的赌博中得胜的机会是 ，申应分得赌注750元历史上，17世纪赌徒梅累（Mere）向帕斯卡提出这个问题（本题数据有改动），帕氏苦想很久才得到解答，1654年7月29日，帕斯卡把他的解法寄给了费马，两人继续通信深入讨论了与此有关的概率问题16世纪意大利数学家卡当写了论赌博一书，算是概率方面的第一本著作，1713年，雅各贝努利出版名著猜度术，1760年法国的蒲丰写出偶然性的算术试验，1812年拉普拉斯出版分析概率论，1896年，我国翻译成汉语的第一本概率著作是决疑数学；我国已是当今概率方面的强国，北大已故教授许宝騄等人对现代概率论与数理统计有世界领先水平的工作（3）n个人 随机地排成一路纵队。紧跟在 后面的概率是多少？n个人的随机排列共n！种可能， 紧跟 的事件有n种可能，即 为排头， 排第二，或 排第二， 排第三， 排第n1， 排队尾其他的n2人有 种排法，所以所求概率为（4）从有10条金鱼的鱼缸中提出一条金鱼后再放回鱼缸，这样一直抓过5次鱼，指定的一条鱼被抓3次的概率是多少？因为第一次抓有10种可能性，第二次，第五次也都有10种可能，共计 种可能性；在5次抓鱼中指定的鱼抓住3次的各种可能为 种，每种可能出现时其余2次捉鱼的方式有 ，故所求概率为：让我们从数学上把上面几个实例略加总结，在现实世界当中，许多现象是事先无法断定其结果的，例如掷骰子，骰子没有落稳之前，谁也不知道它朝上的一面是几个点儿，每掷一次，就是一次随机试验，每次随机试验可能得到的结果称为基本事件例如掷骰子这种随机试验共有六个可能的结果，它的基本事件个数是 这些基本事件出现的可能性或称机会是均等的，其中我们关心的事件A若可能出现m次，例如掷骰子出现六个点是我们关心的事件A，则称 为事件A的古典概率，P（A）中的P是Probability的字头，掷骰子中事件A的概率 在古典概率当中基本事件是有限的冠以“古典”两个字是因为在概率的初创时期，研究赌博等活动时的思路与方法就是如此，它主要借助于组合数学的一些初等的古典的计数方法来进行计算。（5）已知事件A的概率是p，条件不变的情况下试验n次，事件A出现r次的概率是多少？例如掷骰子，出现6个点的概率为 ，若共掷了6次，掷出3次六个点儿的“好事儿”的概率是多少？或者一台机床加工零件的合格率是 ，如果这台机床共产生了8个零件，其中有7个是合格品的概率是多少？这种问题涉及的是每次随机试验只有成功或失败两种结果，所以格外引人注意；同时每次试验是独立进行的，例如掷骰子，上次掷出几个点，并不影响下一次的成败（6个点算成功），每次试验的条件是相同的，从而每次试验成败的机会是一致的这种问题可以直观地转述成如下问题：在n个袋子里都放入M个红球和 个白球，袋子编号为1，2，n，依次从每个袋子中各取出一个球为n次试验，那么从一个袋子中抽得的是红球这种事件A的概率为 ，问的是抽出的这n个球和恰有r个是红球的概率是多少？这里把每两个球都视为相异的从n个袋子里各取一球的可能性为 种，下面计算其中恰有r个球是红色的可能性有几种r个红球分别来自r个袋子，这些红球出自那些袋子的可能性有 种；对这每种可能性，从其每袋中抽一红球的可能性有 种，从其余的 个袋子中各抽一个白球，其可能性是 种，所以抽出的n个球中恰有r个红球这一事件A的可能性有 种，从而P（A）为 ,（1）如果把从一个袋子里抽得一只红球算做一次胜利，抽得白球算做一次失败，则每次失败的概率为 ，令 ，每次成功的概率为p，（1）可改写成 ， （2）真是巧得很，P（A）恰为 展开式的第 项，所以（2）表达的概率也称为“二项概率”回到开始的两个具体问题6次掷骰子出了三次“六个点儿”， ，代入二项概率公式（2）得生产8个零件7个合格的那个问题中， ，代入公式（2）得即连产8个零件有7个合格的概率是0.336，这种可能性并不大！可见合格率低于80是不能令人满意的汉书高帝纪上记载了刘邦的话曰：“夫运筹帷幄之中，决胜千里之外，吾不如子房”子房者，即张子房，又名张良刘邦出身草莽，个人成分流氓，他起兵夺天下，靠的是张良等人出谋划策，确定取胜的战略战术当然常胜将军并不是仗仗皆胜，只要胜多做少，每次参战取胜的概率大于八成就算是常胜将军了在现实社会当中，人们在拼搏，在抗争，办事之前必须要对成功与失败的机会之大小有一个估算，不能指望什么事都是“零风险”的，一般而言失败的概率总会大于零，只求其足够小就是了，概率方法提供了我们估算成败可能性大小的数学方法，是一种十分中用十分有趣够数学分支常言道，抓住机遇，成自险出，工于计算，胸有成竹概率分布二项分布独立重复试验，又叫做贝努里试验，是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验在这种试验中，每一次试验的结果只有两种，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的在 次独立重复试验中某事件恰好发生 次的概率（ 且 ）组成“离散”型随机变量的一种相当重要的概率分布二项分布 关于在n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率计算公式，在此给出一般性的推导：已知 是某随机试验中可能出现的事件，且 ，现在把这个试验独立地重复进行 次，要求事件 恰好发生 次的概率首先，在 次试验的总结果中，有些试验结果是 ，有些试验结果是 ，所以总结果是几个 与几个 的一种搭配要求总结果中事件 恰好发生 次，就是 个 与 个 的一种搭配而合乎这个要求的搭配，又因 与 出现的先后次序不同而可能有许多种在 次试验的总结果中，含 个 以及 个 的搭配的种数，相当于从 个号码中任取 个号码的不同取法的种数 种，而所有这些引起的搭配显然都是等可能的，并且均是互斥的”其次，根据相互独立事件的概率的乘法公式，合乎上述要求的每一种搭配发生的概率都是 其实 是二项式 展开式中的第 项，因此也把这个公式叫做二项分布公式探究活动学校的游园会组织游戏，参赛者付0.10元可摇出三枚骰子，记录下点数，得高点数者有奖金，规则如下： 总点数奖金181元17，160.5元15，14，130.20元（1）得奖0.20元，0.50元，1元的概率各是多少？（2）每个参赛者期望的奖励是多少？（3）若校方不准备赚，也不打算亏，你能否设计一个奖励方案，达到这一目的？（注：每个参赛者期望的奖励为摇一次奖所得奖金的期望值减去成本，其计算公式是 ，其中 分别为得奖0.2元，0.5元，1元的概率。）参考答案：摇出3枚骰子，每枚骰子有6面，