数学一轮第九篇解析几何第9讲　曲线与方程教案理新人教

第九回曲线和方程式【2013年大学入学考试会这样考试】1 .研究方程曲线与曲线方程的对应关系2 .采用直接法或定义法求轨迹方程式3 .结合平面向量知识确定运动点轨迹，研究轨迹性质【复习指导】为了正确理解曲线和方程的概念，可以通过分析几何的基本思想和坐标法研究几何问题，从方程的角度实现几何问题的代数解决，根据给定条件选择合适的方法求出曲线轨迹方程。 通常的方法有直接法、定义法、保留系数法、相关点法、参数法等。基础整理1 .曲线和方程通常，在平面正交坐标系中，曲线c上的点与二项式f(x，y)=0的实数解具有以下关系(1)曲线上点的坐标都是该方程的解(2)将该方程式解作为坐标的点都是曲线上的点，将该方程式称为曲线的方程式，将该曲线称为方程式的曲线.2 .用直接法求运动点轨迹方程的一般程序(1)确立适当的坐标系，用有序的实数对(x，y )表示曲线上的任意点m的坐标。(2)写出符合条件p的点m的集合P=M|p(M)。(3)用坐标表示条件p(M )，列出式f(x，y)=0.(4)化方程式f(x，y)=0是最简单的形式。(5)说明以简化方程式的解为坐标的点全部在曲线上。3 .两条曲线的交点(1)曲线方程的定义表明，两个曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即由两个曲线方程组成的方程的实数解，而方程有一些解，两个曲线有一些交点，方程没有解，两个曲线没有交点(2)在两条曲线中存在交点这样充分条件是在由这些方程式构成的方程式中存在实数解.主题通过坐标法，根据已知条件求出轨迹方程，通过方程的研究，明确曲线的位置、形状及性质是分析几何学必须完成的两大任务，是分析几何学的核心问题，也是高考热点之一。四个步骤对于中点弦问题，常见的解题方法是点差法，解题顺序如下设置点：设定弦的两端点坐标代入：代入圆锥曲线方程差：即减去二式，用平方分散式展开上式整理：转换为斜率与中点坐标的关系式，求解五种方法求轨迹方程的一般方法(1)直接法：直接利用条件，确立x，y之间的关系F(x，y)=0(2)未定系数法：知道求出的曲线的类型，求出曲线方程式，首先根据条件设定求出的曲线的方程式，根据条件决定该未定系数(3)定义法：首先根据条件，出动点的轨迹是某个已知的曲线，从曲线的定义直接写出出动点的轨迹方程式(4)代入转移法：在可动点P(x，y )依赖于其他可动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)还在某个已知曲线上的情况下，用x，y代数式表示x0，y0，将x0，y0代入已知曲线而求出的轨迹方程式(5)参数法：动点P(x，y )坐标间的关系难以直接发现，关联动点也不能利用时，可以考虑将x、y全部表示为中间变量(参数)，得到参数方程式，消除参数而得到普通方程式。双基自测1.f(x0，y0)=0是点P(x0，y0 )的曲线f(x，y)=0上的()a .充分的不必要条件b .不充分的必要条件c .充足条件d .充分或不必要的条件分析曲线和方程定义的两个条件来确定关系若发现f(x0，y0)=0点P(x0，y0 )在曲线f(x，y)=0上，并且P(x0，y0 )在曲线f(x，y)=0上，则f(x0，y0)=0f(x 0，y0)=0是P(x0，y0)曲线f (x，y)=0的充分条件.答案c2.(2012泉州品质检查)方程式x2 xy=x的曲线为().a .一分b .直线c .两条直线d .点和直线解析方程式为x(x y-1)=0x=0或x y-1=0。因此，方程式表示直线x=0或直线x y-1=0.答案c3.(2012合肥月考)已知点p是直线2x-y 3=0上的可动点，定点m (-1，2 )，q是线段PM的延长线上的点，|PM|=|MQ|，q的轨迹方程式为().A.2x y 1=0B.2x-y-5=0C.2x-y-1=0D.2x-y 5=0分析是出于问题意识，若设m为PQ中点，设Q(x，y )，则p为(-2-x，4-y )，代入2x-y 3=0，成为2x-y 5=0.答案d4.(2012福州模拟)从点p到直线x=-1的距离比到点(2，0 )的距离小1时，点p的轨迹为().a .圆b .椭圆c .双曲线d .抛物线根据问题，从点p到直线x=-2距离等于到点(2，0 )的距离，所以点p的轨迹是抛物线.答案d5.(2011北京)曲线c是平面内与两个定点f1(-1，0 )和f2(1，0 )的距离之积与常数a2(a1)相等的点的轨迹曲线c超过坐标原点曲线c关于坐标原点对称点p在曲线c上，F1PF2面积为a2以下.其中，所有正确结论的序列号为_将从运动点M(x，y )到两定点F1、F2的距离的积设为a2，将得到曲线c的方程式设为=a2由于a1，所以原点坐标不满足曲线c方程式，因此错误.将曲线c的方程式的x、y分别置换为-x、-y，该方程式不变，因此曲线c关于原点对称，即正确. sf1pf2=|pf1|pf2| sinf1pf 2| pf1| .答案基于直接法求解轨迹方程【例1】已知的- o的方程式为x2 y2-2=0、44卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡审查问题的视点从已知的条件中找出同量的关系，直接写出满足p点坐标的方程式化简并轨迹方程式若求解P(x，y )，则圆o 方程式为(x-4)2 y2=6、已知|AP|=|BP|，因此若|op|2-|ao|2=|op|2-|ob|2，则|op|2-2=|op|2-6 .x2 y2-2=(x-4)2 y2-6因此，动点p轨迹方程式为x=用直接法求曲线方程的一般程序：(1)确立适当的坐标系，设定点坐标(x，y )(2)列举几何等量关系式(3)在坐标条件下改变方程式f(x，y)=0(4)变方程是最简单的方程(5)检验是检验点轨迹的纯粹性和完备性如图所示，通过点p (2，4 )在相互垂直直线l1、l2.l1与x轴为a、l2与y轴为b相交时，求出线段AB的中点m的轨迹方程式.解设点m的坐标为(x，y )m是线段AB中点a点坐标为(2x，0 )，b点的坐标为(0，2y ) .(2x-2，-4)、=(-2，2 y-4 )已知=0，8756； -2(2x-2)-4(2y-4)=0即，x 2y-5=0.线段AB中点m的轨迹方程式为x 2y-5=0.2考虑定义法求轨迹方程例2一动圆与圆x2 y2 6x 5=0外接，且与圆x2 y2-6x-91=0内接，求出圆心m轨迹方程式，说明其是哪条曲线.审查问题的视点根据曲线定义确立关系式，求出轨迹方程式如解图所示，将动圆的中心设为M(x，y )，将半径设为r，将已知圆的中心分别设为O1、O2，将圆的方程式分别设为(x 3)2 y2=4(x-3)2 y2=100当动圆与圆O1外接时有|O1M|=R 2.动圆与圆O2内接时，有|O2M|=10-R.将的二式相加，|O1M| |O2M|=12|O1O2|从动圆心M(x，y )到点o1(-3，0 )和o2(3，0 )的距离之和为常数12点m的轨迹在焦点O1 (-3，0 )、O2 (3，0 )处长轴长度等于12的椭圆2 c=6，2 a=12，c=3，a=6，b2=36-9=27圆心轨迹方程为=1，轨迹为椭圆在利用圆锥曲线定义求出轨迹的情况下，如果求出的轨迹与某个圆锥曲线的定义一致，则写根据曲线的方程式求出的轨迹方程式，利用作为求出的轨迹的圆锥曲线上的特定点的轨迹的圆锥曲线的定义列举方程式，简化求出方程式，且注意变量范围.已知圆C1:(x 3)2 y2=1和圆C2:(x-3)2 y2=9，动圆m同时与圆C1和圆C2外接，求出动圆中心m的轨迹方程式.如解图所示，动圆m与圆c-1以及圆c-2分别与点a和点b外接，通过两圆外接的充分条件得到|MC1|-|AC1|=|MA|MC2|-|BC2|=|MB|MA|=|MB|因此|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2.这表示从动点m到两定点C2、C1距离之差为常数2，小于|C1C2|=6.根据双曲线的定义，动点m的轨迹是双曲线的左分支(从点m到C2的距离大，到C1的距离小)，在此，设a=1、c=3、b2=8，设点m的坐标为(x，y )，该轨迹方程式为x2-=1(x-1 ) .考虑三参数法、相关点法求轨迹方程已知抛物线y2=4px(p0)，o是顶点，a、b是抛物线上两动点，满足OAOB，如果OMAB是m点，则求出点m的轨迹方程式.审查问题的视点设定了m点的坐标(x，y )后，直接查找x，y的关系式是不好的，因此求出其他的变量来确立x，y之间的关系设M(x，y )、直线AB方程式为y=kx b .从OMAB得到k=-.通过从y2=4px和y=kx b中去除y而获得k2x2 x(2kb-4p) b2=0.因此x1x2=如果删除x，则ky2-4py 4pb=0.因此y1y2=从OAOB到y1y2=-x1x2所以=-，b=-4kpy=kx b=k(x-4p )当代入k=-时，x2 y2-4px=0(x0 ) .即，m的轨迹方程式为x2 y2-4px=0(x0 )当难以找到满足形成曲线的运动点P(x，y )的坐标x，y的关系式时，用第三变量t确立t和x，t和y的关系式x=(t )，y=x(t )，并且通过在若干条件下消去t，间接找到x和y满足的方程式，并且生成运动点P(x，y )的曲线如图所示，从双曲线x2-y2=1上点q引出直线x y=2的垂线，将求出n .线段QN的中点p的轨迹方程式作为垂线.设解的动点p的坐标为(x，y )，点q的坐标为(x1，y1)，则n点的坐标为(2x-x 1，2 y-y1)。-点n在直线x y=2上2x-x1 2y-y1=2，此外，pq垂直于直线x y=2。=1，即x-y y1-x1=0，用、的联合求解q是双曲线x2-y2=1x-y=1即2-2=1整理为2x2-2y2-2x 2y-1=0这是求得的动点p的轨迹方程式。规范解答18如何求解曲线方程曲线和方程是分析几何学的一条主线，在高考中对曲线和方程的要求不大，但以高考中建立曲线方程为切入点命名的问题也很常见。 近年来高考问题发现了客观和主观问题的曲线和方程命题点。首先，要深入理解求曲线轨迹方程的各种方法及其应用的基本问题类型，注意参数法和交叉轨道法的应用。 其次，求轨迹方程式时，要注意检查，扣除多馀的点，弥补缺失的点，再次明确圆锥曲线的性质，选择合适的问题解决策略，制定具体的问题解决方法，如参数的选择，关联点的变化规律和制约条件等。在(本小题满点12点) (2011天津)平面直角坐标系xOy中，已知点P(a，b)(ab0)是动点，F1、F2分别是椭圆=1的左、右焦点的F1PF2是等腰三角形.(1)求椭圆的离心率e(2)直线PF2和椭圆与a、b两点相交，m是直线PF2上的点，满足AB=-2，求出点m的轨迹方程式.(1)设定焦点坐标，根据|PF2|=|F1F2|求解方程式，由此能够求出(2)根据问题意图设定a、b的2点坐标，通过代入关系式=-2，能够求出点m的轨迹方程式.解(1)为F1(-c，0 )，F2(c，0)(c0)。从题意开始|PF2|=|F1F2|即=2c整理后，22 -1=0=-1 (舍)，或=e=.(4分)(2)从(1)得知a=2c，b=c时，椭圆方程式为3x2 4y2=12c2直线PF2的方程式是y=(x-c )a、b两点坐标满足方程清除y并整理，设定为5x2-8cx=0、x1=0、x2=c得到方程的解(六点)请设置a、b假设点m的坐标为(