数学八直线、平面、简单几何体

高考数学复习专题八 直线、平面、简单几何体【考点聚焦】考点1：空间两条直线的位置关系.考点2：直线与平面平行与垂直.考点3：两平面平行与垂直.考点4：空间角与距离.考点5：棱柱的概念与性质.考点6：棱锥的概念，正棱锥的性质.考点7：球的概念、性质.考点8：异面直线间的距离、多面体的欧拉公式、简单几何体的面积和体积.【自我检测】1、平面的基本性质：公理1：.公理2：.公理3：.推论1：.推论2：.推论3：.2、叫做异面直线.判断异面直线的方法有、.3、平行与垂直的判断（叙述定理的内容）：直线与直线直线与平面平面与平面平行1、定义2、公理43、线面平行性质定理4、线面垂直性质定理5、面面平行性质定理1、定义2、判定定理3、面面平行性质定理1、定义2、判定定理及推论3、线面垂直性质定理垂直1、定义2、线面垂直性质定理3、三垂线定理及逆定理1、定义2、判定定理1、23、面面垂直性质定理4、面面平行性质定理1、定义2、判定定理4、空间中的角异面直线直线与平面平面与平面角1、定义：2、范围：3、求法：1、定义：2、范围：3、求法：1、定义：2、范围：3、求法：5、空间中的距离空间中的八种距离：两点间距离、点到直线距离、点到平面距离、平行直线间的距离、异面直线间距离、直线到平面距离、两平行平面间的距离、球面上两点间距离.【重点难点热点】问题1：位置关系的判断根据概念、性质和定理进行判断，认定是正确的，要能证明；认定上不正确的，只需举反例.注意作图辅助说明.例1设、为两两不重合的平面，l、m、n为两两不重合的直线给出下列四个命题：若，则；若m，n，m，n，则；若，l，则l；若=l，=m，=n，l，则mn其中真命题个数是 （ ）A1 B2 C3 D4思路分析：根据面面平行的判定和性质定理来判断.解：显然不对；要保证m、n相交才有，此选项不对；由面面平行性质定理可知对；l，=m，l，lm，又m，l，又=l且l，ln从而lmn，故对最后应选B点评：本题主要考查空间想象能力，判定定理、性质定理的理解与掌握及简单的推理论证能力演变1：已知m、n是两条不重合的直线，、是三个两两不重合的平面给出下列的四个命题：若，则；若，则；若，则；若m、n是异面直线，则，其中真命题是 .和.和.和.和点拨与提示：解立几推断题应联系具体图形以及相关定理解决问题2：证明空间线面平行与垂直由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证明思路.例1：如图, 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AA14，点D是AB的中点， （I）求证：ACBC1； （II）求证：AC 1/平面CDB1；思路分析：（1）证明线线垂直方法有两类：一是通过三垂线定理或逆定理证明，二是通过线面垂直来证明线线垂直；（2）证明线面平行也有两类：一是通过线线平行得到线面平行，二是通过面面平行得到线面平行.解法一：（I）直三棱柱ABCA1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4AB=5， ACBC，且BC1在平面ABC内的射影为BC， ACBC1；（II）设CB1与C1B的交点为E，连结DE， D是AB的中点，E是BC1的中点， DE/AC1，ABCA1B1C1Exyz DE平面CDB1，AC1平面CDB1， AC1/平面CDB1；解法二：直三棱柱ABCA1B1C1底面三边长AC3，BC4，AB5，AC、BC、C1C两两垂直，如图，以C为坐标原点，直线CA、CB、C1C分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则C（0,0，0），A（3,0，0），C1（0,0，4），B（0,4，0），B1（0,4，4），D（，2,0）（1）（3,0，0），（0，4,0），0，ACBC1.（2）设CB1与C1B的交战为E，则E（0,2，2）.（，0,2），（3,0，4），DEAC1.点评：转化转化2平行问题的转化：面面平行线面平行线线平行；主要依据是有关定义及判定定理和性质定理演变2：如图，在斜三棱柱中，侧面与底面ABC所成的二面角为，E、F分别是棱的中点（）求与底面ABC所成的角；（）证明平面点拨与提示：例2在斜三棱柱A1B1C1ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C底面ABC (1)若D是BC的中点，求证 ADCC1；(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM=MA1，求证 截面MBC1侧面BB1C1C；思路分析：（1）线面垂直线线垂直；（2）利用面面垂直的判断定理证明面面垂直. 证明 (1) AB=AC，D是BC的中点，ADBC底面ABC平面BB1C1C，AD侧面BB1C1C，ADCC1 (2) 延长B1A1与BM交于N，连结C1N，AM=MA1，NA1=A1B1，A1B1=A1C1，A1C1=A1N=A1B1， C1NC1B1，底面NB1C1侧面BB1C1C，C1N侧面BB1C1C截面C1NB侧面BB1C1C，截面MBC1侧面BB1C1C 点评：（1）本题属于知识组合题类，关键在于对题目中条件的思考与分析，掌握做此类题目的一般技巧与方法，以及如何巧妙作辅助线 转化转化（2）垂直问题的转化：面面垂直线面垂直线线垂直；演变3： 已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1=B1C1=2，D、D1分别是AB、A1B1的中点，平面A1ABB1平面A1B1C1，异面直线AB1和C1B互相垂直 (1)求证 AB1C1D1；(2)求证 AB1面A1CD；问题3：求空间图形中的角与距离根据定义找出或作出所求的角与距离，然后通过解三角形等方法求值，注意“作、证、算”的有机统一.解题时注意各种角的范围：异面直线所成角的范围是090，其方法是平移法和补形法；直线与平面所成角的范围是090，其解法是作垂线、找射影；二面角0180，其方法是：定义法；三垂线定理及其逆定理；垂面法 另也可借助空间向量求这三种角的大小.例4：在棱长为a的正方体ABCDABCD中，E、F分别是BC、AD的中点 (1)求直线AC与DE所成的角；(2)求直线AD与平面BEDF所成的角；(3)求面BEDF与面ABCD所成的角 思路分析：求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法 求二面角的大小也可应用面积射影法 (1)解 如图所示，在平面ABCD内，过C作CPDE，交直线AD于P，则ACP(或补角)为异面直线AC与DE所成的角 在ACP中，易得AC=a，CP=DE=a,AP=a由余弦定理得cosACP=故AC与DE所成角为arccos (2)解 ADE=ADF,AD在平面BEDF内的射影在EDF的平分线上（如图）又可证明四边形BEDF为菱形（证明略），DB为EDF的平分线，故直线AD与平面BEDF所成的角为ADB，在RtBAD中，AD=a，AB=a,BD=a，则cosADB=，故AD与平面BEDF所成的角是arccos (3)解 如图，连结EF、BD，交于O点，显然O为BD的中点，从而O为正方形ABCDABCD的中心，作OH平面ABCD，则H为正方形ABCD的中心，再作HMDE，垂足为M，连结OM，则OMDE，故OMH为二面角BDEA的平面角 在RtDOE中，OE=a,OD=a,斜边DE=a,则由面积关系得OM=a在RtOHM中，sinOMH=故面BEDF与面ABCD所成的角为arcsin 方法二（向量法） （1） 如图建立坐标系，则故AC与DE所成角为arccos （2）ADE=ADF,AD在平面BEDF内的射影在EDF的平分线上 如下图所示 又BEDF为菱形，DB为EDF的平分线，故直线AD与平面BEDF所成的角为ADB，如图建立坐标系，则，故AD与平面BEDF所成的角是arccos (3) 由(1)知，所以面ABCD的法向量为 下面求面BEDF的法向量 设，由取z=1，得 .故面BEDF与面ABCD所成的角为 点评：本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法，综合性较强 用平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角，是常用的方法.演变4：已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，ABDC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点.（）证明：面PAD面PCD；（）求AC与PB所成的角；（）求面AMC与面BMC所成二面角的大小.例5：在长方体ABCDA1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动. （1）证明：D1EA1D； （2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离； （3）AE等于何值时，二面角D1ECD的大小为.思路分析：本题涉及立体几何线面关系的有关知识, 本题实质上求解角度和距离,在求此类问题中，要将这些量处于三角形中,最好是直角三角形,这样有利于问题的解决，此外用向量也是一种比较好的方法.解法一：（1）证明：AE平面AA1DD1，A1DAD1，A1DD1E.（2）设点E到面ACD1的距离为h，在ACD1中，AC=CD1=，AD1=，故（3）过D作DHCE于H，连D1H、DE，则D1HCE， DHD1为二面角D1ECD的平面角.设AE=x，则BE=2x解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）（1）（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，设平面ACD1的法向量为，则也即，得，从而，所以点E到平面AD1C的距离为点评：立体几何的内容就是空间的判断、推理、证明、角度和距离、面积与体积的计算，这是立体几何的重点内容,本题实质上求解角度和距离,在求此类问题中,尽量要将这些量处于三角形中,最好是直角三角形,这样计算起来,比较简单,此外用向量也是一种比较好的方法,不过建系一定要恰当,这样坐标才比较好写出来.演变5：如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1. （）求BF的长；（）求点C到平面AEC1F的距离.问题4：与几何体的侧面积和体积有关的计算问题根据基本概念和公式来计算，要重视方程的思想和割补法、等积转换法的运用.例6：如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且均为正三角形，EFAB，EF=2，则该多面体的体积为（ ）（A）（B）（C）（D）思路分析：将该几何体分割成一个柱体和两个锥体，然后再利用柱体和锥体的体积公式求它的体积.解：过A、B两点分别作AM、BN垂直于EF，垂足分别为M、N，连结DM、CN，可证得DMEF、CNEF，多面体ABCDEF分为三部分，多面体的体积V为，作NH垂直于点H，则H为BC的中点，则，故选A点评：将不规则的多面体分割或补全为规则的几何体进行计算演变6：如图，在体积为1的三棱锥ABCD侧棱AB、AC、AD上分别取点E、F、G， 使AE : EB=AF : FC=AG : GD=2 : 1，记O为三平面BCG、CDE、DBF的交点，则三棱锥OBCD的体积等于 （ ）ABC D问题5：翻折与展开要对照翻折（或展开）前后两个图形，分清哪些元素的位置（或数量）关系改变了，哪些没有改变.例7：如图1，已知ABCD是上下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2.（）证明：ACBO1；（）求二面角OACO1的大小.思路分析：（1）由题知可证得AO平面OBCO1 ，OC为AC在平面OBCO1内的射影，只要证明BO1OC即可；（2）由（1）结论可证明BO1平面AOC，由三垂线定理找出二面角的平面角即可.解：（I）证明 由题设知OAOO1，OBOO1，所以AOB是所折成的直二面角的平面角，即OAOB. 从而AO平面OBCO1，OC是AC在面OBCO1内的射影.图3ABOCO1DF E因为 ，所以OO1B=60，O1OC=30，从而OCBO1，由三垂线定理得ACBO1.（II）解 由（I）ACBO1，OCBO1，知BO1平面AOC.设OCO1B=E，过点E作EFAC于F，连结O1F（如图3），则EF是O1F在平面AOC内的射影，由三垂线定理得O1FAC.所以O1FE是二面角OACO1的平面角. 由题设知OA=3，OO1=，O1C=1，所以，从而，又O1E=OO1sin30=，所以 即二面角OACO1的大小是点评：平面图形的翻折与空间图形的展开近两年的高考中都出现了，通过对图形的翻折与展开，很好地考查了学生的空间想象能力，体现了解决立体几何问题的基本思想：空间问题平面化.演变7：设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DEAB于E(如图)现将ADE沿DE折起，使二面角ADEB为45，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所成角的大小等于_专题小结1、位置关系的判断，根据概念、性质和定理进行判断，认定是正确的，要能证明；认定上不正确的，只需举反例.注意作图辅助说明.2、证明空间线面平行与垂直，是必考题型，解题时要由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证明思路.3、空间图形中的角与距离，先根据定义找出或作出所求的角与距离，然后通过解三角形等方法求值，注意“作、证、算”的有机统一.解题时注意各种角的范围.异面直线所成角的范围是090，其方法是平移法和补形法；直线与平面所成角的范围是090，其解法是作垂线、找射影；二面角0180，其方法是：定义法；三垂线定理及其逆定理；垂面法 另也可借助空间向量求这三种角的大小.4、与几何体的侧面积和体积有关的计算问题，根据基本概念和公式来计算，要重视方程的思想和割补法、等积转换法的运用5、平面图形的翻折与空间图形的展开问题，要对照翻折（或展开）前后两个图形，分清哪些元素的位置（或数量）关系改变了，哪些没有改变.【临阵磨枪】一 选择题1 在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是( )A B C D 2 在直二面角l中，直线a,直线b,a、b与l斜交，则( )A a不和b垂直，但可能abB a可能和b垂直，也可能abC a不和b垂直，a也不和b平行D a不和b平行，但可能ab3 在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是( )A B C D 4 正方形ABCD边长为2，E、F分别是AB和CD的中点，将正方形沿EF折成直二面角(如图)，M为矩形AEFD内一点，如果MBE=MBC，MB和平面BCF所成角的正切值为，那么点M到直线EF的距离为( )A B 1 C D 5 三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=1，AB=4，BC=3，ABC=90,设平面A1BC1与平面ABC的交线为l，则A1C1与l的距离为( )A B C 2.6 D 2.46ABC的顶点B在平面a内，A、C在a的同一侧，AB、BC与a所成的角分别是30和45,若AB=3,BC= ,AC=5,则AC与a所成的角为(A)60 (B)45 (C)30 (D)157已知a、b、c是直线，是平面，给出下列命题： 若；若；若；若a与b异面，且相交； 若a与b异面，则至多有一条直线与a，b都垂直. 其中真命题的个数是（ ）A1B2C3D4A1CBAB1C1D1DO8、如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面AB C1D1的距离为（B）A、B、C、D、9设地球的半径为，若甲地位于北纬东经，乙地位于南纬东经，则甲、乙两地的球面距离为（）（A） （B） （C） （D）10矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，则四面体ABCD的外接球的体积为（ ）ABCD二、填空题11 设X、Y、Z是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“XZ且YZXY”为真命题的是_(填序号) X、Y、Z是直线；X、Y是直线，Z是平面；Z是直线，X、Y是平面；X、Y、Z是平面.12 已知AOB=90,过O点引AOB所在平面的斜线OC，与OA、OB分别成45、60，则以OC为棱的二面角AOCB的余弦值等于_ 13 正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为23,则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为_ 14空间四点A、B、C、D中，每两点所连线段的长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则P与Q的最短距离为_ 三、解答题15 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点 (1)求证 CDPD;(2)求证 EF平面PAD;(3)当平面PCD与平面ABCD成多大角时，直线EF平面PCD？16 如图，正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都相等，D、E分别是CC1和AB1的中点，点F在BC上且满足BFFC=13 (1)若M为AB中点，求证 BB1平面EFM；(2)求证 EFBC；(3)求二面角A1B1DC1的大小 17 如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面是菱形且C1CB=C1CD=BCD=60, (1)证明 C1CBD；(2)假定CD=2，CC1=，记面C1BD为,面CBD为,求二面角BD的平面角的余弦值；(3)当的值为多少时，可使A1C面C1BD？18 设ABC和DBC所在的两个平面互相垂直，且AB=BC=BD，ABC=DBC=120，求 (1)直线AD与平面BCD所成角的大小；(2)异面直线AD与BC所成的角；(3)二面角ABDC的大小 19 如图，在梯形ABCD中，ADBC，ABC=,AB= AD=a,ADC=arccos,PA面ABCD且PA=a (1)求异面直线AD与PC间的距离；(2)在线段AD上是否存在一点F，使点A到平面PCF的距离为 参考答案 1 C 解析 设A1C1B1D1=O1，B1D1A1O1，B1D1AA1，B1D1平面AA1O1，故平面AA1O1AB1D1，交线为AO1，在面AA1O1内过A1作A1HAO1于H，则易知A1H长即是点A1到平面AB1D1的距离，在RtA1O1A中，A1O1=，AO1=3，由A1O1A1A=hAO1,可得A1H= 答案 C2 C 解析 如图，在l上任取一点P，过P分别在、内作aa,bb,在a上任取一点A，过A作ACl，垂足为C，则AC,过C作CBb交b于B，连AB，由三垂线定理知ABb，APB为直角三角形,故APB为锐角 3 D 解析 (特殊位置法）将P点取为A1，作OEAD于E，连结A1E，则A1E为OA1的射影，又AMA1E，AMOA1，即AM与OP成90角 答案 D4A 解析 过点M作MMEF,则MM平面BCF，MBE=MBC，BM为EBC为角平分线，EBM=45,BM=,从而MN=5 C 解析 交线l过B与AC平行，作CDl于D，连C1D，则C1D为A1C1与l的距离，而CD等于AC上的高，即CD=,RtC1CD中易求得C1D=2.6.答案 CABCEDF6、C 解：如图，AE平面于E,CD平面于D,EFAC,EF交CD于F,则ABE=300,CBD=450,由此得CD=4,AE=1.5,EF=2.5,而EF=AC=5 FED=300,即AC与平面所成的角为300,选(C)7、A 解：是假命题,是真命题,选(A)8B 解：取B1C1的中点M，连B1C交BC1于，取C1的中点N，连MN，则MN又在正方体ABCD-A1B1C1D1中OM平行于平面ABC1D1.则O到平面ABC1D1距离转化为M到平面ABC1D1的距离，即MN=，故选B9D10C 解析：连接矩形ABCD的对角线AC、BD交于O，则AOBOCODO，则O为四面体ABCD的外接球的圆心，因此四面体ABCD的外接球的半径为，体积为.选C.11 解析 是假命题，直线X、Y、Z位于正方体的三条共点棱时为反例，是真命题，是假命题，平面X、Y、Z位于正方体的三个共点侧面时为反例 12 解析 在OC上取一点C，使OC=1，过C分别作CAOC交OA于A，CBOC交OB于B，则AC=1，OA=，BC=，OB=2，RtAOB中，AB2=6，ABC中，由余弦定理，得cosACB= 答案 13 60 解析 设一个侧面面积为S1，底面面积为S，则这个侧面在底面上射影的面积为，由题设得，设侧面与底面所成二面角为,则cos=,=60 答案 6014 a 解析 以A、B、C、D为顶点的四边形为空间四边形，且为正四面体，取P、Q分别为AB、CD的中点，因为AQ=BQ=a,PQAB,同理可得PQCD，故线段PQ的长为P、Q两点间的最短距离，在RtAPQ中，PQ=a.答案 a15 证明 (1)PA底面ABCD，AD是PD在平面ABCD内的射影，CD平面ABCD且CDAD，CDPD (2)取CD中点G，连EG、FG，E、F分别是AB、PC的中点，EGAD，FGPD平面EFG平面PAD，故EF平面PAD(3）解 当平面PCD与平面ABCD成45角时，直线EF面PCD证明 G为CD中点，则EGCD,由(1)知FGCD，故EGF为平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角 即EGF=45，从而得ADP=45，AD=AP由RtPAERtCBE,得PE=CE又F是PC的中点，EFPC，由CDEG，CDFG，得CD平面EFG，CDEF即EFCD，故EF平面PCD 16 (1)证明 连结EM、MF，M、E分别是正三棱柱的棱AB和AB1的中点，BB1ME，又BB1平面EFM，BB1平面EFM (2)证明 取BC的中点N，连结AN由正三棱柱得 ANBC，又BFFC=13，F是BN的中点，故MFAN，MFBC，而BCBB1，BB1ME MEBC，由于MFME=M，BC平面EFM，又EF平面EFM，BCEF (3)解 取B1C1的中点O，连结A1O知，A1O面BCC1B1，由点O作B1D的垂线OQ，垂足为Q，连结A1Q，由三垂线定理，A1QB1D，故A1QD为二面角A1B1DC的平面角，易得A1QO=arctan 17 (1)证明 连结A1C1、AC，AC和BD交于点O，连结C1O，四边形ABCD是菱形，ACBD，BC=CD又BCC1=DCC1，C1C是公共边，C1BCC1DC，C1B=C1DDO=OB，C1OBD，但ACBD，ACC1O=OBD平面AC1，又C1C平面AC1，C1CBD (2)解 由(1)知ACBD，C1OBD，C1OC是二面角BD的平面角 在C1BC中，BC=2，C1C=，BCC1=60，C1B2=22+()222cos60= OCB=30,OB=,BC=1,C1O=,即C1O=C1C 作C1HOC，垂足为H，则H是OC中点且OH=，cosC1OC=(3)解 由(1)知BD平面AC1，A1O平面AC1，BDA1C，当=1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同理可证BC1A1C，又BDBC1=B，A1C平面C1BD 18 解 (1)如图，在平面ABC内，过A作AHBC，垂足为H，则AH平面DBC，ADH即为直线AD与平面BCD所成的角 由题设知AHBAHD，则DHBH，AH=DH，ADH=45(2)BCDH，且DH为AD在平面BCD上的射影，BCAD，故AD与BC所成的角为90 (3)过H作HRBD，垂足为R，连结AR，则由三垂线定理知，ARBD，故ARH为二面角ABDC的平面角的补角 设BC=a,则由题设知，AH=DH=,在HDB中，HR=a，tanARH=2故二面角ABDC大小为arctan2 19 解 (1)BCAD,BC面PBC,AD面PBC从而AD与PC间的距离就是直线AD与平面PBC间的距离 过A作AEPB，又AEBCAE平面PBC，AE为所求 在等腰直角三角形PAB中，PA=AB=aAE=a(2)作CMAB，由已知cosADC=tanADC=,即CM=DMABCM为正方形，AC=a,PC=a过A作AHPC,在RtPAC中，得AH=下面在AD上找一点F，使PCCF取MD中点F，ACM、FCM均为等腰直角三角形ACM+FCM=45+45=90FCAC,即FCPC在AD上存在满足条件的点F PABCD【挑战自我】如图，已知PD平面ABCD，ADDC，ADBC，PDDCBC11.（1）求二面角DPBC的正切值；（2）当ADBC的值是多少时，能使平面PAB平面PBC？证明你的结论.解：（1）如图，取PC中点E，连DE.PDDC，DEPC.又BCDC，BCPD，BC平面PDC，则面BPC面PDC，DE面PBC.过E作EFPB于F，连DF，则由三垂线定理有DFPB.DFE为二面角DPBC的平面角.PABCDGEF设PDDC1，则BC，DE，PC.又在RtDEF中，tan=二面角DPBC的正切值为（2）ADBC12时，平面PAB平面PBC.设PD1，时，平面PAB平面PBC，则DC1，BCPC，ADx.过A作AGPB于G点，平面PAB平面PBC，AG面PBC，又DE面PBC（已证），AGDE，而ADBC，AD面PBC，故ADGE，进而有GEBC，又E为PC中点，G为PB中点，故GE.即.当平面PAB平面PBC时，【答案及点拨】演变1：因为垂直于同一条直线的两平面互相平行，所以正确；因为垂直于同一平面的两平面不一定平行，所以错误；因为当与相交时，若m、n平行于两平面的交线，则，所以错误；因为若m、n是异面直线，当且仅当，所以正确演变2：（）过作平面，垂足为连结，并延长交于，于是为与底面所成的角，为的平分线又，且为的中点因此，由三