第五章等参单元

在第一章中已阐明位移模式就是：单元内任意一点的位移，被表述为其坐标的函数。在平面问题的单元中，任一点的位移分量可用下列多项式表示； 显然位移模式的项数取得越多，计算也越精确，但是项数取得越多，待定系数61，。z，A1，P z，也就越多，根据第一章64所述，待定系数是通过代入节点坐标及其位移而确定的。所以一般要根据有几个节点才可确定取几项。表41列出几种平面单元的位移模式。为了使有限元的解能够收敛于精确解，任何单元的位移模式都必须满足以下三个条件：1、 位移模式中必须包括反应刚体位移的常数项。刚体位移是单元的基本位移，当单元作刚体位移时，单元内各点的位移值均相等，而和各点的坐标值无关。显然式(41)中的常数项就是提供刚体移的。2、 位移模式中必须包括反应常应变的线性位移项。当单元分割得十分细小时，单元中的应变就接近于常量。所以选取的位移模式就必须反应这一点，由第一章可知线性位移项就是提供常应变的。单元的位移模式满足了上述两个条件者，称为完备单元。 3、 位移模式必须能保证单元之间位移的连续性。在连续弹性体中位移是连续的，所以分割成许多单元后，相邻单元的位移必须保持连续，这就要使相邻单元的公共边界具有相同的位移，以避免发生两相邻单元互相脱离或互相位侵入的现象。这种连续性在有的文献中称为协调性或相容性。 现在具体分析几种单元的位移模式。 图41表示两个相邻的三节点三角形单元，其公共节点及m的位移对两个单元是一样，由于三节点三角形单元的位移模式是坐标的线性函数，公共边用M在变形后仍是一条直线，所以上述两个相邻单元在iM边上的任意一点都具有相同位移，从而保证了连续性。 图42表示两个相邻矩形单元，其公共边界是M M，相当于y常数的一条直线，由表4l可知矩形单元的位移模式是， 当y常数，位移分量M是按线性变化的，所以和前例同样的推理，可以证明两个相邻矩形单元的位移在公共边界上是连续的。对于六节点的三角形单元及八节点的矩形单元，在单元边界上位移分量是按抛物线变化的，而每条公共边界上有三个公共节点，正好可以保证相邻两单元位移的连续性。在第一章中通过三角形单元推导了位移模式的又一表达式形式（1.13）式中n单元节点数节点的形函数，是单元内任一点坐标(x，y) 的函数，它表示当节点i发生单位位移时单元内部位移的分布形状。显然在一个单元内，每个节点都有其形函数N贝。一个单元的形函数都应满足下列两个条件：1例如：一个三节点三角形单元，有当等号左边MDf时，欲使等号两边相等，显然 应为1，而 、贝。必须为0。形函数的这个特点，可以由图43表示，其中(a)图是三节点三角形单元， (b)图是六节点三角形单元。 2 一个单元中所有节点的形函数之和为1，即这个条件就是反应单元的刚体位移，因物体作刚体位移时，单元的各节点及单元内任意点的位移都应等于物体的位移，则有所以掌握了形函数的上述特点，就可以直接写出其表达式，而不必再由位移分量的多项式方程推导出来，在下面分析等参数单元时，将直接用形函数表述。 在平面问题的有限元中，最简单的单元是三节点的三角形单元，由于这种单元中的应变及应力是常数，而通常计算对象的应力场又往往随坐标而急剧变化，所以在应用常应变的三角形单元时，必须划分大量的微小单元，才能得到较好的计算精度，因而用三节点三角形单元算题时，往往节点数最多，原始输入数据庞大。四节点的矩形单元能够比三角形单元更好的反映实际应力变化，但它不能适府曲线边界和非直角的直线边界，也不便随意改变大小。所以上述的两种单元都有其不足之处。如果有任意四边形单元，如果4-4(a)所示就可以克服矩形单元之不足，但是这种单元的位移模式如何能否满足前面所述的条体则是本节要解决的问题。由于任意四边形只有四个节点，所以仍应采用只具有四个待定系数的位移模式。但是，和矩形单元不同，两个任意四边形单元的公共边上位移将不是线性变化，位移的连续性将得不到保证。如何解决这矛盾，办法是采用坐标变换。 在图44（a)中的任意四边形单元上，作连接对边中点的直线，称之为e轴及q轴，取其交点为原点，并令四边上的5值及值分别为1，就得出一新坐标系， 称之为单元的局部坐标系。将局部坐标系改画成直角坐标系，则图44(a)中的任意四边形单元就变成图44(b)所示的正方形单元。这正方形单元的位移模式是，而其中形函数为：由图4-4（b）可知则式(47)可以写成统一型式： 假如图44(a)中的任意四边形单元能用式(46)的位移模式及式(47)的形函数进行计算，则前面所提的位移连续性条件就可以得到满足，所以问题归结为：如何将任意四边形单元的整体坐标(x，y)，变换成正方形单元的局部坐标(5，D)。由于式(47)所列的形函数都能满足 中所列的两个条件，即及因而可以写出如下关系：式中x，y任意四边形单元中某一点的坐标；-任意四边形单元中i节点的坐标。显然在四个节点处，式(49)所示的关系无疑是成立的现在要证明在四条边上，这关系也是正确的。以12边为例，在此边上局部坐标D1，代入(49)式，得或改写成同样可得 可见，由正方形单元12边的局部坐标换算出的整体坐标(x，y)是线性变化的，这和任意四边形单元的12边是一致的，所以式(49)对于四条边也是正确的。式（4.9)中(x，y)，(5，y)是整体坐标，而川 是局部坐标(5，o)的函数，因此式(49)被称为坐标变换式。利用此坐标变换式就可将单元内任一点的整体坐标(x，y)换算成局部坐标G，o)，或是将局部坐标换算成整体坐标。这样因44(a)中的任意四边形单元就可以用图(b)中的正方形单元的位移模式及形函数进行计算了。 通常称局部坐标的正方形单元为母单元或基本单元，称整体坐标的任意四边形单元为子单元或实际单元。 比较式(46)及式(49)，可以看到：描述位移和描述坐标都采用相同形函数 ，所以这种单元称为等参数单元。由式(117)可知，在计算单元应变时需要计算位移对整体坐标x,y的偏导数，即 由(46)得 在等参数单元中，如式(47)所示，形函数Arf是局部坐标5，”的函数，式(410)无法直接求导，必须应用复合函数求导的法则。式(49)可简写为，根据复合函数的求导法则，得或写成设J称为雅可比矩阵则有由式（4.8）及式（4.9），可得其中Jl，J s，J s，J为局部坐标S，1的函数JI为雅可比矩阵的行列式。由式(48)可得：可见每个单元的雅可比矩阵取决于其四个节点在整体坐标中的坐标值，当1iF为零时，逆阵就一定存在。根据式(412)和式(414)，得式(425)代入式(410)，得则单元应变可写为上式中右边的列向量为，则单元应变为：一章67中已根据虚功原理得到： 4F)一单元节点力 46“单元节点虚位移 167 一单元内应力 45)一 单元内虚应变 f 单元的厚度将式(417)代入式(418)得消去等号两边的虚位移t6)“，得将式(123)及式(417)代入上式，得式419)中被积项为单元局部坐标5，q的函数，根据积分变量替换法，将积分变量“，y变换成5I g，有在局部坐标系中，积分区间为(1之51，1q1：因此式(4I 9)成为；式中积分项就是单元刚度矩阵LAll。其中被积困数(5，P)是很复杂的，一般都采用高斯数值积分法计算式(421)的积分，不详述。 综上所述，利用雅可比矩阵和其行列式，可以在局部