1997年考研数学二真题

1997 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 理工数学二试题详解及评析理工数学二试题详解及评析 一、填空题一、填空题 （1）已知( ) () 2 cos,0 ,0 x xx f x a x = = 在0 x =处连续，则a = . 【答】 1 2 e . 【详解】 由题设( )( ) 0 lim0 , x f xf =即 () 2 2 0 0 lncos tan1 lim lim 22 0 lim cos x x x x x xx x axeee = （2）设 1 ln, 1 x y x = + 则 0 |x y = = . 【答】 3 2 . 【详解】 由题意得 ()() () () () 2 2 2 22 2 11 ln 1ln 1 22 1 , 2 11 11 2 1 1 yxx x y xx x y x x =+ = + = + 于是 0 |x y = = 3 2 （3） ()4 dx xx = . 【答】 2arcsin 2 x C+或 2 arcsin 2 x C + 【详解】 方法一： () () 2 2 arcsin 2 4 42 dxdxx C xx x =+ 方法二： 考研数学助手 您考研的忠实伴侣 () ()() 22 2 4 44 arcsin 2 dxdxdx xx xxx x C = =+ （5）已知向量组()()() 123 1,2, 1,1 ,2,0, ,0 ,0, 4,5, 2t=得秩为 2，则t = . 【答】 3. 【详解】 方法一： 由于秩() 123 ,2,r =则矩阵 1211 200 0452 t 的任一个三阶子阵的行列式的值为零， 即 121 200, 045 t = 解得t =3. 方法二： 12111210 2000422 04520452 tt + 秩() 123 ,225rt = += 即 t =3. 二、选择题二、选择题 （1）设0 x 时， tanxx ee与 n x是同阶无穷小，则n为 （A）1. （B）2. （C）3. （D）4 【 】 【答】 应选（C）. 【详解】 方法一： 由于0 x 时， () 23 4 1 2!3! x xx exo x= +， 则 ()() () ()()() 23 tan4 tan22333 tantan 1tan 2!3! 11 tantantan 23! x xx xx exo x eexxxxxxo x = + =+ 又 () 33 1 tan, 3 xxxo x=+ 所以 tanxx ee () 33 1 3 xo x+ 从而 tanxx ee与 3 x为同阶非等价无穷小. 应取3,n = 故选（C）. 方法二： () () () tan tan 000 22 12 00 2 0 1 tan limlimlim sec12sectan limlim 1 2tan lim 1 xx xx nnn xxx nn xx n x ee eexx xxx xxx nxnnx x n nx = = = (2)设在区间, a b上( )( )( ) 0,0,0f xfxfx，令( ) 1 , b a Sf x dx= ( )()( )( ) () 23 1 , 2 Sf bbaSf af bba=+ ，则 （A） 123. SSS (B) 213. SSS (C) 312. SSS (D) 231. SSS ( )( ) ( )( ) (),. f bf a f xf axaaxb ba += =+ =+= 即 213 SSS 故应选（A）. （5）设( )( ) 2 2,0,0 , 2,0,0 x xxx g xf x xxx x 则( )gf x 为 （A） 2 2,0 2,0 xx x x + （B） 2 2,0 2,0 xx x x + （C） 2 2,0 2,0 xx x x （D） 2 2,0 2,0 xx x x + 而0 x 0 x 时， ( )0.f xx= 故 ( ) 2 2,0 2,0 xx gf x x x + 故5a = 时，旋转体体积最小. 七、七、已知函数( )f x连续，且 ( ) 0 lim2, x f x x =设( )() 1 0 ,xf xt dt=求( ) x的连续性. 【详解】 由题设，知( )( )00,00f= 令 ,uxt= 得( ) ( ) () 0 0 x f u du xx x = 即 ( ) ( ) ( ) () 0 0 0, 0 x f u du xx x x x = = = 从而 ( ) ( )( ) () 0 2 0 x xf xf u du xx x = 由导数定义有 ( ) ( ) ( ) 0 2 00 0limlim 22 x xx f u du f xA xx = 由于 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 00 22 0000 limlimlimlim 0 22 xx xxxx xf xf u duf u du f x x xxx AA A = = 从而知( )x在0 x =处连续. 八、八、就k的不同取值情况，确定方程sin 2 xxk =在开区间0, 2 内根的个数，并证明你 的结论. 【详解】 设( )sin , 2 f xxx = 则 ( )f x在0, 2 上连续. 由( ) 1cos0, 2 fxx = = 得( )f x在0, 2 内的唯一的驻点 0 2 cosxar = 由于当() 0 0,xx时，( ) 0fx . 所以( )f x在 0 0,x上单调减少，在 0, 2 x 上单调增加. 因此 0 x是( )f x在0, 2 内的唯一的最小值点， 最小值为() 000 sin 2 yf xxx =. 又因( )00 2 ff = ， 故在0, 2 内( )f x的取值范围为) 0,0 y. 故