华南理工大学高数(下)习题册答案汇总

第七章 多元函数微分学 作业1 多元函数 1填空题 （1）已知函数，则； （2）的定义域是； （3）的定义域是 ； （4）函数的连续范围是 全平面 ； （5）函数在处间断. 2求下列极限 （1）； 解： （2）. 解： 由于， 故 3讨论极限是否存在. 解：沿着曲线,有因而异，从而极限不存在 4证明在点分别对于每个自变量或 都连续，但作为二元函数在点却不 连续. 解：由于 从而可知在点分别对于每个自变量或 都连续，但沿着曲线,有因而异， 从而极限不存在，故作为二元函数在点却不连续. 作业2 偏导数 1填空题 （1）设，则； （2）（3）设，则； （3）设，则 0 ； （4）曲线在点处的切线与轴正向的倾角是. 2设， 证明 . 证:因为 所以 3. 设，求，. 解：， 从而 4设， 证明 . 解：因为 所以 5设函数. （1）试求的偏导函数； 解：当 ， 当 ， （2）考察偏导函数在点处是否连续. ，故在点处连续， 不存在，从而在点处不连续 作业3 全微分及其应用 1填空题 （1）在点处偏导数存在是在该点可微的 必要 条件； （2）函数在点处，当时有全增量 ，全微分； （3）设在点处的全增量为，全微分为，则在点处的全增量与全微分的关 系式是； （4）在点处的； （5）,则； （6）,则； （7）,则 . 2证明：在点处连续，与存在，但在 处不可微. 证：由于从而但是 不存在，从而在处不可微. 3设函数 试证：（1）函数在点处是可微的； 证：因为 又 所以函数在点处是可微的 （2）函数在点处不连续. 证：当 不存在， 故在点处不连续 作业4 多元复合函数的求导法则 1填空题 （1）设，则 ； （2）设，则 ； （3）设，则； （4）设，则. 2求下列函数的偏导数 （1）设其中具有一阶连续偏导数，求和； 解： （2）设，其中均可微，求和. 解：因为 从而 所以 3验证下列各式 （1）设，其中可微，则； 证：因为 所以 （2）设，其中可微，则. 证：因为 所以 4设其中函数具有二阶连续偏导数，求. 解：因为 所以 4设其中函数具有二阶连续偏导数，试证：. 证：因为 从而左边 作业5 隐函数求导法 1填空题 （1）已知，则； （2）已知，则； （3）已知，则； （4）已知，则； （5）已知，其中具有一阶连续偏导数，则 . 2设其中具有二阶连续偏导数，求 解： 3求由方程组所确定的及的导数及. 解：由已知 4设函数，又方程确定是的函数，其中与均可微；连续，且. 试证：. 证：因为， 5设函数具有二阶连续偏导数，而满足方程，求. 解：因为 特征方程为 作业6 方向导数与梯度 1填空题 （1）在梯度向量的方向上，函数的变化率 最大 ； （2）函数在给定点的方向导数的最大值就是梯度的 模 ； （3）函数在点的梯度为； （4）函数在点处沿方向的方向导数是 ，且函数在该点的梯度是； （5）函数在点处沿方向的方向导数是； （6）函数在点处沿指向点方向的方向导数是. 2求在点及点处的梯度间的夹角. 解： 夹角余弦为 3求二元函数在点沿方向的方向导数及梯度，并指出在该点沿那个方向 减少得最快？沿那个方向的值不变？ 解： ， 在该点沿梯度相反方向，即方向减少得最快； 沿与梯度垂直的那个方向，即方向的值不变 4设轴正向到得转角为，求函数 在点处沿着方向的方向导数. 解：， 由于该函数在点处不可微，从而不能用公式，只能由定义得出沿着 方向的方向导数： 作业7 偏导数的几何应用 1填空题 （1）已知曲面上点的切平面平行于平面，则点 的坐标是； （2）曲面在点处的切平面方程是； （3）由曲线绕轴旋转一周所得到的旋转曲面在点 处的指向内侧的单位法 向量为； （4）曲面在点处的法线方程是 ； （5）已知曲线上点的切线平行于平面，则点的坐标是或 2求曲线在对应于的点处的切线和法平面方程. 解：切点为， 从而切线为， 法平面为 3求两个圆柱面的交线在点处的切线和法平面的方程. 解：， 切线为，法平面为 4求曲面在点处的切平面及法线的方程. 解： 切平面为，法线为 5求函数在点处沿曲线在此点的外法线方向的方向导数. 解： 指向外侧为此点的外法线方向，方向导数为 6证明：曲面在任意点处的切平面都通过原点，其中具有连续导数. 证：设切点为， 则 切平面为 令，得左边等于右边，从而原点在任意点处的切平面上，也即任意点处 的切平面都通过原点。 作业8 多元函数的极值 1填空题 （1）函数的极值是 0 ； （2）函数的极值点是； （3）函数的极值点是； （4）函数的极值是； （5）函数的极值是. 2证明：函数有无穷多个极大值点，但无极小值点. 证：因为 由 得驻点坐标为 又 故 只有当为偶数时才大于零，从而才有极值。而这时 因此该函数有无穷多个极大值点，但无极小值点。 3求函数在条件下的极值. 解：令 则 从而 4求函数在圆域上的最大值与最小值. 解：先求圆内部的驻点得驻点， 再求圆周上的有约束极值，令 则 若则必有矛盾， 若则必有或 由于 从而要求的最大值为4，最小值为 5在半径为的半球内求一个体积为最大的内接长方体. 解：设在第一卦限内的顶点坐标为，则 令，则由 ， 可得，其长宽均为，高为 6求椭圆的长半轴和短半轴. 解：由对称性，得知椭圆的中心点为，从而问题转化为求在约束条件下 或的最值 取 由 从而，当时，由约束条件 当时，由约束条件 于是椭圆的长半轴为和短半轴为. 第七章多元函数微分学测试试卷 1单项选择题（每小题3分） （1） 二重极限值为 （ D ） （A）0； （B）1； （C）； （D）不存在. （2）二元函数在点处的两个偏导数和都存在，则（ D ） (A)在该点可微； (B) 在该点连续可微； (C)在该点沿任意方向的方向导数存在；(D) 以上结论都不对. （3）函数在处（ A ） (A) 不取极值； (B) 取极小值； (C) 取极大值； (D)是否取极值依 赖于. （4）在曲线的所有切线中，与平面平行的切线（ B ） （A）只有1条； （B）只有2条； （C）至少有3条； （D）不存在. （5）设，其中，下面运算中（ B ） ， (A)、都不正确； (B) 正确，不正确； (C) 不正确，正确； (D) 、都正确. 2填空题（每小题3分） （1）已知理想气体状态方程，则； （2）设，则； （3）函数在点的梯度为； （4）已知，其中为可微函数，则； （5）已知曲面上的点处的法线平行于直线，则该法线的方程为 3设，其中均为二阶可微函数，求. 解：因为 所以 4设，试以新变量变换方程，其中对各变量有二阶连续偏导数. 解： 从而 5已知，其中均为可微函数，求. 解：对函数取全微分得， 从而 6设是曲面在处指向外侧的法向量，求函数在点处沿方向的方向导数. 解：指向下侧在此即抛物面的外侧， 从而 7在第一卦限内作椭球面的切平面，使该切平面与三个坐标平面围成的 四面体的体积最小，求切点的坐标. 解：设切点为，则切平面为 在的最值问题与在下的最值问题等价，只是最大与最小问题焕位而已。 令 则 与约束条件结合推得 由于在第一卦限，从而切点为 8设 （1）求，； （2），是否在原点连续？在原点是否可微？说明理由. 解：（1）当 ， 当在此为分段点，用定义求偏导数 （2），在原点因为二重极限不存在从而不连续，但 9已知为常数，且，求证：. 解：令，则问题化为在约束条件下的最大值为1 令，则 ， 结合约束条件 由于该实际问题的最大值一定存在，又可能点唯一，因此最大值为 从而 第八章 重积分 作业9 二重积分的概念与性质 1利用二重积分的性质,比较下列积分的大小： （1）与 (a)D是由直线及所围成的闭区域； (b) D是由圆周所围成的闭区域 解：(a)因为在区域内部有，从而大 (b)因为在区域内部有，从而大 （2）与 (a)D是矩形闭区域：； (b) D是矩形闭区域： 解：(a)因为在区域内部有，从而大 (b)因为在区域内部有，从而大 （3）与，其中是由三个坐标面与平面所围成的闭区域 解：因为在区域内部有，从而，因此大 2利用积分的性质，估计下列各积分的值： （1），其中D是矩形闭区域：； 解：因为在区域内部有，因此 （2），其中为球体； 解：因为在区域内部有， 因此 （3），其中L为圆周位于第一象限的部分； 解：因为在曲线上积分， 不妨设， ， 因此 （4），其中为柱面被平面所截下的部分 解：因为在曲面上积分，从而， 因此 作业10 二重积分的计算 1试将二重积分化为两种不同的二次积分，其中区域D分别为： （1）由直线及双曲线所围成的闭区域； 解：作图得知区域D可以表示为：， 得 区域D也可以分块表示为： 从而 （2）环形闭区域： 解：在极坐标下环形闭区域为 从而 在直角坐标下环形闭区域需分块表达，分块积分变为 2改换下列二次积分的积分次序（填空）： （1）； （2）； （3） 3画出积分区域，并计算下列二重积分： （1），其中D是由两条抛物线所围成的闭区域； 解：作图，原式= （2），其中D是由所确定的闭区域； 解：作图，原式= （3），其中D是由不等式所围成的闭区域； 解：作图，原式= （4），其中D是顶点分别为的三角形闭区域 解：作图，原式= 4求由曲线所围成的闭区域的面积 解：曲线方程联立，得 作图知，原式= 5求由四个平面所围柱体被平面及 所截得的立体的体积 解：四个平面决定的区域D为： 在区域D内部 从而所截得的立体的体积 6化下列二次积分为极坐标系下的二次积分： （1） （2）； 7利用极坐标计算下列积分： （1），其中D是由圆周所围成的闭区域； 解：D是圆周，即 从而 （2），其中是由圆所围成的闭区域； 解：D是圆周围成， 知其为 从而原式= （3）， D是与所确定的闭区域； 解：D是圆环的关于原点对称的两部分，与 从而原式= （由对称性更简单：因为，对称点的积分微元反号） （4），其中D是介于两圆和之间的闭区域 解：D介于两圆之间，可知 从而原式= 8用适当的坐标计算下列积分： （1），其中是由直线，（）所围成的闭区域； 解：作图知由直角坐标表达方便， （2）， 其中是由圆周所围成的闭区域； 解：由表达式由极坐标表达方便， 原式= （3），D：； 解：先作坐标轴平移，再用极坐标 原式= （4），D： 解：用广义极坐标 原式= 作业11 三重积分的概念与计算 1试将三重积分化为三次积分，其中积分区域分别为： （1）由双曲抛物面及平面所围的闭区域 ； （2）由曲面及所围的闭区域 2计算下列三重积分： （1），其中为平面，所围成的四面体； 解：分析边界作图知为， 原式= （2），其中是由曲面与平面所围的闭区域； 解：分析边界作图知为， 原式= （3），其中是由平面及抛物柱面所围的闭区域 解：分析边界作图知为， 原式= 3利用柱面坐标计算下列三重积分： （1），其中是曲面和平面所围成的闭区域； 解：原式 （2），其中是曲面及所围成的闭区域； 解：原式 （3），其中是曲面和平面所围成的闭区域； 解：原式 （4），其中是曲面和平面所围成的闭区域 解：先作坐标轴平移，再用柱坐标 原式 = 4利用球面坐标计算下列三重积分： （1），其中是球面所围成的闭区域； 解： 原式 （2），其中是由不等式（），所确定的闭区域； 解： 原式 （3），其中是不等式， 所确定的闭区域 解： 原式 5. 选取适当的坐标计算下列三重积分： （1），其中是柱面及平面，所围成的在第一卦限内的闭区域； 解：用柱坐标 原式= （2），其中是球面所围的闭区域； 解：用球坐标 原式 （3），其中是由曲面及平面所围的闭区域； 解：用柱坐标 原式= （4），其中是球面所围的在第一卦限内的闭区域； 解：用球坐标 原式 （5），其中是椭球面所围成的闭区域 解：用广义球坐标 原式 作业12 重积分的应用 1球心在原点，半径为的球体，在其上任意一点的体密度与该点到球心 的距离成正比，求这球体的质量 解：设球面的方程为，球的密度为 则球体的质量为 2求球体的质心，这里假设球体内各点处的密度等于该点到坐标原点的 距离的平方 解：由对称性，质心应该在z轴上，可设为 ， 3设均匀平面薄片为椭圆形闭区域：，求转动惯量 解：用广义极坐标 4设半径为的球体内每一点密度的大小与该点到球心的距离成正比，求 质量为非均匀球体对其直径的转动惯量 解：设球面的方程为，球的密度为 则球体对其直径的转动惯量为 5求面密度为常数的均匀圆环形薄片：对位于轴上的点处的单位质量的 质点的引力 解：设环域上点处的单位面积产生的引力微元为 ，由对称性 6一均匀物体（密度为常量）占有的闭区域由曲面和平面，所围成， （1）求物体的体积；（2）求物体的质心；（3）求物体关于z轴的转 动惯量 解： 由对称性，质心应该在z轴上，可设为 ， 第八章重积分测试题 1选择以下各题中给出的四个结论中一个正确的结论： （1）设有空间闭区域， ， 则有（ D ） （A）； （B）； （C）； （D） （2）设平面闭区域 ， 则（ A ） （A）； （B）； （C）； （D） （3）设是有界闭区域上的连续函数，则当时，得极限为（ B ）. A.不存在； B. 等于 C. 等于 D. 等于 2选择适当的坐标系计算下列二重积分： （1），是由直线所围成的区域； 解：作图，分块积分。 原式 （2），其中D是由和所围成； 解：作图，分块积分。 原式 （3），其中； 原式= （4），其中D是由和所围成的平面区域，且； 解：作图知没有用上 原式 （5），D：； 解：作图知，分块积分区别处理较方便 原式 3交换下列二次积分的次序： （1）； （2）； （3） 4将变为极坐标形式的二次积分，其中D由不等式和所规定 解：由， 从而 5计算，其中D是矩形域： 解：作图，需要分块积分 原式 6计算，其中由所围 解：作图或分析推理，得： 原式 7将三次积分变为柱坐标及球坐标的形式 解：由上下限知 从而由坐标转化公式可推出区域表达式，因此得出 在柱坐标下 在球坐标下 8计算，其中: 解：由知: 从而，原式 9计算下列三重积分： （1）， 是由球面所围成的闭区域 解：由于当时就有，而积分微元在对称点刚好反号，从而 （2），其中是由xOy平面上曲线绕轴旋转而成的曲面与平面所围成的闭 区域 解：曲线绕轴旋转而成的曲面为，与平面的交线为 ，所围成的闭区域为 10求平面被三坐标面所割出的有限部分的面积 解：平面为 11设在上连续，试证： ， 其中为正整数 证：左边 =右边 12求曲面上点处的切平面与曲面所围成的空间立体的体积 解：切平面的法向量为 从而切平面为 切平面与曲面的交线为投影柱面交切平面， 13一平面薄片所占的闭区域由不等式：所确定，其上每一点的面密度 为，试求该薄片的质量 解：，用极坐标做方便些 求交点， 14求由抛物线及直线所围成的均匀薄片（面密度为常数）对于直线的 转动惯量 解： 15设在面上有一质量为M的匀质半圆形薄片，占有平面闭区域，过圆 心垂直于薄片的直线上有一质量为的质点，求半圆形薄片质点的引 力 解：， 由对称性， 第九章 曲线积分与曲面积分 作业13 对弧长的曲线积分 1计算，其中为直线及抛物线所围成的区域的整个边界 解：可以分解为及 2，其中为星形线在第一象限内的弧 解：为 原式 3计算，其中折线ABC，这里A，B，C依次为点 解： 4，其中为螺线上相应于从变到的一段弧 解：为 5计算，其中L： 解：将L参数化， 6计算，其中L为圆周，直线及轴在第一象限内所围成的扇形的整个边 界 解：边界曲线需要分段表达，从而需要分段积分 从而 作业14 对坐标的曲线积分 1计算下列第二型曲线积分： (1) ，其中为按逆时针方向绕椭圆一周； 解：为 原式 (2) ，其中是从点到点的一段直线； 解：是 原式 (3) ，其中是圆柱螺线从到 的一段弧； 解：是 原式 (4) 计算曲线积分,其中为由点A (-1, 1)沿抛物线到点O (0, 0), 再沿x轴到点B (2, 0)的弧段 解：由于积分曲线是分段表达的，需要分段积分 ； 原式 2 设力的大小等于作用点的横坐标的平方，而方向依轴的负方向，求 质量为 的质点沿抛物线从点移动到点时，力所作的功 解： 3把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分，其中 为： (1) 在平面内沿直线从点到点； (2) 沿抛物线从点到点 解：（1） （2） 作业15 格林公式及其应用 1填空题 (1) 设是三顶点(0, 0), (3, 0), (3, 2)的三角形正向边界, 12 (2) 设曲线是以为顶点的正方形边界， 不能直接用格林公式的理由是_所围区域内部有不可道的点_ （3）相应于曲线积分的第一型的曲线积分是 其中为从点(1, 1 ,1)到点 (1, 2, 3)的直线段 2计算,其中L是沿半圆周 从点到点的弧 解：L加上构成区域边界的负向 3计算,其中为椭圆 正向一周 解：原式 4计算曲线积分 其中为连续函数，是沿圆周按逆时针方向由点到点 的 一段弧 解：令 则，原式 5计算,其中为 （1）圆周（按反时针方向）； 解：，而且原点不在该圆域内部，从而由格林公式，原式 （2）闭曲线（按反时针方向） 解：，但所围区域内部的原点且仅有该点不满足格林公式条件，从而可 作一很小的圆周（也按反时针方向），在圆环域上用格林公式得， 原式 6证明下列曲线积分在平面内与路径无关,并计算积分值： （1）； 解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内与路径无关，沿折线 积分即可， 原式 （2）； 解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内与路径无关，沿直线 积分也可， 原式 （3） 解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内与路径无关，沿折线 积分即可， 原式 7设在上具有连续导数，计算 ， 其中L为从点到点的直线段 解：由于在右半平面连续，从而该曲线积分右半平面内与路径无关，沿 曲线积分即可， 原式 8验证下列在整个平面内是某一函数的全微分,并求出它的一个原函 数： （1）； 解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内是某一函数的全微 分，设这个函数为， 则 从而 ， （2）； 解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内是某一函数的全微 分，设这个函数为， 则原式 可取 （3） 解：可取折线作曲线积分 9设有一变力在坐标轴上的投影为,这变力确定了一个力场,证明质点在 此场内移动时,场力所作的功与路径无关 证：， 质点在此场内任意曲线移动时，场力所作的功为 由于在全平面连续，从而质点在此场内移动时，场力所作的功与路径无 关 作业16 对面积的曲面积分 1计算下列对面积的曲面积分： (1) ,其中为锥面被柱面所截得的有限部分； 解：为 ， 原式 （2）,其中为球面 解：为两块 ， 原式 2计算，是平面被圆柱面截出的有限部分 解：为两块， 原式 （或由，而积分微元反号推出） 3求球面含在圆柱面内部的那部分面积 解：为两块 ， 原式 4设圆锥面 ,其质量均匀分布,求它的重心位置 解：设密度为单位1，由对称性可设重点坐标为 ，故重点坐标为 5求抛物面壳的质量，此壳的密度按规律而变更 解： 作业17 对坐标的曲面积分 1，其中是柱面被平面及所截得的在第一卦限内的部分前侧 解： 原式= 2计算曲面积分，其中为旋转抛物面下侧介于平面及之间的部分 解： 原式= 3计算 其中是平面所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧 解：分片积分。 原式=（由轮换对称性） 4把对坐标的曲面积分 化为对面积的曲面积分： （1）是平面在第一卦限的部分的上侧； （2）是抛物面在面上方的部分的上侧 解：（1） 原式= （2） 原式= 5计算曲面积分,其中为旋转抛物面下侧介于平面z=0及z=2之间的部 分 解： 原式=（两类曲面积分的互化） （第二类曲面积分投影法计算） （用了重积分的对称性） 6 已知速度场，求流体在单位时间内通过上半锥面与平面所围成锥体 表面向外流出的流量 解： 同样。 作业18 高斯公式和斯托克斯公式 1利用高斯公式计算曲面积分： (1) ，其中是平面，及所围成的立体的表面外侧； 解：原式 （2），其中为柱面及平面， 所围成的立体的表面外侧； 解：原式 (3) 计算 , 其中，是由曲面绕y轴旋转一周所成的曲面,它的法向量与y轴正向的夹 角恒大于 解：加上右侧，构成封闭区域的外侧。 原式 2设函数有一阶连续导数，利用高斯公式计算曲面积分 ，式中是下半球面的上侧 解：加上下侧，构成封闭区域的内侧。 原式 3利用斯托克斯公式计算曲面积分： （1） 式中是圆周，从轴正向看去, 取逆时针方向 解：原式 （2），其中为圆周,从轴的正向看去， 取逆时针方向 解：原式 作业19 场论初步 1求下列向量场通过曲面指定一侧的通量： （1），为由平面与，所围成立体的表面，流向外侧； 解： （2），为以点(3,-1,2)为球心，半径的球面，流向外侧 解： 2 求向量场沿闭曲线的环流量(从z轴正向看 依逆时针的方向),其中为 圆周 解： 3求向量场在点M (1, -1, 2)处的散度和旋度 解： 4证明向量场为平面调和场，并求势函数 解：由于 因此是无源场且为无旋场从而为调和场 由为势函数 5验证下列向量场为保守场，并求其势函数： （1）； 解：由于 因此为无旋场从而为有势场 由 为势函数 （2） 解：由于 因此为无旋场从而为有势场 由 为势函数 6设具有二阶连续偏导数，计算 解：由于 从而 由于具有二阶连续偏导数，从而 第九章曲线积分与曲面积分测试题 1填空题 （1）对坐标的曲线积分化成第一类曲线积分是，其中为有向曲线弧在 点处的 切向量 的方向角； （2）设为取正向的圆周则曲线积分 ； （3）设曲线积分.与积分路径无关，其中 一阶连续可导，且，则； （4）=_0_，其中为单位球面的外侧； （5）设，则 0 ， 2计算下列曲线积分： （1）计算，其中为球面与平面的相交部分 解：由轮换对称性 （2），其中是， 解：用球坐标表达是 原式 （3）其中为椭圆由点经点到点的弧段； 解：参数表达是 原式 （4），其中是与的交线，其方向与轴正向成右手系； 解：参数表达是 原式 （5），其中为上半圆周，沿逆时针方向； 解：加上形成半圆区域的正向边界 原式 （6），其中是以点为定点，的正方形的整个边界（取正向） 解：正向 原式 3计算下列曲面积分： （1）,为锥面介于之间的部分 解：原式 （2）计算 解：为两片 令 原式 （3）其中错误！不能通过编辑域代码创建对象。是上半球面的上侧； 解：为 原式 （4），其中为锥面 的外侧； 解：加上上侧，构成封闭区域的外侧。 原式 （5），其中是圆周，若正对着轴正向看去，取逆时针方向； 解：由STOCHS公式，原式 （6），其中是曲线绕轴旋转所得旋转曲面的上侧 解：加上下侧，构成封闭区域的内侧。 原式 4设曲线积分与路径无关，其中，且 求 解：曲线积分与路径无关，连续可导 从而，又 故 5设具有连续的导数，且使表达式是某函数的全微分，求，并求一 个 解：由已知，是某函数的全微分， 从而， ，又 故 6证明在右半平面内，力所做的功与所走的路径无关，并计算由点到 所做的功 解： 8证明：在整个平面除去的负半轴及原点的区域内是某个二元函数的全 微分，并求出一个这样的二元函数 解：由于且偏导数在整个平面除去的负半轴及原点的区域内是连续的， 从而在整个平面除去的负半轴及原点的区域内是某个二元函数的全微 分， 函数如 9求向量通过的边界曲面流向外侧的通量 解： 11求向量场在点处的散度 解： 第十章 微分方程 作业20 微分方程基本概念 1写出下列条件所确定的微分方程： （1）曲线在点处的法线与轴的交点为，且线段被轴平分； 解：法线方程为，法线与轴的交点 由已知 （2）曲线上任意点处的切线与线段垂直； 解：切线的斜率为，线段的斜率为 由已知 （3）曲线上任意点处的切线，以及点与原点的连线，和轴所围成的三角 形的面积为常数 解：切线方程为，点与原点的连线为 切线与轴即直线的交点， 由已知 2.求曲线簇 所满足的微分方程 解：由已知，两边对自变量求导 两边再对自变量求导 3潜水艇垂直下沉时所遇到的阻力和下沉的速度成正比，如果潜水艇的 质量为，且是在水面由静止开始下沉，求下沉的速度所满足的微分方 程和初始条件 解：由已知， 作业21 可分离变量的微分方程 1解微分方程 解：微分方程即 分离变量 两边积分 从而 2. 求解初值问题： 解：微分方程即 分离变量 两边积分 从而 由， 3当时，是比高阶的无穷小量，函数在任意点处的增量+，且，求 解：由已知，从而 分离变量 两边积分 由， 4解微分方程 解：微分方程即 分离变量 两边积分 5一曲线通过点（2，3），它在两坐标轴之间的任意切线段均被切点所 平分，求这曲线方程 解：由已知 当 分离变量 两边积分 由， 6设有连接的一段向上凸的曲线弧,对于上任一点，曲线弧与直线段所 围成的面积为，求曲线弧的方程 解：设曲线为 由已知 微分方程即 从而 由， 作业22 齐次方程 1解微分方程 解：令则 微分方程，即 ，分离变量 两边积分 2求解初值问题 解：令则 微分方程，即 ，分离变量，两边积分 由， 3作适当的变量代换，求下列方程的通解： （1） ； 解：令 （2） ； 解：令，则 再令， 再令 从而 （3） 解：令，则，分离变量， 两边积分 4求曲线，使它正交于圆心在轴上且过原点的任何圆（注：两曲线正交 是指在交点处两曲线的切线互相垂直） 解：可设在轴上且过原点的任何圆为， 则 由已知曲线应满足 令则， 作业23 一阶线性微分方程 1解微分方程 解：对照标准的一阶线性微分方程 2解微分方程 解：微分方程即 3解微分方程 解：观察发现，微分方程等价为 4求解初值问题 ， 解：对照标准的一阶线性微分方程 ，由， 5设曲线积分 在右半平面（内与路径无关，其中可导，且，求 解：由曲线积分在右半平面（内与路径无关可知， 由， 6解微分方程 解：微分方程化为 令为一阶线性微分方程 作业24 全微分方程 1 判别下列方程中哪些是全微分方程，并求全 微分方程的通解： （1）； 解：因为且连续，从而该方程是全微分方程 ，从而 （2）； 解：方程即 因为且连续，从而该方程是全微分方程，方程右边 为某个函数的全微分， 即 从而微分方程的通解为 （3） 解：因为且连续，从而该方程是全微分方程，从而 该方程是全微分方程，方程右边为某个势函数的全 微分，可用曲线积分法求一个来。 从而微分方程的通解为 作业25 可降阶的高阶微分方程 1求下列微分方程的通解 （1）； 解： （2）； 解：令 分离变量， 两边积分， 分离变量，两边积分 （3）； 解：令 分离变量， 两边积分， 分离变量，两边积分 (4). 解：令 分离变量， 两边积分， 分离变量， 两边积分， 2求解初值问题 解：令 分离变量，两边积分， 由， 分离变量，两边积分，由，从而 3设第一象限内的曲线对应于一段的长在数值上等于曲边梯形：，的面 积，其中是任意给定的，求 解：由已知 由， 作业26 线性微分方程解的结构 1 已知是齐次线性方程 的一个解，求此方程的通解 解：方程即 由刘维尔公式 由解的结构定理可知，方程的通解 2 若,，是二阶非齐次线性微分方程（1）的线性无关的解，试 用，表达方程（1）的通解 解：由解的结构定理可知，均为对应的二阶齐次线性微分方程的解，而 且现行无关。 从而：由解的结构定理方程（1）的通解为 3已知都是二阶线性非齐次方程的解，求此方程的通解 解：易知线性无关，从而为二阶线性齐次方程的线性无关的特解，由解 的结构定理，二阶线性非齐次方程的通解为 作业27 二阶常系数齐次线性微分方程 1求下列微分方程的通解 （1）； 解：特征方程为 从而通解为 （2）； 解：特征方程为 从而通解为 （3）； 解：特征方程为 从而通解为 （4） 解：特征方程为 从而通解为 2求方程满足所给初始条件，的特解 解：特征方程为 从而通解为，由得 由，得 因此 3 设可微函数满足方程，求 解：由已知， ， 特征方程为 从而通解为，由得 由，得 因此 作业 28 二阶线性非齐次微分方程 1求下列各方程的通解 （1）； 解：对应齐次方程特征方程为 非齐次项，与标准式比较得 对比特征根，推得，从而 代入方程得 从而通解为 （2）； 解：对应齐次方程特征方程为 非齐次项，与标准式比较得 对比特征根，推得，从而 代入方程得 从而通解为 （3）； 解：对应齐次方程特征方程为 非齐次项，与标准式比较得 对比特征根，推得，从而 代入方程得 , （4）； 解：对应齐次方程特征方程为 非齐次项，与标准式 比较得,对比特征根，推得，从而特解形式可设为 代入方程得 （5） 解：对应齐次方程特征方程为 非齐次项利用解的结构定理知特解形式可设为 代入方程得 2求方程满足初始条件，的特解 解：对应齐次方程特征方程为 非齐次项，与标准式比较得 对比特征根，推得，从而 代入方程得 从而通解为， ，要的特解为 3已知二阶线性非齐次微分方程的三个特解为，试求方程满足初始 条件，的特解 解：由这个三个解的线性无关性，以及解的结构理论，得通解为 ，由得 及得 所要特解为 4设，其中连续，求 解： ， 对应齐次方程特征方程为 非齐次项，与标准式 比较得,对比特征根，推得，从而特解形式可设为 代入方程得 ，由 ，由 因此 第十章微分方程测试题 1填空题 （1）函数是常系数线性微分方程的解的充分必要条件是 ； （2）曲线簇（为任意常数）满足的一阶微分方程是； （3）已知二阶线性齐次方程的两个解，则该方程为； （4）方程的通解为； （5）设，都是方程 的解，则方程的通解为 2求下列各方程的通解 （1）； 解：令，则 原方程化为，分离变量， 两边积分得 从而 （2）； 解：原方程化为， 从而 （3）； 解：令，则原方程化为， 分离变量， 两边积分得 从而 （4）； 解：令，则原方程化为， 从而 （5）； 解：对应齐次方程特征方程为 非齐次项，与标准式 比较得,对比特征根，推得，从而特解形式可设为 代入方程得 （6）； 解：方程可化为，从而 因此 （7）； 解：对应齐次方程特征方程为 非齐次项，与标准式比较得 对比特征根，推得，从而 代入方程得 从而通解为 (8) 解：令，则 再令， 再令 从而 即 3. 设具有二阶连续导数，且，并且 为一全微分方程，求 解：由已知 对应齐次方程特征方程为 非齐次项，与标准式 比较得,对比特征根，推得，从而特解形式可设为 从通解为， 由, 因此 4已知方程有形如的解，试求出这个解 解：因为 特征方程为 因而，这个解为 5设函数在内具有连续导数，且满足 ， 求 解：由极坐标 从而，即 由，得 6设函数在实轴上连续，存在，且具有性质，试求出 解：由已知 从而， 因此，由于，故 7设函数（）二阶可导，且，过曲线上任一点作该曲线的切线及轴的 垂线，上述两直线与轴所围成的三角形面积记为，区间上以为曲边的 曲边梯形面积记为，并设恒为1求此曲线的方程 解:过曲线上任一点作该曲线的切线为 当，从而 由已知， 令 从而， 由于，因此 第十一章 无穷级数 作业29 常数项级数的概念和性质 1按定义判断下列级数的敛散性，若收敛，并求其和： （1） ； 解：因为 所以 因此由定义可知该级数收敛 （2）； 解：因为 所以 ，因此由定义可知该级数发散 （3） ； 解：因为 所以 ，因此由定义可知该级数收敛 （4）； 解：因为 ，依次重复 所以，不存在 因此由定义可知该级数发散 2利用基本性质判别下列级数的敛散性： （1）； 解：观察发现该级数为，是发散的调和级数每项乘以得到的， 由级数的基本性质，该级数发散 （2）； 解：观察发现该级数为，是收敛的两个等比级数，逐项相加得到的， 由级数的基本性质，该级数收敛 （3）； 解：观察发现该级数为，是收敛的等比级数与发散的逐项相加得到的， 由级数的基本性质，该级数发散 （4） 解：观察发现该级数一般项为，但 由级数收敛的必要条件，该级数发散 作业30 正项级数及其收敛性 1用比较判别法（或定理2的推论）判定下列级数的敛散性： （1）； 解：由于，而是收敛的等比级数 从而由比较判别法，该级数收敛 （2） 解：由于，而是收敛的等比级数 从而由比较判别法的极限形式，该级数收敛 2用达朗贝尔判别法判定下列级数的敛散性： （1）； 解：由于， 从而由达朗贝尔判别法，该级数收敛 （2）； 解：由于， 从而由达朗贝尔判别法，该级数收敛 （3）； 解：由于， 从而由达朗贝尔判别法，该级数收敛 （4） 解：由于， 从而由达朗贝尔判别法，该级数收敛 3用柯西判别法判定下列级数的敛散性： （1）； 解：由于， 从而由柯西判别法，该级数收敛 （2） 解：由于， 从而由柯西判别法，该级数收敛 4用判别法判定下列级数的敛散性： （1） ； 解：由于，而为的发散的级数，从而由判别法，该级数发散 （2） 解：由于，而为的发散的级数，从而由判别法，该级数发散 5设为正整数，证明： （1） ； 解：对来说， 由于， 从而由达朗贝尔判别法，该级数收敛 再由级数收敛的必要条件可知 （2） 解：对来说， 由于， 从而由达朗贝尔判别法，该级数收敛 再由级数收敛的必要条件可知， 从而由无穷大量与无穷小的关系 作业31 交错级数与任意项级数的收敛性 1判别下列级数的敛散性；若收敛，说明是条件收敛还是绝对收敛： （1） ； 解：该级数为交错级数，其一般项的绝对值为 单调减少， 且，从而由莱布尼茨判别法知其收敛 再由于，由判别法知发散， 从而原级数不会绝对收敛，只有条件收敛 （2）； 解：由于，由判别法知，绝对收敛 （3） ； 解：由于不存在， 由收敛级数的必要条件，从而该级数发散 （4）； 解：由于， 从而由达朗贝尔判别法，该级数绝对收敛 （5） 解：当时显然收敛，否则， 当时由达朗贝尔判别法，从而该级数绝对收敛， 当时级数变为发散 当时级数变为条件收敛 7若存在，证明绝对收敛 证明：由已知 从而绝对收敛 8若级数绝对收敛，且，试证：级数和都收敛级数是否收敛？为什 么？ 证明：若级数绝对收敛，则必收敛，由必要条件 由，从而级数和都有意义， 而，从而级数和都收敛。 级数发散，因为，收敛的必要条件不满足。 作业32 幂级数及其求和 1 求下列幂级数的收敛半径和收敛域： （1）； 解： 当时即为条件收敛， 从而收敛域为 （2）； 解： 当时即为，由于从而级数发散， 因此收敛域为 （3） ； 解：当时， 当时幂级数即为，由于从而级数发散 当时幂级数即为，由于且从而级数收敛。因此收敛域当时 当时， 当时即为即为，由于从而级数发散， 从而当时收敛域为 （4）； 解： 当时即为条件收敛， 从而收敛域为 （5） ； 解： 因此收敛域为 （6） 解：对于， 当时即为条件收敛，当时即为发散， 从而原级数的收敛半径为1，收敛域为 2求下列幂级数的收敛域及其和函数： （1） ； 解： 当时，即为条件收敛，当时即为发散， 从而幂级数的收敛域为 设，则 从而 故 （2）； 解： 当时，即为发散， 从而幂级数的收敛域为 故， （3） 解： 从而幂级数的收敛域为 设，则， ， 由特征方程，得通解 再由得特解 （4），并求数项级数的和 解：，当时发散， 从而幂级数的收敛域为 设，则， 作业33 函数展开成幂级数 1将下列函数展开成麦克劳林级数（要指出其成立的区间）： （1）； 解： （2）； 解： （3）； 解： （4）(提示：利用)； 解：， （5） 解： 2将下列函数展开成的幂级数（要指出其成立区间）： （1）； 解： （2） 解： 3求下列函数的幂级数展开式，并确定其成立区间： （1）； 解