高一数学第四章三角函数二复习教案人教试验修订本

高一数学第四章三角函数(二)复习教案教学目标(一)知识目标1任意角的概念、弧度制、任意角的三角函数的概念、同角三角函数间的关系、诱导公式；2两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数；3三角函数的图象和性质、已知三角函数值求角(二)能力目标1理解任意角的概念、弧度的意义；能正确地进行弧度与角度的换算；2掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，并会利用与单位圆有关的三角函数线表示正弦、余弦和正切；了解任意角的余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；3掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；4能正确运用三角公式，进行三角函数式的化简、求值及恒等式证明；5会用与单位圆有关的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象；理解周期函数与最小正周期的意义；并通过它们的图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质；会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数yAsin(wx)的简图，理解A、w、的物理意义；6会用已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx、arccosx、arctanx表示(三)德育目标1渗透“化归”思想；2培养逻辑推理能力；3提高解题能力教学重点三角函数公式、三角函数(尤其是正弦函数、余弦函数、正切函数)的图象和性质的应用教学难点灵活应用三角公式，正弦、余弦、正切函数的图象和性质解决问题教学方法讲练结合法通过讲解强化训练题目，加深对三角函数知识的理解，提高对三角函数知识的应用能力教学过程A组1解：(1)S2k，kZ，-， (2)S-2k，kZ，-， (3)S2k，kZ，-，(4)S2k，kZ，-2，0，2评述：这一题目要求我们首先要准确写出集合S，并判断k可取何值时，能使集合S中角又属于所要求的范围2解：由lr得l1515Cl2r3044cmSlr151.1102cm2答：周长约44cm，面积约1.1102cm2评述：这一题需先将54换算为弧度数，然后分别用公式进行计算3(1)sin40；(2)cos50；(3)tan80；(4)tan(-3)0评述：先判断角所属象限，然后确定其三角函数的符号4解：由得sin由cos0，知为第一或第四象限角当为第一象限角时，sin，tan；当为第四象限角时，sin-，tan-评述：先由已知条件确定角所属象限，然后结合同角三角函数基本关系式，求出另外的三角函数值5解：由sinx2cosx，得tanx2x为第一象限或第三象限角当x为第一象限角时tanx2，cotx，cosx，secx，sinx，cscx当x为第三象限角时tanx2，cotx，cosx-，secx-，sinx-，cscx-6解：评述：注意灵活使用同角三角函数的基本关系式的变形式，即“1”的妙用，这也是三角函数式化简过程中常用的技巧之一另外，注意及时使用诱导公式和三角函数图象和性质：当0，时，sincos7解：sin4-sin2cos2sin2(sin2-1)cos2(1-cos2)(-cos2)cos2-cos2cos4cos2cos4评述：注意使用sin2cos21及变形式8证明：(1)左边2(1-sin)(1cos) 2(1-sincos-sincos) 2-2sin2cos-sin2右边(1-sincos)2 1-(sin-cos)2 1-2(sin-cos)(sin-cos)2 1-2sin2cossin2cos2-2sincos 2-2sin2cos-sin2左边右边即原式得证(2)左边sin2sin2-sin2sin2cos2cos2sin2(1-sin2)cos2cos2sin2sin2cos2cos2cos2sin2cos2(sin2cos2)sin21右边原式得证评述：三角恒等式的证明一般遵循由繁到简的原则9解：(1)将tan3代入得，原式(2)sincostancos2tan3(3)(sincos)212sincos12评述：注意挖掘已知条件与所求结论中的三角函数的关系10解：(1)sincostan(-)sincos-tan-10(2)sin2cos3tan41.077评述：注意灵活应用诱导公式化简后再求值11解：(1)sin()-sinsincos(2-)cos 当为第一象限时，cos当为第二象限时，cos-(2)tan(-7)-tan(7-)tan当为第一象限时，tan当为第二象限时，tan-评述：要注意讨论角的范围12解：(1)sin37821sin18210.3148(2)sin(-879)-sin(159)-sin21-0.3584(3)sin30.1409评述：要用诱导公式将其转化为锐角三角函数值问题13解：设0x2xsinx-cosx-tanx-11-1-14解：cos-且sin-，tantan(-)-评述：仔细分析题目，要做到有的放矢15解：sin，为锐角 cos 又sin，为锐角 cos cos()coscos-sinsin又0，说明：若先求出sin()，则需否定评述：一般地，若所求角在(0，)上，则一般取此角的余弦较为简便；若所求角在(-，)上，则一般取此角的正弦较为简便16(1)证明：ABtan(AB)tan1即：tanAtanB1-tanAtanBtanAtanBtanAtanB1(1tanA)(1tanB)1tanAtanBtanAtanB(1tanA)(1tanB)2(2)证明：由(1tanA)(1tanB)2得tanAtanB1-tanAtanB又0A，0BtanAtanB01即tan(AB)1又0AB AB(3)解：由上述解答过程可知：两锐角之和为直角之半的充要条件是(1tanA)(1tanB)2不可以说“两个角A、B之和为的充要条件是(1tanA)(1tanB)2”因为在(2)小题中要求A、B都是锐角17证明：设正方形的边长为1则tan，tantan()1又0且0，评述：要紧扣三角函数定义18证明：，均为锐角且tan1，tan1，tan10且0且0又tan()1（）4519解：(1)由cos2得sin4-cos4(sin2-cos2)(sin2cos2)-cos2-(2)cos2x2cos2x-1(3)由sincos得(sincos)2sin22sincoscos21sin2sin2-(4)(sincos)212sincos(sin-cos)21-2sincos又sincossin-cossin，cos20解：设ABC的底为a，则腰长为2asin cossinA2sincos cosA2cos2-1-1 tanA21证明：Pivimsinwtvmsin(wt) imvmsinwtcoswtimvmsin2wt22证明：由题意可知：sincossin2sincos223解：由课本图4-12，可知：当为某一象限角时，有：sinMP，cosOMMPOMOP1，sincos1当的终边落在坐标轴上时，有sincos1因此，角的正弦绝对值与余弦绝对值之和不小于1评述：要注意数形结合这种重要的数学思想的利用24解：(1)由1-tanx0，得tanx1xk且xk，kZ函数y的定义域为：xxk且xk，kZ(2)由k得x2k，kZytan的定义域为xx2k，kZ25解：(1)由cos2x1.5，得cosx又-1，1cos2x1.5不能成立(2)由sinx-cosxsin(x-)-，sinx-cosx2.5不能成立(3)当x时，tanx1tanx2有可能成立(4)由sin3x-得sinx-1，1sin3x-成立评述：要注意三角函数的有界性26解：(1)当sinx1时，即x2k，kZ时，y取得最大值y的最大值为使y取得最大值的x的集合为xx2k，kZ当sinx-1时，即x-2k时y取得最小值y的最小值为使y取得最小值的x的集合为xx-2k，kZ(2)当cosx-1即x(2k1)时，y3-2cosx取得最大值，y3-2cosx的最大值为5使y取得最大值的x的集合为xx2k，kZ当cosx1，即x2k时y3-2cosx取得最小值y3-2cosx的最小值为1使y取得最小值的x的集合为xx2k，kZ27解：(1)ysinx-cosx(xR) 2sin(x-)，ymax2，ymin-2(2)ysinxcosx(xR) sin(x)，ymax，ymin-28解：当0x2时，由图象可知：(1)当x，2时，角x的正弦函数、余弦函数都是增函数(2)当x，时，角x的正弦函数、余弦函数都是减函数(3)当x0，时，角x的正弦函数是增函数，而余弦函数是减函数(4)当x，时，角x的正弦函数是减函数，而余弦函数是增函数29解：(1)由f(-x)(-x)2cos(-x)x2cosxf(x)得yx2cosx，xR是偶函数(2)由y2sinx2sin(-x)得y2sinx，xR是偶函数(3)由ytanx2tan(-x)2得ytanx2，x(kZ)是偶函数(4)由yx2sinx-(-x)2sin(-x)得yx2sinx，xR是奇函数30解：(1)ysin(3x-)，xR(2)y-2sin(x)，xR(3)y1-sin(2x-)，xR(4)y3sin()，xR31(1)略(2)解：由sin(-x)sinx，可知函数ysinx，x0，的图象关于直线x对称，据此可得出函数ysinx，x，的图象；又由sin(2-x)-sinx，可知函数ysinx，x0，2的图象关于点(，0)对称，据此可得出函数ysinx，x，2的图象(3)解：把y轴向右(当0时)或向左(当0时)平行移动个单位长度，再把x轴向下(当k0时)或向上(当k0时)平移k个单位长度，就可得出函数ysin(x)k的图象32解：(1)ysin(5x)，xR振幅是1，周期是，初相是把正弦曲线向左平行移动个单位长度，可以得出函数ysin(x)，xR的图象；再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，就可得出函数ysin(5x)，xR的图象(2)y2sinx，xR振幅是2，周期是12，初相是0把正弦曲线上所有点的横坐标伸长到原来的6倍(纵坐标不变)，可以得出函数ysinx，xR的图象；再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，就可得出函数y2sinx，xR的图象33解：(1)由h2sin(t)，t0，)得t0时，hcm即小球开始振动时的位置在离平衡位置cm处(2)当sin(t)1时，hmax2sin(t)2当sin(t)1时，hmax2sin(t)2即小球最高、最低点与平衡位置的距离都是2cm(3)由T得T2s即经过2s，小球往复振动一次(4)f即小球每1 s往复振动次34解：(1)由sinx0，x0，2得x0，2(2)由cosx-0.6124，x0，2得x0.71，1.29或arccos(-0.6124)，2-arccos (-0.6124)(3)由cosx0，x0，2得x，(4)由sinx0.1011，x0，2得x0.03，1.97或arcsin0.1011，-arcsin0.1011(5)由tanx-4，x0，2得x0.58，1.58或arctan(-4)，2arctan(-4)(6)由cosx1，x0，2得x0，2B组1解：由已知是第四象限角得2k2k2，(kZ)(1)kk，kZ的终边在第二或第四象限(2)即：90k1203090k120，kZ的终边在第二、第三或第四象限(3)4k324k4，kZ即：2的终边在第三或第四象限，也可在y轴的负半轴上2解：由题意知解之得弧度答：扇形中心角度数约为1433解：coscoscos(-)sinsin-cos(为第二象限角)4解：由tan-(1)(2)5证明：左边sincos右边6证明：xcos，ycotb，(a0，b0)7证明：(1)左边右边()2()2 ()2tan2A()2(2)左边tanAtanB右边8证明：由tansina，tan-sinb得(a2-b2)2(a-b)2(ab)2 (2sin)2(2tan)2 16sin2tan216ab16(tansin)(tan-sin) 16(tan2-sin2) 16sin2(-1)16sin2 16sin2tan2(a2-b2)216ab9证明：由3sinsin(2)得3sin()-sin()3sin()cos-3cos()sinsin()coscos()sin2sin()cos4cos()sintan()2tan评述：等式两边主要是角的差异，应从变换条件中的角入手10解：由已知cos(x)，x得：cos2(x)2cos2(x)-1 cos(2x)-sin2x-sin2x，sin(x)-sin2xtan(x)-11解：(1)当2k2x-2k，(kZ)即kxk时y3cos(2x-)是减函数(2)当2k-3x2k，(kZ)即-x时ysin(-3x)是减函数12解：由得-kxk或kxk(kZ)函数y的定义域为：(-k，k)(k，k)，kZ13解：ysin2x2sinxcosx3cos2x(xR) 1sin2x2cos2x2sin2xcos2x 2sin(2x)(1)周期T(