圆锥曲线轨迹问题苏教2

建筑现代化(检查)关于圆锥曲线轨迹根据运动点的运动规律，运动点的轨迹方程是解析几何中的一个重要课题。一方面，寻找轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过研究方程来理解曲线的性质。另一方面，寻找轨迹方程是一个很好的教材，可以培养学生将数字转化为形状的思想、方法和技巧。这一内容不仅贯穿于“圆锥曲线”教学的全过程，而且体现和渗透了构造、函数方程和变换的思想。轨迹问题是高考中的热门话题和焦点。多年来，它经常出现在高考中。特别是今天的高考改革，重点是考查学生的创新意识，重点是考查学生的逻辑思维能力、操作能力、问题分析和解决问题的能力。轨迹方程这一热门话题往往涉及函数、三角形、向量、几何等知识，能很好地反映学生对这些能力的掌握情况。寻找轨迹方程的基本步骤：建立现代化(测试)(坐标系)建立(移动点的坐标)存在(限制、移动点和已知点满足的条件)替换(移动点和已知点的坐标替换)简化(简化)测试(应注意领域的“挖掘”和“填充”)求解轨迹方程的基本方法有：直接法、定义法、相关点法、参数法、交会轨道法、矢量法等。1.直接法：如果一个运动点的运动条件是一些几何量的等价关系，这些条件简单明了，不需要特殊技巧，并且容易表示为包含x和y的方程，那么就得到轨迹方程。这个方法叫做直接法。例1。在直角坐标系中，点Q (2，0)和圆C的方程是，移动点M与圆C的切线长度之比等于一个常数，并且找到移动点M的轨迹。分辨率如果MN切圆c是n，那么。设定，然后简化(1)当时，方程式是，代表一条直线。(2)当时，方程简化为一个圆。如图所示，圆和圆的半径都是1。移动点分别与圆和圆相切(分别为切点)，因此。试着建立一个合适的坐标系，找到运动点的轨迹方程。分析以的中点为原点，直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，然后嘿。众所周知。因为两个圆的半径都是1，所以。设定，然后,那是。(或)评论：1.用直接法求运动点的轨迹一般有五个步骤：建立系统、设置点、排列形式、简化和证明。最后的证明可以省略，但要注意“挖掘”和“补充”。2.为了找到轨迹方程，通常找到方程就足够了，但是找到轨迹不仅需要找到方程，还需要解释轨迹是什么。2.定义方法：利用解析几何中一些常见的定义(如圆锥曲线的定义)，可以由曲线的定义直接写出轨迹方程，或者由曲线的定义建立关系式，从而得到轨迹方程。例2。众所周知，一个运动的圆穿过一个固定点，并与一条直线相切，其中。求运动圆心的轨迹方程；分析如图所示，移动圆的中心被设置为移动圆的中心，这被记录为，交叉点是直线的垂直线，而垂直的脚是，这是从问题的含义知道的：即，移动点和固定点之间的距离等于固定直线的距离，这是从抛物线的定义知道的。点的轨迹是抛物线，焦点是准线，所以轨迹方程是；已知圆O的方程为x2 y2=100，点A的坐标为(-6，0)，m为圆O的任意点，AM的垂直平分线与OM相交于点P，得到点P的方程。分析从中间垂直线可知，t可移动点p的轨迹方程可以如下获得：1OPEDCBA注释：定义方法的关键是将条件转换成某一基本轨迹的定义条件。第三，相关点法：移动点满足的条件不容易表示或找到，但形成轨迹的移动点P(x，y)随着另一个移动点Q(x，y)的移动而有规律地移动，并且移动点Q的轨迹是给定的或容易找到的，那么x，y可以表示为x，y的公式，然后代入Q的轨迹方程，然而，P的轨迹方程被整理出来，这种代入法也称为相关点法。几何方法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形的性质，找出运动点的运动规律和运动点满足的条件，但得到运动点的轨迹方程。示例3，如图所示，直线x y=2的垂直线是从双曲线x2-y2=1上的点q画出的，并且垂直脚是n。找到线段QN的中点p的轨迹方程。分析让移动点的坐标为(x，y)，点的坐标为(x1，y1)然后将N(2x-x1，2y-y1)代入x y=2，得到2x-x1 2y-y1=2PQ也垂直于直线x y=2，因此x-y1-x1=0 。点p的轨迹方程是2x2-2y2-2x 2y-1=0，它是通过(1)和(2)求解方程并代入双曲方程得到的。已知椭圆的左右焦点分别为F1 (-C，0)和F2(c，0)，Q为椭圆外的移动点，满足点P为线段F1Q和椭圆的交点，点T在线段F2Q上，满足求点t的轨迹c的方程：分析解决方案1:(相关点法)设置点t的坐标，因为此时点(，0)和点(-，0)都在轨道上。当|，通过，得到。另外，t是线段F2Q的中点。如果点q的坐标是()，那么因此(1)从(2)将代入即可总而言之，点t的轨迹c的方程式是解决方案2:(几何方法)设定点的坐标为那时，点(，0)和(-，0)在轨迹上。当|，通过，得到。另外，t是线段F2Q的中点。QF1F2中有总而言之，点t的轨迹c的方程式是备注：一般来说，相关点法可用于固定分数点问题、对称问题或可转化为这两种类型的轨迹问题。4.参数化方法：在求解轨迹方程时，有时很难直接找到运动点的横坐标和纵坐标之间的关系。中间变量(参数)可以用来建立X和y之间的关系。然而，移动点的轨迹方程可以通过从方程中消除参数来获得。例4。在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上不同于坐标原点o的两个不同的移动点a和b满足AOBO(如图4所示)。得到了AOB重心g(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程。分析解1:从以OA的斜率k为参数的解中得到A(k，k2)。ob: oaob从解决方案中获益良多如果设置了AOB的重心G(x，y)，则通过消除参数k得到的重心g的轨迹方程为解2:如果AOB的重心是G(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么.(1)OAOB ，也就是(2)另一个点A，B在抛物线上，这里，用(2)来简化它重心为g的轨迹方程是。如图所示，将抛物线的焦点设为F，移动点P在一条直线上移动，通过P作为抛物线C的两条切线PA和PB，分别在A点和B点与抛物线C相切。求出APB重心的轨迹方程。分析将切点A和B的坐标设置为：正切AP的等式是：正切血压的方程式是：点p的坐标如下：APB重心的坐标是，因此，通过在直线L上移动点P获得的重心G的轨迹方程是：评论：1.用参数法寻找轨迹是高考中一个重要的题型。由于参数选择的灵活性和技巧性，这也是学生难以掌握的一种问题。2.选择什么变量作为参数dep5.轨道交会法：当找到两条运动曲线的交点的轨迹时，参数可以直接从方程中消去。例如，这种方法通常用于寻找两条移动直线的交点。还可以引入参数来建立这些运动曲线之间的联系。然而，轨迹方程可以通过消除参数来获得。它可以说是参数方法的一个变体。例5:抛物线的顶点相互垂直，有两条弦OA和OB。得到了抛物线顶点O在直线AB上的投影轨迹。解1(交叉轨道法):a点和b点在抛物线上，设a(，b(因此kOA=kOB=，koakOB=-1 frOM OA垂直OB，yAyB=-16p2，可得到ab方程，即(yayb) y-4px-yayb=0，将yAyB=-16p2代入AB方程(yayb) y-4px16p2=0 (1)，OM方程为(2)YA yB是通过从和消去得到的。所以点m的轨迹方程是，它的轨迹是一个以半径为圆心的圆，不包括点(0，0)。备注：用交会法求交点的轨迹方程时，不需要指定交点的坐标，只要能消除参数，得到交点的两个坐标之间的关系即可。跨轨道方法实际上是参数方法中的一个特例。解2(Geometry method):从解1中的AB方程(yayb) y-4px16p2=0可以得到AB过不动点(4p，0)和与AB垂直的om，因此从几种圆的方法的性质可以知道m点的轨迹是一个以半径为圆心的圆。等式是，减去点(0，0)。矢量法：图6例6，(1995年国家科学)已知的椭圆如图6所示，=1，直线l:=1，p是l上的一个点，射线OP在点r处与椭圆相交，点q在OP处并满足| OQ | | op |=|或| 2。当点p在l上移动时，找到点q的轨迹方程，并解释轨迹是什么曲线摘要：以上给出了处理轨迹问题的几种常用方法。对于以下几点，我们在回顾轨迹问题时应该十分注意：1.应该把握高考的方向NMET考试中通常有两类轨迹问题：一类是简单问题，主要是定义法、相关点法、待定系数法；另一类是高难度的纯轨迹问题，综合考查各种方法。2.应该区分“轨迹”和“方程式”找到轨迹方程，找到方程。如果找到了轨迹，仅仅找到方程是不够的，还应该指出方程所表达的曲线类型(形状设置、定位和量化)。3.把握特点，选择方法处理轨迹问题的成败在于理解各种方法和积累解决问题的经验。因此，在处理轨迹问题时，必须善于根据主题的特点选择适当的方法(在什么情况下，用什么方法已经在上面描述过，这里不再重复)。4.仔细定义范围确定轨迹范围是处理轨迹问题的难点，也是学生容易出错的地方。确定弹道范围时，应注意以下几个方面：(1)准确理解题目的含义，挖掘隐藏条件；(2)栏目类型不改变问题的含义，各种情况都应充分考虑；(3)推理要严密，方程要简洁、等价。(4)消除参数时保持范围的等价性；(5)结合数字和形状，检查“泄漏”并填写“不足”。5.“先用”的几点认识在处理轨迹问题时，应特别注意平面几何知识的应用，其主要功能是：(1)当问题中没有给出明显的条件表达式时，它可以帮助列表达式；(2)简化条件表达式；(3)转化。6.矢量工具“自由使用”向量是新课程改革后增加的内容。它是数字和形状转换的纽带。在初等数学的每一个分支中，它都是一个非常重要的工具。复习中应加强训练，使学生能熟练掌握并自由运用。整合练习：1.如果po之间的距离之比解析：将PD中点设为M(x，y)，然后p点的坐标为(2x，y)并代入方程得到。3.给定双曲线，(a0，b0)，A1和A2是双曲线实轴的两个端点，MN是垂直于实轴所在直线的弦的两个端点，那么A1M和A2N的交点的轨迹方程是()。A.学士学位(objective :熟悉用参数法求解轨迹方程的基本思想，了解交点轨迹方程的求解技巧)回答：答解析：集m (x1，y1)，n (x1，-y1)，A1 M和A2N的交点为P (x，y)，A1 (-a，0)，A2(a，0)，则a1m的方程为，A2M的方程为，两个方程相乘并合并得到。4.如果抛物线的准线L的方程是y=1，并且抛物线通过了恒定点P (1，-1)，则抛物线焦点弦的另一端点Q的轨迹方程是()。(b)A.(x-1)2=-8(y-1)b .(x-1)2=-8(y-1)(x1)C.(y-1)2=8(x-1)d .(y-1)2=8(x-1)(x1)(目标：认识到，使用定义方法求解轨迹方程可以减少计算量，是解决问题的重要方法)回答： B如果分析的焦点：设置为F，Q(x，y)，则：由抛物线定义，并可通过简化获得。5.在 ABC中，如果A(0，-2)，B(0，2)成为等差数列，则C点的轨迹方程为。(目的为了找到：中的曲线