高三数学提炼三角精髓 放飞思想方法

必修4复习专号提炼三角精髓 放飞数学思想三角函数中蕴含了许多数学思想，数学学习的精髓主要是思想方法的学习同学们在掌握其基础知识的同时，还应注意数学思想的提炼、总结那么，在三角函数中有哪些思想方法呢？下面举例介绍，供同学们参考一、函数与方程思想对三角中的某些问题，运用函数与方程的思想求解，常可使问题化难为易，化繁为简，得到题目的简捷，巧妙的解法例1已知角的终边经过点P(5t,5t+1)，又知sin=，求t的值分析：欲求t值，需找出关于的等式关系，由三角函数定义可解解：角的终边经过点P(5t,5t+1)，y=5t+1,r=|OP|=，sin=,即=。整理得175t-90t-9=0，解得t=或t=-评注：用方程思想解题是高中数学学习中经常用到的思想方法，它就是用方程的观点分析所求的量，建立等量关系，然后通过解方程（组）使问题获得解决练习1 已知k+,k,kZ,且(3tan+cot)+tan+4tan+cot=0，求证：4tan+cot=0.二、整体思想整体思想是指从问题的整体结构出发，实施整体变形，整体运算的思想注意这种思想的灵活应用，常可使许多常规解法较麻烦的问题得到非常简捷合理的解决例2 设函数f(x)=asi1000(-)+bcos(-)+1000，其中a、b、为非零实数，已知f(2011)=-9，求f(2009)的值。分析：本题含参数较多，若直接代入则解答困难。观察题设及所求式子的特点，可采用整体代入法求解。解：asi1000(+)+bcos(+)+1000=-9,asi1000(+)+bcos(+)=-9-1000=-1009.f(2009)=asi1000(+)+bcos(+)+1000=asi1000-+(+)+bsi1000-+(+)+1000=-asi1000(+)+bcos(+)+1000=1009+1000=2009。评注：所谓整体思想，即解决问题时善于把握问题的全局，认清问题中相关元素的联系，从整体上利用条件简化解题。练习2 求函数y=2sin(-x).的单调递增区间： 三、正难则反思想一般地，我们解题总是从正面入手，习惯正向思维，但有些问题如果正面入手求解就会繁琐，难度较大。这就需要打破常规思维，实行“正难则反”策略，转化为考虑问题的相反方面，往往能绝处逢生。例3 将函数f(x)=Acos(x+j)+B的图象上每一点的纵坐标伸长到原来的2倍，再将横坐标缩短到原来的，再将整个图象沿x轴向左平移个单位，沿y轴向下平移1个单位，可得到函数y2sinx的图象，则原来的函数f(x)_.分析：本题若直接从y=f(x)入手求解较难，容易出现错误，由于三角变换具有可逆性，我们从结论反推，则简单易行。解：按原路返回，即将y2sinx的图象向上平移1个单位，得到y=2sinx+1的图象；将y=2sinx+1的图象向右平移个单位，得到y=2sin(x-)+1=-2cosx+1的图象；将y=-2cosx+1图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得到y=-2cos+1的图象；再将y=-2cos+1的图象上各点的纵坐标缩短到原来的，得到函数y=-cos+1的图象，则函数f(x)= -cos+1即为所求。评注：对于由题设函数解析式未知，但通过三角变换到得到的函数解析式已知的题型，我们可以反向思考，将会事半面功倍。练习3 若函数y=f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再将整个图象沿x轴向左平移个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到函数y=sinx的图象，则y=f(x)是 。四、数形结合思想O21-1xy图1三角函数中的数形结合，就是在处理题目中的条件和结论时，挖掘其代数意义和几何意义，借助于单位圆或三角函数的图象在代数与几何的交汇点处寻求解题思路，因而是一个极富数学特色的信息转换。三角函数中的许多问题，常可通过数形结合获得直观简明的解决例4 方程sin2x=sinx在区间(0,2)内的解的个数是 。分析：在同一坐标系内分别作出y=sin2x和y=sinx的图象，由图象的交点判断。解：如图1,它们在(0,2)内的交点个数就是方程解的个数，易见两个图象共有3个交点，故原方程解的个数是3。评注：方程f(x)=g(x)的实根个数就是两函数y=f(x)和y=g(x)图象的公共数目，利用函数的图象直观明了，数形结合的方法使问题的解答变得简洁、易懂例5 已知：sin+sin=，cos+cos=，求tan(+)的值OxyBAC图2分析：借助单位圆思考。解：点A(cos,sin)，B(cos,sin)均在单位圆上由已知条件知：AB的中点坐标为C(,），即直线AB过定点C如图2所示xOC+=,tan()=.据倍角公式得：tan(+)=。评注：借助单位圆求解三角问题是常用的方法，也是数形结合在三角中的具体应用，同学们要善于从题中挖掘代数意义和几何意义，达到完美地数形结合练习4函数f(x)=sinx+2|sinx|,x0,2的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是_五、分类讨论思想分类讨论思想是按一定标准将所研究对象分成若干种情况，把一个复杂问题分解成若干个小问题，从而获解的思想分类的原则是不重不漏，分类的方法是明确讨论对象，确定对象的全体，确立分类标准，正确进行分类，其中确立分类标准是关键。例6 已知数列a的通项公式为a=ncos(+)(nN*),记S=a+a+a,求S2009。分析：解题的关键是发现cos(+)以4为周期的变化规律，由于+包含k+，k+（kZ）等表达形式，因此要对n的不同值进行分类讨论。解：设kN*.当n=4k+1时，cos(+)=cos(+)=-sin=-,当n=4k+2时，cos(+)=cos(+)=cos=-,当n=4k+3时，cos(+)=cos(+)=sin=,当n=4k时，cos(+)=cos=,S2009=a+a+a2009=(a+a5+a2009)+(a+a6+a2006)+(a+a7+a2007)+(a+a8+a2008)=(-)(1+5+2009)+(-)(2+6+2006)+(3+7+2007)+(4+8+2008)=-1005503-1004502+1005502+1006502=-(1005+1004).评注：本例应用了分类讨论思想，由于诱导公式是针对的各种形式而实施，故需先对n进行分类，再应用于诱导公式。此类题可先给出n的几个特殊值，再得出一般规律。练习5 设(0,)，sin=m，nZ，求sin(+)的值。六、转化与化归思想转化与化归思想是指将待求问题转化归纳为可解决的问题的一种数学思想所谓“化归”，就是说在解决问题时，将原问题进行变形，使之转化，直至最终归结为我们所熟悉的，或易于解决的，或已经解决的新问题。问题转化的基本策略是：复杂化为简单，陌生化成熟悉，抽象化成具体，含糊化成明朗。例7 已知cos(-)-cos(+)=,(1+cos2)(1+cos2)=,求tantan的值。分析：由两个条件求tantan的值，就要寻求条件与求值的式子之间的联系。由于条件比较复杂，涉及+，-，2，2等角，可考虑将条件化简，力争得到关于、的三角函数，逐步向条件靠近。解：由cos(-)-cos(+)=,有1+cos(2-2)-1+cos(2+2)=,即cos(2-2)-cos(2+2)=1,展开化简得2sin2sin2=1,即8sincossincos=1.再由(1+cos2)(1+cos2)=，有2cos2cos=,即4coscos=.，得2tantan=3,tantan=.评注：化繁为简，使原来不易看到的关系显露出来，是问题转化的原则之一。练习6 化简求值sin(-1320)cos2010；sin(-)+costan4练习答案：练习1 解：由(3tan+cot)+tan+4tan+cot=0化为(3tan+cot)+(3tan+cot)=(-tan)+(-tan).设f(x)x，则f(x)是增函数由前式知f(3tan+cot)=f(-tan),3tan+cot=-tan,即4tan+cot=0.练习2 y=2sin(-x)=-2sin(x-),函数y=2sin(-x)的递增区间就是函数u=2sin(x-)的递减区间.由2k+x-2k+,得2k+x2k+(kZ).函数y=2sin(-x)的递增区间为：2k+,2k+(kZ).O21xy3图3练习3 y=sinx(上移1)y=sinx+1(右移)y=sin(x-)+1(横标缩)y=sin(2x-)+1。练习4 当x2时,-1sinx0，f(x)=sinx-2sinx=-sinx；当0x时,0sinx1，y=sinx+2sinx=3sinx即f(x)=,由图3可知1k3练习5 解：当n=4k（kZ）时，sin(+)=sin(2k+)=sin=m。当n=4k+1（kZ）时，sin(+)=sin(